第四章《指数函数、对数函数与幂函数》章节同步练习（10份打包）（含解析）

4.7 数学建模活动：生长规律的描述
一、选择题
1．如图是我国2008年—2017年年增量统计图．下列说法正确的是（ ）
A．2009年比2008年少
B．与上一年比，年增量的增量最大的是2017年
C．从2011年到2015年，年增量逐年减少
D．2016年年增长率比2012年年增长率小
2．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
1 2 3 …
1 3 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A．y=2x–1 B．y=x2–1 C．y=2x–1 D．y=1.5x2–2.5x+2
3．一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0A．y=a（1+p%）x B．y=a（1–p%）x C．y=a（p%）x D．y=a–（p%）x
4．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)(　　)
A．44小时 B．45小时
C．46小时 D．47小时
5．已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2017年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小，则(　　)
A．甲车间大于乙车间 B．甲车间等于乙车间
C．甲车间小于乙车间 D．不确定
6．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（　　）
A． B．
C． D．
7．某种动物繁殖数量 y(只)与时间x(年)的关系为 y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　)
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
8．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t，水面高度y由图所示，图中PQ为一线段，与之对应的容器的形状是（　　）
A． B．
C． D．
9．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该 市用丙车比用乙车更省油
D．甲车以80千米小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
10．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
11．有一组试验数据如表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　)
A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1
C．y＝2log2x D．y＝x3
12．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（ ）
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．对数函数模型 D．指数函数模型
二、填空题
13．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1．25%，则________年我国人口将超过20亿．(≈0．301 0，≈0．477 1，≈0．845 1)
14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分 0.568
超过50至200的部分 0.598
超过200的部分 0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为______________元（用数字作答）.
15．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量（单位：万斤）与年份（记2015年为第1年）之间的关系统计如下：
1 2 3 4
4.00 5.62 7.00 8.86
则近似符合以下三种函数模型之一：①；②；③.则你认为最适合的函数模型的序号是_______________.
16．2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过3000元的部分
2 超过3000元至12000元的部分
3 超过12000元至25000元的部分
某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元
三、解答题
17．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A+1）进行奖励．记奖金y（单位：万元），销售利润x（单位：万元）
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；
（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元．
18．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入台，且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．
（1）求的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
19．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝＋1.74
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．
20．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
21．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年，2016年，2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数(其中为常数)或函数 (其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
22．函数的定义域为，①在上是单调函数，②在上存在区间，使在 上的值域为，那么称为上的“减半函数”
（1）若，（），试判断它是否为“减半函数”，并说明理由
（2）若，（），为“减半函数”，试求的范围
4.7 数学建模活动：生长规律的描述
一、选择题
1．如图是我国2008年—2017年年增量统计图．下列说法正确的是（ ）
A．2009年比2008年少
B．与上一年比，年增量的增量最大的是2017年
C．从2011年到2015年，年增量逐年减少
D．2016年年增长率比2012年年增长率小
【答案】D
【解析】
A无法确定，因为此图是增量图，具体2009年和2008的GDP是多少未知；与上一年相比增量最大的应该是2010年，故B错，C明显错误，2013年的增量在增加，故选D.
2．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
1 2 3 …
1 3 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A．y=2x–1 B．y=x2–1 C．y=2x–1 D．y=1.5x2–2.5x+2
【答案】A
【解析】
将各数据代入y=2x–1，总成立，代入其它函数不能恒成立，故选A．
3．一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0A．y=a（1+p%）x B．y=a（1–p%）x C．y=a（p%）x D．y=a–（p%）x
【答案】B
【解析】
根据题意，得y=a（1–p%）x，∵x是年数，又由题意04．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)( )
A．44小时 B．45小时
C．46小时 D．47小时
【答案】C
【解析】
1小时后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100；
2小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
3小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
4小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为y＝100×()x(x∈N*)．
由100×()x>1010，得()x>108，两边取以10为底的对数，得xlg>8，
∴x>.∵＝≈45.45，∴x>45.45，
∴至少经过46小时，细胞总数超过1010个．
5．已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2017年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小，则( )
A．甲车间大于乙车间 B．甲车间等于乙车间
C．甲车间小于乙车间 D．不确定
【答案】A
【解析】
设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2017年1月份均为m，则由题意得m＋6a＝m×(1＋x)6.①
4月份甲车间的月产值为m＋3a,4月份乙车间的月产值为m×(1＋x)3，
由①知，(1＋x)6＝1＋，即4月份乙车间的月产值为m＝ ，∵(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2＞0，∴m＋3a＞，即4月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值．
故答案为：A.
