2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：6.2.2 平行四边形的判定 ——用对角线的关系判定平行四边形
一、知识点1由对角线相互关系判定平行四边形
1．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形
2．（2017八下·蒙阴期中）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
3．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当点E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．OE=OF B．DF=BE C．AE=CF D．∠AEB=∠CFD
4．（2015八下·绍兴期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
5．如图,在 ABCD中,点E,F在AC上,且AE=CF.求证:四边形BEDF是平行四边形.
二、知识点2平行四边形判定方法的综合应用
6．在四边形ABCD中，AC交BD于点O，且AB∥CD，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.
其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
7．下列命题中，真命题有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；
②AB=CD，AD=BC；
③AO=CO，BO=DO；
④AB∥CD，AD=BC.
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
9．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线上的两点，给出下列四个条件：①OE=OF；
②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图, ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.
求证:四边形AECF是平行四边形.
11．如图,已知点E,C在线段BF上,BE=EC=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.
（1）求证:△ABC≌△DEF;
（2）试判断:四边形AECD的形状,并说明理由.
12．如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,直线l交CD边于点E,连接BE.
（1）求证:四边形BCED'是平行四边形;
（2）若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.
13．在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AC交直线AB于点E,DF∥AB交直线AC于点F.
（1）当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.
（2）当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③.请分别写出图②、图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
（3）若AC=6,DE=4,则DF= .
答案解析部分
1．【答案】BO=DO
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可．
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵ ABCD
∴OB=OD
∵OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形，因此A不符合题意；
B、添上条件DF=BE，不能证明四边形DEBF是平行四边形；因此B符合题意；
C、∵ ABCD
∴OB=OD，OA=OC
∵AE=CF
∴OE=OF ∵OB=OD
∴四边形DEBF是平行四边形，因此C不符合题意；
D、∵ ABCD
∴AB=CD，AB∥CD
∴∠EAB=∠FCD
在△AEB和△CFD中
∴△AEB≌△CFD
∴BE=DF，
∵∠AEB=∠CFD
∴∠AEB+∠BEO=180°，∠CFD+∠DFO=180°
∴∠BEO=∠DFO
∴BE∥DF，∵BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，因此D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质，结合题中的选项，逐一进行判断即可。
4．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE= = =5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC BD=4×（3+3）=24，
故选：D．
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
5．【答案】证明:如图,连接BD,交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF.∴OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，根据已知条件四边形ABCD是平行四边形,，得出OA=OC,OB=OD，再根据AE=CF，证明OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得结论。
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】如图
①当AB∥CD，BC=AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形；因此①不符合题意；
②∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB
在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD
∴AB=CD AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，因此②符合题意；
③∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB
在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO
∴AB=CD AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，因此③符合题意；
④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，不能判定四边形ABCD是平行四边形，因此④不符合题意；
所以正确的说法有②③
故答案为：C
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，加上四选项中的条件，逐一进行验证。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，是假命题；
因此是真命题的有：①②
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图
①∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，①符合题意；
②∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形，②符合题意；
③∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，③符合题意；
④∵AB∥CD，AD=BC.
不能判定四边形ABCD是平行四边形，④不符合题意；
因此一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有①②③
故答案为C
【分析】结合已知，根据平行四边形的判断方法逐一判断即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵ ABCD，∴OB=OD
∵OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形，因此①不符合题意；
②DE=BF不能判断四边形DEBF是平行四边形，因此②符合题意；
③∵ ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC
∴∠DAE=∠BCF
在△ADE和△BCF中
∴△ADE≌△BCF
∴DE=BF，∠DEA=∠BFC
∴∠DEA+∠DEO=180°，∠BFC+∠OFB=180°
∴∠DEO=∠OFB
∴DE∥BF DE=BF
∴四边形DEBF是平行四边形，因此③不符合题意；
④当∠ABE=∠CDF，与③的证明方法一样，可证出四边形DEBF是平行四边形，因此④不符合题意；
因此不能判定四边形DEBF是平行四边形只有②。
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的性质及判断和全等三角形的性质及判断，逐一判断即可得出答案。
10．【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,OA=OC.∵AB∥CD,∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO.在△FDO和△EBO中,∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,OD=OB,∴△FDO≌△EBO(AAS).∴OF=OE.∴四边形AECF是平行四边形
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB,OA=OC，再根据AB∥CD得出∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO，就可证明△FDO≌△EBO，从而证得OF=OE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得结论。
11．【答案】（1）证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∵BE=EC=CF,∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF.
（2）解:四边形AECD是平行四边形.理由:∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF.
∵∠ACB=∠F,∴AC∥DF,
∴四边形ACFD是平行四边形.
∴AD∥CF,AD=CF.
∵EC=CF,∴AD=EC.
