甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

酒泉市四校联考2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：选择性必修第一册第一章1.1～1.3、第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（ ）
A．1 B．3 C． D．
2．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列中，，则公差（ ）
A．4 B．3 C． D．
4．直线，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．3 C．0或 D．0或3
5．在等比数列中，，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．．
7．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．若圆上存在点，点头于直线的对称点在圆：上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（ ）
A．1 B． C．3 D．
10．下列各直线中，与直线平行的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列关于直线与圆的说法正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则为定值
B．若，则直线被圆截得的弦长为定值
C．若，则圆上仅有两个点到直线的距离相等
D．当时，直线与圆相交
12．已知数列满足，且数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．
C． D．若，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线经过点，则直线的倾斜角是______．
14．已知等比数列的前项和为，则______．
15．已知圆与圆只有一条公切线，则______．
16．已知数列中，，若对任意，则数列的前项和______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线经过点．
（1）求直线的一般式方程：
（2）若直线与直线垂直，且在轴上的截距为2，求直线的方程．
18．（12分）
已知等差数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值及取得最小值时的值．
19．（12分）
已知圆经过，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程．
20．（12分）
已知等展数列中，，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）花，求数列的前项和．
21．（12分）直线，圆．
（1）证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程；
（3）设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程．
22．（12分）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，求数列的前项和．
酒泉市四校联考2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．B因为，即，解得．
2．D因为直线的斜率，所以直线的一个方向向量为．
3．B在等差数列中，，所以有．
4．C因为，所以，即，解得或．
5．C设该等比数列的公比为，因为，所以由，因此．
6．A
7．D，以此类推，．
8．A
9．AB设数列的公比为，若，则，满足题意；若，由，得，解得，综上，或．
10．ABC两直线，其平行的充要条件为且或，易知且，A正确；易得，有且，B正确；易知且，即C正确；易知，D项不符合．
11．ABD
12．ABD由，得，即，所以是等差数列，公差为，首项为，A正确；
所以，则，B正确；
数列的前项和为：，①
，②
由①-②可得，即，C错误；
由，得，因为当时，单调递增，所以当时，的值最小．即，所以，所以实数的取值范围为，D正确．
13．因为过两点的直线的斜率为：，因为是直线的倾斜角，且，所以直线的倾斜角为：．
14．12设等比数列的公比为，由，得，而，于是，所以．
15．16
16．由，且，可知，则可化为，则有，即是等比数列，且公比为2，首项为，则，得，即数列的前项和为．
17．解：（1）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为，
所以直线的一般式方程为．
（2）因为直线与直线垂直，由（1）知：直线的斜率为2，
所以直线存在斜率，设直线的方程为，且，即，
所以直线的方程为，即．
18．解：（1）设等差数列的公差为，
由，得，
解得，
所以．
（2）由（1）知，
又，所以当时，最小，最小值为．
19．解：（1）由题知中点为，
的垂直平分线方程为，
与联立得圆心为，
易知，
故圆的方程为．
（2）设关于的对称点为，则解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即．
20．解：（1）依题意，，且，
则，解得，
则，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，
则．
21．（1）证明：由题意知可化为，
故解得，
所以直线恒过定点．
（2）解：因为圆的圆心为，
当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直，所以，
所以，即．
（3）解：方法1（几何法）
因为，且为钝角，
所以当时有最大值，
此时同（2），即．
方法2
设圆心到直线的距离为，则，
所以，
当时有最大值，此时同（2），或者由，解得，
所以．
22．解：（1）由题可知数列是公差为1的等差数列，且，
则，解得，
所以，
设等比数列的公比为，且，
则解得，
所以，
所以和的通项公式为．
（2）由（1）得为，则，
所以数列的前项和
．
（3）由（1）知，
所以
因为当为奇数时，则，所以数列的前项和为
故．