6．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由图象可知在第一象限内，是关于的增函数，A、B、C均合题意
当时，在第一象限内是减函数，
当时，在第一象限内没有图象，
故不适合．
故选：D．
7．某种动物繁殖数量 y(只)与时间x(年)的关系为 y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
【答案】A
【解析】
由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog2（x+1），这种动物第1年有100只
∴100=alog2（1+1），
∴a=100，
∴y=100log2（x+1），
∴当x=7时，y=100 log2（7+1）=100×3=300．
故选：A．
8．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t，水面高度y由图所示，图中PQ为一线段，与之对应的容器的形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由函数图象可判断出该容器必定有不同规则形状，
并且一开始先慢后快，所以下边粗，上边细，
再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段，
故排除A,C,D，
故选B.
9．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该 市用丙车比用乙车更省油
D．甲车以80千米小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
【答案】C
【解析】
对于A，由图象可知当速度大于时，乙车的燃油效率大于，所以当速度大于时，消耗1升汽油，乙车的形式距离大于，所以是错误的；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，所以以相同的速度行驶相同的路程，三辆车中，甲车消耗的汽油最少，所以是错误的；
对于C，由图象可知当速度小于时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙车比用乙车更省油，所以是正确的；
对于D，右图可知当速度为时，甲车的燃油效率为，即甲车行驶时，耗油1升，故行驶1小时，路程为，燃油为8升，所以是错误的，故选C.
10．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
【答案】A
【解析】
根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，
因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型，
故选A.
11．有一组试验数据如表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是( )
A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1
C．y＝2log2x D．y＝x3
【答案】B
【解析】
选B 由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C不正确．取x＝2.01，代入A选项，得y＝2x＋1－1>4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3>8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B.
12．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（ ）
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．对数函数模型 D．指数函数模型
【答案】D
【解析】
由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型；
取点（0，1），（1，4），（2，16），设一次函数y=kx+b（k≠0），则，
解得b=1，k=3，即y=3x+1，而当x=2时，y=7，所以不是一次函数模型；
设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），则 解得 ，
即 当x=-1时，y＝7，故不满足题意；
设指数函数y=ax（a＞0，a≠1），则 ，∴a=4，解得指数函数y=4x，
代入其他x值，验证：f（-1）=4-1=0.25接近0.26；f（0）=1接近1.11；f（1）=4接近3.96；f（3）=43=64接近63.98．
由上面验证可知，故选D.
二、填空题
13．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1．25%，则________年我国人口将超过20亿．(≈0．301 0，≈0．477 1，≈0．845 1)
【答案】2037.
【解析】
由已知条件：%），
所以，
则，即．
14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分 0.568
超过50至200的部分 0.598
超过200的部分 0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为______________元（用数字作答）.
【答案】148.4
【解析】
高峰时间段的电费为：（元），低谷时间段的电费为：（元），
所以该家庭本月应付的电费为（元）.
故答案为：148.4.
15．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量（单位：万斤）与年份（记2015年为第1年）之间的关系统计如下：
1 2 3 4
4.00 5.62 7.00 8.86
则近似符合以下三种函数模型之一：①；②；③.则你认为最适合的函数模型的序号是_______________.
【答案】①
【解析】
符合条件的是f（x）＝ax+b，
若模型为f（x）＝2x+a，则由f（1）＝2+a＝4，得a＝2，即f（x）＝2x+2，
此时f（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f（x），则由f（1）＝＝4，得＝3，即f（x）＝，
此时f（2）＝7，f（3）＝12，f（4）＝17，与已知相差太大，不符合．
由已知得，解得a，b，
∴f（x）x，（x＝1，2，…，6，7）经验证x＝2，4，符合的比较好．
故答案为：①
16．2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过3000元的部分
2 超过3000元至12000元的部分
3 超过12000元至25000元的部分
某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元
【答案】790
【解析】
结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，
则应缴纳的个人所得税为
元
故答案为：790
三、解答题
17．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A+1）进行奖励．记奖金y（单位：万元），销售利润x（单位：万元）
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；
（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元．
【答案】（1）见解析 ；（2）老张的销售利润是34万元.
【解析】
（1）由题意得；
（2）由x∈（0，10]，0.16x≤1.6，
而y＝5.6，∴x＞10．
因此1.6+2log5（x﹣9）＝5.6，解得x＝34（万元）．
∴老张的销售利润是34万元．
18．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入台，且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．
（1）求的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）；（2）只需每批购入台，可以使资金够用
【解析】
（1）设全年需用去的运费和保管费的总费用为元
题中的比例系数设为，每批购入台，则共需分批，每批费用元
由题意知：
当时，
解得：
（2）由（1）可得：（元）
当且仅当，即时等号成立
故只需每批购入台，可以使资金够用
19．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝＋1.74
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．
【答案】④
【解析】画出散点图如图所示．
由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.
答案：④
20．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
【答案】（1），；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.