又∵AD∥EC,∴四边形AECD是平行四边形
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质证出∠B=∠DEF.，再根据BE=EC=CF得出BC=EF，然后利用全等三角形的判定即可证得结论。
（2）根据全等三角形的性质得出AC=DF，再根据平行线的判定证明AC∥DF，可得到四边形ACFD是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出AD∥CF,AD=CF，从而可证明AD=EC，然后再根据平行四边形的判定证得结论。
12．【答案】（1）证明:由折叠的性质可得∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,DA=D'A.∵DE∥AD',∴∠DEA=∠EAD',
∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA.
∴DE=DA=AD'.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC
∴CE∥D'B,CE=D'B,
∴四边形BCED'是平行四边形
（2）证明:∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA.
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°.
∴∠AEB=90°.∴AB2=AE2+BE2
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得出∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,DA=D'A.，再根据平行四边形的性质及平行线的性质证明DE=AD'，就可证明四边形ABCD是平行四边形,再证明CE∥D'B,CE=D'B,，就可证明四边形BCED'是平行四边形。
（2）根据角平分线的定义及平行线的性质证明△ABE是直角三角形，再利用勾股定理即可证得结论。
13．【答案】（1）证明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形.
∴DE=AF.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠FDC=∠C,∴DF=FC,
∴DE+DF=AF+FC=AC
（2）解:当点D在边BC的延长线上时,DE-DF=AC;∵DE∥AC,DF∥AB,∴∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形.
∴DE=AF.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠FDC=∠ACB,∵∠DCF=∠ACB,∴∠FDC=∠DCF∴DF=FC,
∴AC+CF=AC+DF=AF=DEDE-DF=AC;
同理可证当点D在边BC的反向延长线上时,DF-DE=AC
（3）2或10
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（3）根据（1）的结论DE+DF=AC
∵AC=6,DE=4
∴DF=AC-DE=6-4=2
根据图②的结论DE-DF=AC
∴DF=DE-AC=-2，不符合题意；
根据图③的结论DF-DE=AC
∴DF=DE+AC=4+6=10
【分析】（1）根据已知条件及平行四边形的判定，可证明四边形AEDF是平行四边形，得出DE=AF，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质证明∠FDC=∠C，得到DF=FC，然后根据DE+DF=AF+FC，即可证得结论。
（2）图②根据已知条件及平行四边形的判定，可证明四边形AEDF是平行四边形，得出DE=AF，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质证明∠FDC=∠DCF，得到DF=FC，然后根据AC+CF=AC+DF=AF=DE，即可证得结论；同理可得出图③的结论。
（3）利用（1）（2）（3）的结论计算即可。
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：6.2.2 平行四边形的判定 ——用对角线的关系判定平行四边形
一、知识点1由对角线相互关系判定平行四边形
1．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形
【答案】BO=DO
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．
2．（2017八下·蒙阴期中）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可．
3．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当点E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．OE=OF B．DF=BE C．AE=CF D．∠AEB=∠CFD
【答案】B
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵ ABCD
∴OB=OD
∵OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形，因此A不符合题意；
B、添上条件DF=BE，不能证明四边形DEBF是平行四边形；因此B符合题意；
C、∵ ABCD
∴OB=OD，OA=OC
∵AE=CF
∴OE=OF ∵OB=OD
∴四边形DEBF是平行四边形，因此C不符合题意；
D、∵ ABCD
∴AB=CD，AB∥CD
∴∠EAB=∠FCD
在△AEB和△CFD中
∴△AEB≌△CFD
∴BE=DF，
∵∠AEB=∠CFD
∴∠AEB+∠BEO=180°，∠CFD+∠DFO=180°
∴∠BEO=∠DFO
∴BE∥DF，∵BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，因此D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质，结合题中的选项，逐一进行判断即可。
4．（2015八下·绍兴期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE= = =5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC BD=4×（3+3）=24，
故选：D．
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
5．如图,在 ABCD中,点E,F在AC上,且AE=CF.求证:四边形BEDF是平行四边形.
【答案】证明:如图,连接BD,交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF.∴OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，根据已知条件四边形ABCD是平行四边形,，得出OA=OC,OB=OD，再根据AE=CF，证明OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得结论。
二、知识点2平行四边形判定方法的综合应用
6．在四边形ABCD中，AC交BD于点O，且AB∥CD，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.
其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】如图
①当AB∥CD，BC=AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形；因此①不符合题意；
②∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB
在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD
∴AB=CD AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，因此②符合题意；
③∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB
在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO
∴AB=CD AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，因此③符合题意；
④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，不能判定四边形ABCD是平行四边形，因此④不符合题意；
所以正确的说法有②③
故答案为：C
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，加上四选项中的条件，逐一进行验证。
7．下列命题中，真命题有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，是假命题；
因此是真命题的有：①②
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可得出答案。
8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；
②AB=CD，AD=BC；
③AO=CO，BO=DO；
④AB∥CD，AD=BC.
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图
①∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，①符合题意；
②∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形，②符合题意；
③∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，③符合题意；
④∵AB∥CD，AD=BC.
