青海省西宁市重点中学2023-2024学年高一上学期10月阶段学情考试数学试题（含解析）

西宁市重点中学2023-2024学年高一上学期10月阶段学情考试
数学
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3
3．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．与的关系不确定
二、多选题（每小题5分，共20分，少选得2分，多选错选不得分）
9．下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下面命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．设，则“”是“”的必要不充分条件
C．“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件
D．“且”是“且”的充分不必要条件
12．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C．=|| D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设，P为N的子集，则集合P的个数______．
14．已知函数，若，则______．
15．已知全集，，，指出Venn图中阴影部分表示的集合是______．
．
16．已知，且p是q的必要不充分条件，则实数的取值范围为______．
三、解答题（17题10分，其它题各12分，共70分）
17．设全集，集合，集合．
（1）当时，求及，；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18．已知函数，
（1）求；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的单调区间和值域（无需证明）．
19．已知是二次函数，，且．
（1）求的解析式；
（2）求在上的最小值．
20．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米．
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
21．已知函数
（1）判断函数是否具有奇偶性？并说明理由；
（2）试用函数单调性的定义证明：在上是增函数．
22．设函数，已知不等式的解集为．
（1）若不等式的解集为，求实数m的取值范围；
（2）若对任意的实数都成立，求实数m的取值范围．
西宁市重点中学2023-2024学年高一上学期10月阶段学情考试
数学
（解析）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．【答案】D
【详解】，，
．
故选：D．
2．【答案】B
【详解】因为，所以或者，解得或或，经验证，当或时，不满足集合中元素的互异性，故
3．【答案】B
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知：
命题“”的否定是：．
故选：B．
4．【答案】C
【详解】奇函数的图像关于原点对称，、、的图像关于y轴对称．
5．【答案】C
【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以．
所以“”是“”的充要条件．
解法二：充分性：因为，且，所以，所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，所以，即，即，所以．所以必要性成立．所以“”是“”的充要条件．
解法三：充分性：因为，且，
所以，所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，所以必要性成立．
所以“”是“”的充要条件．故选C．
6．【答案】A
【详解】原不等式可化为，即，解得，
故原不等式的解集为．
故选：A．
7．【答案】D
【详解】因为，，，即
所以，
当且仅当时，等号成立，有最小值2．
又因为，所以，解得
8．【答案】A
【详解】因为集合，分子表示所有的奇数
集合，分子表示所有的整数，
所以
二、多选题（每小题5分，共20分，少选得2分，多选错选不得分）
9．【答案】ACD
【详解】元素与集合之间的关系用“”，集合与集合之间的关系用“”故B项错误
10．【答案】CD
【详解】对于A：当时，故A错误；
对于B：取，则，故B错误；
对于C：若，则，，所以，故C正确；
对于D：由，所以，所以，故D正确．
故选CD．
11．【答案】BCD
【详解】解：对于A，由，不能推出，充分性不成立；故A错误
对于B，因为，则，一定有，反之，不一定有，故B正确
对于C，a，b都是偶数，则一定是偶数，但是是偶数，a，b可为两个奇数，故C正确．
对于D，且，则由不等式的性质有且，充分性成立，但是当且时，取，，不满足且，必要性不成立，所以D正确．
12．【答案】BC
【详解】解：对于A，定义域分别为R和，所以不是同一函数
对于B，定义域都为R，对应关系都可写为，所以是同一函数
对于C，可写为，是同一函数
对于D，定义域分别为R和，不是同一函数
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．【答案】8
【详解】集合N的子集共有个，这里，即8个
14．【答案】2
【详解】解：若，则或，解得．
15．【答案】
16．【答案】
【详解】设．
p是q的必要不充分条件，所以．
（两个等号不能同时取到），解得．
故答案为：．
三、解答题（17题10分，其它题各12分，共70分）
17．【答案】（1），，
（2）
【详解】（1）当时，集合
则，，
（2）若“”是“”的充分条件，则，，解得
18．【答案】（1）；
（2）
（3）由，函数的两个零点为－1和3，对称轴为
由图可知函数在区间和上单调递减；
在区间和上单调递增，值域
19．【答案】（1）设的解析式为，，且
则：，，
解得，，
所以
（2）的对称轴为，
当时，求在上单调递减，的最小值为
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，的最小值为，
综上所述
20．【答案】（1）设矩形草坪的宽为米，长为米，草坪面积为400平方米，则，
因为矩形草坪的长比宽至少多9米，所以，即
解得，草坪宽的最大值为16米．
（2）设整个绿化面积为S平方米，由题意
，
当且仅当，即时等式成立
所以整个绿化面积的最小值为平方米
21．【答案】（1）不具有奇偶性
【详解】（1）不具有奇偶性，因为定义域为，不关于原点或者y轴对称，所以函数不具有．
或者且
（2）
，属于，且
因为，则为，，
故，，所以在上是增函数
22．【答案】（1），（2）
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以对应方程的两个根分别为1和3，则，解得，
所以
若不等式的解集为，则恒成立
，解得
所以实数的取值范围为
（2）若，对任意的实数都成立
则，对任意的实数都成立
即，对任意的实数都成立
令，，函数在上为增函数
的最小值为
故，解得
所以实数的取值范围为