【解析】
试题分析：（1）由图可知，点在曲线上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得.同理在曲线上，将其代入曲线的方程可求得.（2）设投资甲商品万元，乙商品万元，则利润表达式为，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品万元，乙商品万元时，所获得的利润最大值为万元.
试题解析：
（1）由题知，在曲线上，
则，
解得，即.
又在曲线上，且，则，
则，所以.
（2）设甲投资万元，则乙投资为万元，
投资获得的利润为万元，则
，
令，
则.
当，即（万元）时，利润最大为万元，此时（万元），
答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.
21．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年，2016年，2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数(其中为常数)或函数 (其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
【答案】用作模拟函数较好．
【解析】
若以作模拟函数，
则依题意得： ，∴.
若以作模拟函数，
则 ，∴.
利用，对2018年CO2浓度作估算，
则其数值分别为：单位，单位，
∵||>||，
故作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用作模拟函数较好．
22．函数的定义域为，①在上是单调函数，②在上存在区间，使在 上的值域为，那么称为上的“减半函数”
（1）若，（），试判断它是否为“减半函数”，并说明理由
（2）若，（），为“减半函数”，试求的范围
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）若，（），
则为单调增函数
存在，，
其值域为
满足“减半函数”
（2）当，原函数为单调减函数
复合部分也为单调减函数
故此时，函数为单调递增函数
当时,
为单调递增函数
复合部分也为单调增函数
故此时，函数为单调递增函数
故无论，还是，函数在定义域内为单调递增函数
可得：
，
是方程的两个不同的根，令，
则方程有两个不等的正根
即
解得
故，
检验由知：满足题设要求.第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1指数与指数函数
4.1.1实数指数幂及其运算
一、选择题
1． =(　 　 )
A．3 B． C．-3 D．
2．将根式化为分数指数幂是（ ）
A． B． C． D．
3．的值是　　
A． B．2 C． D．
4．计算：（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．化简的结果是( )
A． B． C．3 D．5
7．式子经过计算可得到（　　）
A． B． C．－ D．－
8．化简的结果是
A． B． C． D．
9．若，则实数a的取值范围是(　　)
A．a∈R B．a＝
C．a＞ D．a≤
10．若，，则等于( )
A． B． C． D．
11．以下各式化简错误的是(　　)
A．
B．
C．
D．
12．化简的结果为(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
13．计算______．
14．=______．
15．计算：化简的结果是____________。
16．化简的值为________．
三、解答题
17．计算下列各式
（1）（-）（3）（-2）
（2）2（-3）÷（-6）
18．（1）
（2）
19．化简下列各式
（1）
（2）（x≥1）
计算：（1）；
（2）已知，求的值.
21．（I）求值：+；
（II）已知，求的值．
22．；
设，化简：；
若，求的值．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1指数与指数函数
4.1.1实数指数幂及其运算
一、选择题
1． =( )
A．3 B． C．-3 D．
【答案】A
【解析】
由，
故选A.
2．将根式化为分数指数幂是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根式化为分数指数幂是，
故选：A．
3．的值是
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
．
故选：A．
4．计算：（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
【答案】B
【解析】
故选：B.
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
对于A，a，当a为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B，a0＝1，当a＝0时无意义，故B不正确；
对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D，，故D正确．
故选：D．
6．化简的结果是( )
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】
.
故选B.
7．式子经过计算可得到（ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】D
【解析】
因为，所以a＜0，
所以．
故选：D．
8．化简的结果是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意得．
故选B．
9．若，则实数a的取值范围是( )
A．a∈R B．a＝
C．a＞ D．a≤
【答案】D
【解析】
左边＝，
所以|2a－1|＝1－2a，即2a－1≤0.
所以a≤.
故选：D
10．若，，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，则==；
故选D.
11．以下各式化简错误的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
对A，，正确；
对B，，正确；
对C，，正确．
经化简可知D项错误．
故选：D
12．化简的结果为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为，
，
，
，
，
所以原式＝.
故选：B
二、填空题
13．计算______．
【答案】8
【解析】
．
故答案为：8．
14．=______．
【答案】
【解析】
，
．
故答案为：．
15．计算：化简的结果是____________。
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
16．化简的值为________．
【答案】
【解析】
原式= =.
故答案为：
三、解答题
17．计算下列各式
（1）（-）（3）（-2）
（2）2（-3）÷（-6）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）（-）（3）（-2）==6x0y1=6y；
（2）2（-3）÷（-6）==x2y．
18．（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）.
【解析】
（1）原式.
（2）原式=.
19．化简下列各式
（1）
（2）（x≥1）
【答案】（1）；（2）当时为，当时为.