不能判定四边形ABCD是平行四边形，④不符合题意；
因此一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有①②③
故答案为C
【分析】结合已知，根据平行四边形的判断方法逐一判断即可得出答案。
9．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线上的两点，给出下列四个条件：①OE=OF；
②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵ ABCD，∴OB=OD
∵OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形，因此①不符合题意；
②DE=BF不能判断四边形DEBF是平行四边形，因此②符合题意；
③∵ ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC
∴∠DAE=∠BCF
在△ADE和△BCF中
∴△ADE≌△BCF
∴DE=BF，∠DEA=∠BFC
∴∠DEA+∠DEO=180°，∠BFC+∠OFB=180°
∴∠DEO=∠OFB
∴DE∥BF DE=BF
∴四边形DEBF是平行四边形，因此③不符合题意；
④当∠ABE=∠CDF，与③的证明方法一样，可证出四边形DEBF是平行四边形，因此④不符合题意；
因此不能判定四边形DEBF是平行四边形只有②。
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的性质及判断和全等三角形的性质及判断，逐一判断即可得出答案。
10．如图, ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.
求证:四边形AECF是平行四边形.
【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,OA=OC.∵AB∥CD,∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO.在△FDO和△EBO中,∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,OD=OB,∴△FDO≌△EBO(AAS).∴OF=OE.∴四边形AECF是平行四边形
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB,OA=OC，再根据AB∥CD得出∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO，就可证明△FDO≌△EBO，从而证得OF=OE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得结论。
11．如图,已知点E,C在线段BF上,BE=EC=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.
（1）求证:△ABC≌△DEF;
（2）试判断:四边形AECD的形状,并说明理由.
【答案】（1）证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∵BE=EC=CF,∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF.
（2）解:四边形AECD是平行四边形.理由:∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF.
∵∠ACB=∠F,∴AC∥DF,
∴四边形ACFD是平行四边形.
∴AD∥CF,AD=CF.
∵EC=CF,∴AD=EC.
又∵AD∥EC,∴四边形AECD是平行四边形
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质证出∠B=∠DEF.，再根据BE=EC=CF得出BC=EF，然后利用全等三角形的判定即可证得结论。
（2）根据全等三角形的性质得出AC=DF，再根据平行线的判定证明AC∥DF，可得到四边形ACFD是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出AD∥CF,AD=CF，从而可证明AD=EC，然后再根据平行四边形的判定证得结论。
12．如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,直线l交CD边于点E,连接BE.
（1）求证:四边形BCED'是平行四边形;
（2）若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.
【答案】（1）证明:由折叠的性质可得∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,DA=D'A.∵DE∥AD',∴∠DEA=∠EAD',
∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA.
∴DE=DA=AD'.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC
∴CE∥D'B,CE=D'B,
∴四边形BCED'是平行四边形
（2）证明:∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA.
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°.
∴∠AEB=90°.∴AB2=AE2+BE2
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得出∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,DA=D'A.，再根据平行四边形的性质及平行线的性质证明DE=AD'，就可证明四边形ABCD是平行四边形,再证明CE∥D'B,CE=D'B,，就可证明四边形BCED'是平行四边形。
（2）根据角平分线的定义及平行线的性质证明△ABE是直角三角形，再利用勾股定理即可证得结论。
13．在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AC交直线AB于点E,DF∥AB交直线AC于点F.
（1）当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.
（2）当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③.请分别写出图②、图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
（3）若AC=6,DE=4,则DF= .
【答案】（1）证明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形.
∴DE=AF.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠FDC=∠C,∴DF=FC,
∴DE+DF=AF+FC=AC
（2）解:当点D在边BC的延长线上时,DE-DF=AC;∵DE∥AC,DF∥AB,∴∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形.
∴DE=AF.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠FDC=∠ACB,∵∠DCF=∠ACB,∴∠FDC=∠DCF∴DF=FC,
∴AC+CF=AC+DF=AF=DEDE-DF=AC;
同理可证当点D在边BC的反向延长线上时,DF-DE=AC
（3）2或10
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（3）根据（1）的结论DE+DF=AC
∵AC=6,DE=4
∴DF=AC-DE=6-4=2
根据图②的结论DE-DF=AC
∴DF=DE-AC=-2，不符合题意；
根据图③的结论DF-DE=AC
∴DF=DE+AC=4+6=10
【分析】（1）根据已知条件及平行四边形的判定，可证明四边形AEDF是平行四边形，得出DE=AF，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质证明∠FDC=∠C，得到DF=FC，然后根据DE+DF=AF+FC，即可证得结论。
（2）图②根据已知条件及平行四边形的判定，可证明四边形AEDF是平行四边形，得出DE=AF，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质证明∠FDC=∠DCF，得到DF=FC，然后根据AC+CF=AC+DF=AF=DE，即可证得结论；同理可得出图③的结论。
（3）利用（1）（2）（3）的结论计算即可。
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