河南省济源市重点中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（含答案）

济源市重点中学2023-2024学年高一上学期10月月考
数学试卷
考试时间：90分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）
1．下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．太阳系内的所有行星
C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知集合，，若，则的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．±1
4．集合，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．集合的非空子集个数是（ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
6．已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
8．已知M，N是任意两个非空集合，定义集合，则（ ）
A．N B． C． D．
9．设实数x、y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，，则M，N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
11．下列说法正确的是（ ）
A．最小值为2 B．最大值为2
C．最小值为2 D．最大值为2
12．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点C，使得，，过点C作交圆周于D，连接OD．作交OD于E．则下列不等式可以表示的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．用列举法表示集合______．
14．写出命题，否定形式：______．
15．已知正数a，b满足，则ab的最大值为______．
16．已知p：，q：，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是______．
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知全集，集合，，求：
（1）；
（2）
18．（12分）求下列不等式的解集．
（1） （2）
19．（12分）已知集合，．
（1）若，求；
（2），求实数m的取值范围．
20．（12分）解答下列各题．
（1）若，求的最小值．
（2）若正数a，b满足，求的最小值．
（3）若正数x，y满足，求xy取值范围
21．（12分）设函数
（1）若不等式的解集为，实数a，b的值；
（2）若该函数过点，且对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪怎样设计才能使整个绿化面积最小，最小值是多少？
参考答案
一、单选题
1．B 2．B 3．B 4．B 5．C 6．C 7．C 8．B 9．B 10．A 11．C 12．A
【12题解析】
连接DB，因为AB是圆O的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以．在中，由射影定理可得，即，，由得，故选A．
二、填空题
13． 14．， 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）∵，，
（2）因为全集，
18．解：（1）∵，∴
∴，解得：
故的解集为
（2）由可得
∴，解得：
故的解集为
19．（1）当时，，故；
（2）当时，即当时，，则；
当时，即当时，，
因为，则或，解得或，此时有．
综上所述，实数m的取值范围是．
20．解：（1）因为，则，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为8；
（2）正数a，b满足，则，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为18；
（3）正数x，y满足，
解可得，即，当且仅当时取等号．
21．（1）由题意的两根是-1，1，
所以，解得，
（2）把代入函数解得即
化为在R上恒成立．
①当时，恒成立
②当时，，解得
综上可得，
22．设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得．
记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
当且仅当米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为平方米．