【解析】
（1）=；
（2）当1≤x＜3时，
=|1-x|+|3-x|=x-1+3-x=2；
当x≥3时，
=|1-x|+|3-x|=x-1+x-3=2x-4．
20．计算：（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）。
【解析】
（1）原式=﹣4﹣1+=+4﹣5+=﹣．
（2）由已知可得：x+x﹣1=﹣2==3．
x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
原式==﹣．
21．（I）求值：+；
（II）已知，求的值．
【答案】（1）； （2）18.
【解析】
（１）原式=
(2) 已知,=
,代入上式得到18.
22．；
设，化简：；
若，求的值．
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
原式；
原式；
若，
则，，
故．第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1指数与指数函数
4.1.2指数函数的性质与图象
一、选择题
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．方程4x-3 2x+2=0的解集为（　　）
A． B． C． D．
3．函数在上的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数，且在R上是增函数
B．函数是偶函数，且在R上是增函数
C．函数是奇函数，且在R上是减函数
D．函数是偶函数，且在R上是减函数
5．不等式的解集是( )
A． B． C． D．
6．已知函数，则函数y=f（x+1）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
8．设函数 且是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．当时，不等式 恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四个图形中，二次函数与指数函数的图像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．给出下列4个判断：
①若f（x）=x2-2ax在[1，+∞）上增函数，则a=1；
②函数f（x）=2x-x2只有两个零点； ③函数y=2|x|的最小值是1；
④在同一坐标系中函数y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
12．用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
13．函数的值域是_____．
14．指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，则a的取值范围是_____．
15．函数恒过定点_____
16．已知f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则f（2a）+f（-2a）=______
三、解答题
17．求函数在区间上的最大值和最小值.
18．已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过的（-2，16）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（2m+5）＜f（3m+3），求m的取值范围．
19．已知函数f（x）=2x-1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．
20．已知函数。
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）解不等式 。
21．函数是奇函数．
求的解析式；
当时，恒成立，求m的取值范围．
22．已知关于的函数 ，定义域为
（1）当时，解不等式；
（2）若函数有零点，求的取值范围.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1指数与指数函数
4.1.2 指数函数的性质与图象
一、选择题
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
集合＝{y|0则 RA＝（﹣∞，0]，
故选D.
2．方程4x-3 2x+2=0的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意，设t=2x，
则t2-3t+2=0，
解可得：t=1或t=2，
若t=1，即2x=1，则x=0，
若t=2，即2x=2，则x=1，
则方程4x-3 2x+2=0的解集为{0，1}；
故选：C．
3．函数在上的最大值与最小值的差为2，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
y＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上为单调函数，
且y＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上最大值与最小值的差为2，
即|a﹣a2|＝2，
所以a﹣a2＝2或a﹣a2＝﹣2；
即a2﹣a+2＝0或a2﹣a﹣2＝0，
解得a＝2或a＝﹣1（不合题意，舍去）；
所以a＝2．
故选：B
4．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数，且在R上是增函数
B．函数是偶函数，且在R上是增函数
C．函数是奇函数，且在R上是减函数
D．函数是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】
的定义域为R，且；
∴是奇函数；
又和都是R上的增函数；
是R上的增函数．
故选：A．
5．不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为y＝2x在R上是增函数，，
所以2x﹣7<4x﹣1，
即x>﹣3
所以不等式的解集是{x|x>﹣3}，
故选D.
6．已知函数，则函数y=f（x+1）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意，可得，f（x）单调递减；
同时有，，即函数图象与y轴交点在（0，1）之下；
A、D选项的图象为增函数，不符合；C选项的图象与y轴交点在（0，1）之上，不符合；
只有B的图象符合两点，
故选：B．
7．已知函数，若，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴，解得，故选A.
8．设函数 且是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵函数（a＞0且a≠1）是R上的减函数，
∴，
∴a＜1，
故选：A．
9．当时，不等式 恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时，不等式可转化为
，
当时，
解得
取不到，故
故选
10．如图，在四个图形中，二次函数与指数函数的图像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据指数函数y＝（）x可知a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2+bx的对称轴0可排除B与D，
又二次函数，当x=0时，y=0，而A中，x=0时，y<0，故A不正确．
故选C．
11．给出下列4个判断：
①若f（x）=x2-2ax在[1，+∞）上增函数，则a=1；
②函数f（x）=2x-x2只有两个零点； ③函数y=2|x|的最小值是1；
④在同一坐标系中函数y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】
①二次函数的对称轴为，要使函数在上是增函数，则，所以①错误．
②令，分别作出的图象，
由图象观察，有一个交点，
时，，4两个交点，共3个交点，故②错．
③，所以函数的最小值是1， 所以③正确．
④函数图象上的任意点关于轴对称的点总在函数为图象上，所以在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称所以④正确，故选C．
12．用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
如图所示：
则的最大值为与交点的纵坐标，
由，得
即当时，．
故选：B．
二、填空题
13．函数的值域是_____．
【答案】
【解析】
因为在单调递增，所以的值域为，∴的值域为（﹣1，+∞）
故答案为：（﹣1，+∞）．
14．指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，则a的取值范围是_____．
【答案】（2，+∞）
【解析】
∵指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，
∴a﹣1＞1，
即a＞2，
故a的取值范围是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．
15．函数恒过定点_____
【答案】（1,2）
【解析】
函数过定点（0，1）
当时，
此时
故过定点
故答案为
16．已知f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则f（2a）+f（-2a）=______
【答案】
【解析】
根据题意，f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则3-a+3a=3，
f（2a）+f（-2a）=3-2a+32a=（3-a+3a）2-2=7；
故答案为：7．
三、解答题
17．求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】最大值53，最小值4
【解析】
∵，
令，，则，
对称轴，则在上单调递减；在上单调递增.
