吉林省四平市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

四平市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学B试题
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章~第三章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
3．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A． B．2 C． D．4
6．已知圆C：上任意一点M关于直线的对称点N也在圆上．则实数（ ）
A．4 B．6 C． D．
7．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是AB的中点，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A，B分别是椭圆C：的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的焦距为
C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的渐近线方程为
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为 B．的面积的最大值为2
C．若，则的最小值为 D．的最小值为
12．已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2，过y轴上异于坐标原点的任意一点P作抛物线C的一条切线，切点为Q，且直线PQ的斜率存在，O为坐标原点．则（ ）
A．
B．当线段PF的中点在抛物线C上时，点P的坐标为
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______．
14．已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．
15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为______．
16．已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另外一点B，且，延长AF交双曲线C于另外一点Q，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程．
18．（本小题满分12分）
已知点，，动点满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆Q的圆心为，且圆Q与y轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知抛物线C：的焦点F关于抛物线C的准线的对称点为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作斜率为4直线l，交抛物线C于A，B两点，求．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦距为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：与椭圆C交于A，B两点，点P是y轴上的一点，过点A作直线PB的垂线，垂足为M，是否存在定点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
如图．已知点和点在双曲线C：上，双曲线C的左顶点为A，过点且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ与圆O：分别交于M，N两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设直线AP，AQ的斜率分别为，，求的值；
（3）证明：直线MN过定点．
四平市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学B参考答案
1．A 已知圆的圆心为，则圆的圆心坐标是，故选A．
2．C 因为，所以该直线的倾斜角为135°，故选C．
3．C 令，解得，令，解得，则该椭圆的焦点在y轴上，且，，所以该椭圆的方程为．故选C．
4．D 由题意，，设，所以，所以，所以，所以，所以．故选D．
5．C 因为的面积为4，所以的面积为8．又，所以，所以．设，，所以，，所以，所以，又，所以．故选C．
6．B 圆C：的标准方程为，所以直线经过圆心，即，解得．故选B．
7．B 因为，所以．设，，所以，，所以，即，又，所以，所以直线AB的方程为，即，故选B．
8．C 由，有，又由，有，可得，设点Q的坐标为，有，可得，点A，B的坐标分别为，，有，可得，椭圆C的离心率为．
9．AC 当直线l与直线AB平行时，因为，所以直线l的方程为，即．当直线l过线段AB的中点时，AB的中点为，所以直线l的方程为，即．综上，直线l的方程为或．故选AC．
10．BC 双曲线C的实轴长为，故A错误；因为，所以，所以C的焦距为，故B正确；C的离心率，故C正确；C的渐近线方程为，故D错误．故选BC．
11．ABD 的周长，故A正确；因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，所以，所以的面积，故B正确；，所以，故C错误；当直线与椭圆C相切时，即得，所以，解得，所以的最小值为．故D正确．故选ABD．
12．ACD 由抛物线的定义可知，可得抛物线C的方程为，故A选项正确；
设点P的坐标为，其中，由，可得PF的中点坐标为，代入抛物线C的方程有，可得，可得点P的坐标为，故B选项错误；
设直线PQ的方程为，联立方程消去x后整理为，由直线PQ与抛物线C相切，有，可得，可得直线PQ的方程为，点Q的坐标为，直线PF的斜率为－m，由，可得，故C选项正确；
又由，，，，有，故D选项正确．故选ACD．
13． 由解得或，即实数m的取值范围是．
14．
15．25 因为点P是椭圆C上的一点，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
16． 记双曲线C的左焦点为，连接，．
因为，由双曲线的对称性可知．
设，则，所以，
即，解得或（舍），所以，．
由，可知直线AF的斜率为－3，
又由，可知，．可得双曲线C的方程为．
直线AF的方程为，
联立解得或，
故，，．
17．解：（1）由题意得直线l的斜率，
故直线l的方程为，即；
（2）可设直线m的方程为，
由题意得，解得或，
故直线m的方程为或．
18．解：（1）由得，
，整理得，
故动点P的轨迹C的方程为；
（2）∵点Q的坐标为且圆Q与y轴相切，∴圆Q的半径为t，
∴圆Q的方程为，
∴圆Q与圆C两圆心的距离为，
∵圆Q与圆C有公共点，∴，
即，解得，
所以实数t的取值范围是．
19．解：（1）由题意知，，抛物线C的准线为，
所以焦点F关于C的准线的对称点为，所以，
解得，所以抛物线C的方程为；
（2）由（1）知，所以直线l的方程为．
设，，由得，
所以，所以．
20．解：（1）由题意知，解得，，，
所以双曲线C的方程为；
（2）显然，直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，
由得，
所以，，，
所以，
点O到直线l的距离，
所以，
解得或，
所以直线l的方程为或或或．
21．解：（1）由题意知解得，，
所以椭圆C的方程是；
（2）设，，，
由得，，
所以，，
所以，所以，解得．
所以存在点，使得为定值．
22．解：（1）将点，的坐标代入双曲线C的方程，有
解得，故双曲线C的标准方程为；
（2）设点P，Q的坐标分别为，，直线PQ的方程为，
联立方程消去x后整理为，
有，，有
；
（3）证明：直线AP的方程为，联立方程
解得点M的坐标为，同理可得点N的坐标为，
又由，有，，
由对称可知直线MN所过的定点必定在x轴上，设定点的坐标为，
有，可得，所以直线MN过定点．