则，即时，；，即时，.
18．已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过的（-2，16）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（2m+5）＜f（3m+3），求m的取值范围．
【答案】（1）f（x）=； （2）m＜2.
【解析】
（1）∵函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过点（-2，16），
∴a-2=16
∴a=，即f（x）=，
（2）∵f（x）=为减函数，f（2m+5）＜f（3m+3），
∴2m+5＞3m+3，
解得m＜2．
19．已知函数f（x）=2x-1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由已知条件可得f（1）=20+a=1+a=2，解得a=1；
（2）由，得，即2x-1≤1=20，即x-1≤0，解得x≤1，
因此，实数x的取值范围是（-∞，1]．
20．已知函数。
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）解不等式 。
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）或.
【解析】
（1）易知函数，.
所以定义域为.
（2）由，从而知为偶函数；
（3）由条件得，得，解得或.
所以不等式的解集为：或.
21．函数是奇函数．
求的解析式；
当时，恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
函数是奇函数，
，
故，
故；
当时，恒成立，
即在恒成立，
令，，
显然在的最小值是，
故，解得：．
22．已知关于的函数 ，定义域为
（1）当时，解不等式；
（2）若函数有零点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
令，由可得.
(1)当时，函数可化为，
原不等式可化为或
又故即
可得
所以不等式解集为
（2）有零点即方程有解，
即在上有解，
又在上是减函数，在上是增函数，
故当时，；当时，，
即函数的值域为，则
故的取值范围是第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.2对数与对数函数
4.2.1对数运算
一、选择题
1．若2x=3，则x等于（　　）
A． B． C． D．
2．若则（ ）
A． B． C． D．
3．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（ ）
A．100=1与lg 1=0 B．与
C．log39=2与32=9 D．log55=1与51=5
4．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
5．　　
A． B．5 C． D．13
6．化简的结果为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
7．的值为（ ）
A．-1 B． C．3 D．-5
8．实数，满足，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．2C．210．已知，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
11．已知，则的值是（ ）
A．1 B．3 C． D．
12．已知，，，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题
13．________.
14．计算：____________.
15．计算：______．
16．______．
三、解答题
17．（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）计算.
18．（1）
（2） .
19．（1）
（2）log3．
20．（1）计算：；
（2）已知，试用表示.
21．（1）求值：；
（2） 若，，用，表示.
22．计算：；
若a，b分别是方程的两个实根，求的值．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.2对数与对数函数
4.2.1对数运算
一、选择题
1．若2x=3，则x等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由2x＝3，得x．
故选：D．
2．若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，即，选D.
3．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（ ）
A．100=1与lg 1=0 B．与
C．log39=2与32=9 D．log55=1与51=5
【答案】B
【解析】
1的对数等于0，即,可得到：100=1与lg 1=0；
B.对应的对数式应为．
C．；，故不正确;
D，很明显log55=1与51=5是正确的;
故选B．
4．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，故选A.
5．　　
A． B．5 C． D．13
【答案】B
【解析】
原式．
故选：B．
6．化简的结果为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【解析】
==2-2=0.故选A.
7．的值为（ ）
A．-1 B． C．3 D．-5
【答案】A
【解析】
原式＝lg2+lg5﹣2﹣2+2＝lg10﹣2＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
8．实数，满足，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，
，
，故选B.
9．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．2C．2【答案】B
【解析】由对数的定义知
所以210．已知，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，则.
11．已知，则的值是（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可得：，
则 .
本题选择D选项.
12．已知，，，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】
∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg（2x 8y）＝lg2，∴2x+3y＝2，∴x+3y＝1．
∵x＞0，y＞0，∴24，当且仅当x＝3y时取等号．
故选：C．
二、填空题
13．________.
【答案】4
【解析】
本题正确结果：
14．计算：____________.
【答案】4
【解析】
∵
-+
==4，
故答案为4.
15．计算：______．
【答案】5
【解析】
原式
本题正确结果：
16．______．
【答案】9
【解析】
原式．
三、解答题
17．（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）计算.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴
∴
（Ⅱ）原式
=
=
18．（1）
（2） .
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）
＝lg2+lg5-
＝1﹣
=．
（2）＝ ＝ ．
19．（1）
（2）log3．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）原式=（）-2+（）-2lg2-2lg5+1=16+-2（lg2+lg5）+1=16+-2+1=.
（2）原式=log33+lg100+=+2+=3．
20．（1）计算：；
（2）已知，试用表示.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）
（2）
.
21．（1）求值：；
（2） 若，，用，表示.
【答案】（1）0 （2）
【解析】
（1）原式
（2）∵，，∴，
∴
22．计算：；
若a，b分别是方程的两个实根，求的值．
【答案】（1）；（2）12.
【解析】
（1）原式
（2）根据题意，是方程的两个实根
由韦达定理得，
原式第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.2对数与对数函数
4.2.2对数运算法则
一、选择题
1．计算：＝(　　)
A. B．2
C. D.
2．计算：2log510＋log50.25＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
3．若a＞0，且a≠1，则下列说法正确的是(　　)
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
5．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
6．若log5 ·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B.
C．25 D.
7．若ab＞0，给出下列四个等式：
①lg (ab)＝lg a＋lg b；
②lg ＝lg a－lg b；
③lg＝lg ；
④lg (ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是(　　)
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
二、填空题
8．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________．
9．lg ＋lg 的值是________．
10．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
11.＝________．
三、解答题
12．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg (xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg.
13．求下列各式的值：
(1)2log525＋3log264；
(2)lg (＋)；
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.
14．计算下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.2对数与对数函数
4.2.2对数运算法则
一、选择题
1．计算：＝(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选B.原式＝＝＝2.
2．计算：2log510＋log50.25＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C.原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
3．若a＞0，且a≠1，则下列说法正确的是(　　)
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析：选B.在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．
4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
解析：选A.因为a＝log32，
所以log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
5．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D.原式＝··＝··＝6.
6．若log5 ·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B.
C．25 D.
解析：选D.由换底公式，得··＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
7．若ab＞0，给出下列四个等式：
①lg (ab)＝lg a＋lg b；
②lg ＝lg a－lg b；
③lg＝lg ；
④lg (ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是(　　)
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
解析：选D.因为ab＞0，所以a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，所以①②中的等式不一定成立；因为ab＞0，所以＞0，lg ＝×2lg ＝lg ，所以③中等式成立；当ab＝1时，lg (ab)＝0，但logab10无意义，所以④中等式不成立．故选D.
二、填空题
8．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________．
解析：由a2＝(a＞0)得a＝，
所以log＝log＝2.
答案：2
9．lg ＋lg 的值是________．
解析：lg ＋lg ＝lg ＝lg 10＝1.
答案：1
10．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
解析：logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
答案：81
11.＝________．
解析：＝＝＝＝＝1.
答案：1
三、解答题
12．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg (xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg.
解：(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg＝lg (xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg＝lg －lg (y2z)
＝lg x－2lg y－lg z.
13．求下列各式的值：
(1)2log525＋3log264；
(2)lg (＋)；
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.
解：(1)因为2log525＝2log552＝4log55＝4，
3log264＝3log226＝18log22＝18，
所以2log525＋3log264＝4＋18＝22.
(2)原式＝lg (＋)2
＝lg (3＋＋3－＋2)
＝lg 10＝.
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2
＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2
＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
14．计算下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2
＝log5＋log2＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64
＝÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
所以t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
所以t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
所以lg (ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg (ab)·(logab＋logba)＝12.第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.2对数与对数函数
4.2.3对数函数的性质与图象
一、选择题
1．若f（x）=，则f（x）的定义域为（　　）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．函数的图象必过定点（　　）
A． B． C． D．
5．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
6．在同一直角坐标系中，与的图像可能是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．若函数.则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
10．若 ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．函数（，）在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知函数，则__________．
14．函数的定义域为______．
15．函数的单调递减区间是______．
16．已知函数在区间上恒有，则实数a的取值范围是______．
三、解答题
17．已知函数．
（1）判断奇偶性并证明你的结论；
（2）解方程．
18．（1）函数f（x）=log3（-x2+6x-8）的定义域为集合A，求集合A；
（2）函数g，求g（x）的值域．
19．已知，函数.
（1）求的定义域；
（2）当时，求不等式的解集.
20．已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
21．已知函数的图像经过定点．
(1)求的值；
(2)设，求（用表示）；
22．已知函数且．
当时，，求实数x的取值范围．
若在上的最大值大于0，求a的取值范围．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.2对数与对数函数
4.2.3对数函数的性质与图象
一、选择题
1．若f（x）=，则f（x）的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由，得x且x≠1．
∴f（x）的定义域为（）∪（1，+∞）．
故选：D．
2．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，可知：
对于A：很明显是偶函数，所以排除A；
对于B：在其定义域内是减函数，所以排除B；
对于C：不是奇函数，所以排除C；
对于D：，由幂函数的性质可知是增函数，
∵，∴是奇函数．
故选：D．
3．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
；；且
本题正确选项：
4．函数的图象必过定点（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵过定点，
∴，
，
故图象必过定点．
故选：A．
5．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】
∵loga1＝logaa，
当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，
当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a，
综上可知a的取值范围是或，
故选C.
6．在同一直角坐标系中，与的图像可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项；
的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B．
7．已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
依题意，由于为定义域上的减函数，故，故A选项不等式成立.由于为定义域上的增函数，故，则，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.
8．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由于函数是偶函数，图象关于y轴对称．
当时，，是减函数．
当时，，是增函数．
再由图象过可得，应选A，
故选：A．
9．若函数.则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为时，；
时，
所以函数的值域是，故选A.
10．若 ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
loga（4a﹣1）＜1＝logaa，
当a＞1时，0＜4a﹣1＜a，解得a，此时无解，
当0＜a＜1时，4a﹣1＞a且4a﹣1＞0，解得a，即a＜1，
综上所述a的范围为（，1）．
故选：C．
11．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由可得，故，逐一考查所给的选项：
A.；
B.，的符号不能确定；
C.；
D..
本题选择D选项.
12．函数（，）在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
在上单调递减
由复合函数单调性可知：在上单调递增
由定义域可知：当时，
综上所述：
本题正确选项：
二、填空题
13．已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
∵函数，且,
∴，
,故答案为．
14．函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
由题意，函数，则，解得或，
∴函数的定义域为．
故答案为：．
15．函数的单调递减区间是______．
【答案】
【解析】
设，，（）因为是增函数，要求原函数的递减区间，只需求（）的递减区间，由二次函数知，故填．
16．已知函数在区间上恒有，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
函数在区间上恒有，
，且 ；
或，且．
解得a无解或，
故答案为：．
三、解答题
17．已知函数．
（1）判断奇偶性并证明你的结论；
（2）解方程．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）根据题意，为奇函数；
证明：，所以定义域为，关于原点对称；
任取，
则 ．
则有，为奇函数；
（2）由（1）知，
，即，
，
即，或，
又由，则有，
综上，不等式解集为
18．（1）函数f（x）=log3（-x2+6x-8）的定义域为集合A，求集合A；
（2）函数g，求g（x）的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意可得，﹣x2+6x﹣8＞0，
解不等式可得，2＜x＜4，
A＝{x|2＜x＜4}；
（2）∵g，
令t＝log2x，则t∈（1，2），
∵h（t）＝﹣t2+t+2在（1，2）上单调递减，
∴h（2）＜h（t）＜h（1），
即0＜h（t）＜2，
即g（x）的值域为（0，2）．
19．已知，函数.
（1）求的定义域；
（2）当时，求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意得：，解得
因为，所以
故的定义域为
（2）因为，所以，，
因为，所以，即
从而，解得
故不等式的解集为.
20．已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
（1）由题意，当时，函数在上单调递增，
因此，解得；
当时，函数在上单调递减，
因此，解得.
综上可知：或.
（2）由不等式，即，
又，根据对数函数的性质，可得，
即，解得.
21．已知函数的图像经过定点．
(1)求的值；
(2)设，求（用表示）；
【答案】（1）；（2）
【解析】
(1)由已知得得：
(2)由(1)得，则，
∴
22．已知函数且．
当时，，求实数x的取值范围．
若在上的最大值大于0，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）当a=3时，，
，得
（2）∵a＞0，∴在定义域内单调递增，
当a＞1时，函数在上单调递增，，
得即a＞，又a＞1，故a＞1；
当0得；
又因为在上恒成立，故，即
综上：的取值范围第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.3指数函数与对数函数的关系
一、选择题
1．下列三个命题：
（1）0是的真子集；
（2）函数在定义域内是减函数；
（3）存在反函数的函数一定是单调函数.
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（　　）
A． B．1 C．12 D．2
3．若函数的图像位于第一、二象限，则它的反函数的图像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限
4．函数是（，且）的反函数，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．10 B．-1 C．2 D．-2
6．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若f（3） g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知a＞1，函数y=ax与y=loga（-x）的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．若函数（，且）在上的最大值为4，且函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，函数是的反函数，若正数满足，则的值等于（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64
二、填空题
13．函数的反函数是______．
14．函数且的反函数过点，则______．
15．函数的图象恒过定点，点在指数函数的图象上，则 ______．
16．给出下列四个结论
函数的最大值为；
已知函数且在上是减函数，则a的取值范围是；
在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称；
在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题
17．已知集合A={x|log2（2x-4）≤1），B={y|y=（）x，x}，求A∩B．
18．已知函数.
（1）求的反函数；
（2）若，求的取值范围.
19．已知且
（1）求的取值范围
（2）在(1)的条件下,求函数的最大值和最小值.
20．已知函数的反函数为，．
（1）求的解析式，并指出的定义域；
（2）设，求函数的零点.
21．已知函数的最大值与最小值之和为a2+a+1（a＞1）．
（1）求a的值；
（2）判断函数g（x）=f（x）-3在[1，2]的零点的个数，并说明理由．
22．已知函数，.
（1）解不等式：；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（3）若函数的反函数为，且，其中为奇函数，为偶函数，试比较与的大小.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.3指数函数与对数函数的关系
一、选择题
1．下列三个命题：
（1）0是的真子集；
（2）函数在定义域内是减函数；
（3）存在反函数的函数一定是单调函数.
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
（1）因为0不是一个集合，所以0是的真子集说法错误.
（2）令，但是，所以（2）的结论错误.
（3）函数的反函数为：，此函数在定义域内不是单调函数.
故选：A
2．已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（ ）
A． B．1 C．12 D．2
【答案】A
【解析】
∵由，得
∴原函数的反函数为，
则．
故选：A．
3．若函数的图像位于第一、二象限，则它的反函数的图像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限
【答案】D
【解析】
结合函数与反函数关于得出，即可得出反函数位于第一、四象限，即可.
4．函数是（，且）的反函数，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
∵函数是（，且）的反函数，
∴，
∴,对错；
，对；
，对，故选D．
5．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．10 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【解析】
与关于对称为的反函数
本题正确选项：
6．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数的反函数是增函数，
为增函数，，
为减函数，可排除；
又排除，故选C.
7．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
根据题意：
若，解可得，则
故
本题正确选项：
8．已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若f（3） g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由指数函数和对数函数的单调性知，
f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，可排除B、D，再由关系式f（3） g（3）＜0可排除A.
故选：C．
9．已知a＞1，函数y=ax与y=loga（-x）的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，所以函数是增函数，排除选项；
而函数的定义域为，且在定义域内为减函数，排除，
故选B．
10．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得4x-≤logax在上恒成立，
即当时，函数的图象不在y=logax图象的上方，
由图知：当a＞1时，函数的图象在y=logax图象的上方；
当0＜a＜1时， ，解得 ．
故选：A．
11．若函数（，且）在上的最大值为4，且函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
当时，函数单调递增，据此可知：，满足题意；
当时，函数单调递减，据此可知：，不合题意；
故，函数单调递增，
若函数在上是减函数，则，据此可得.
本题选择A选项.
12．已知函数，函数是的反函数，若正数满足，则的值等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】B
【解析】
由函数，函数是的反函数，
则，
所以，
故选：B．
二、填空题
13．函数的反函数是______．
【答案】
【解析】
由得，即：，
又原函数的值域是，
函数的反函数是．
故答案为：．
14．函数且的反函数过点，则______．
【答案】3
【解析】
由函数，且的反函数的图象过点，
可得：图象过点，
，
又，．
故答案为：3．
15．函数的图象恒过定点，点在指数函数的图象上，则 ______．
【答案】
【解析】
根据题意：令，所以，此时，所以定点坐标是，
所以指数函数过点，所以.
故答案为.
16．给出下列四个结论
函数的最大值为；
已知函数且在上是减函数，则a的取值范围是；
在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称；
在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称．
其中正确结论的序号是______．
【答案】
【解析】
对于，函数的最大值为1，的最小值为，错误；
对于，函数且在上是减函数，
，
解得a的取值范围是，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确．
综上，正确结论的序号是．
故答案为：．
三、解答题
17．已知集合A={x|log2（2x-4）≤1），B={y|y=（）x，x}，求A∩B．
【答案】
【解析】
由log2（2x-4）≤1，可得0<2x-4≤2.
解得A=（2，3]，
x时，y=（）x≤且（）x>0.
∴B=.
∴．
18．已知函数.
（1）求的反函数；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由得
互换、得：
∴函数的反函数是.
（2）由得
由，得
因为，所以，解得
由
19．已知且
（1）求的取值范围
（2）在(1)的条件下,求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）．（2）f（x）min．f（x）max＝12．
【解析】
（1）由2x≤256得x≤8，log2x得x，∴．
（2）由（1）得，
log2x）2（1+）=（1+），
∴f（x）＝（1+）＝（log2x+）2，
当log2x，f（x）min．
当log2x＝3，f（x）max＝12．
20．已知函数的反函数为，．
（1）求的解析式，并指出的定义域；
（2）设，求函数的零点.
【答案】(1) 定义域为 (2)见解析
【解析】
（1），，
解不等式组可得的定义域为.
（2）函数的零点是方程的解.
，
因为，所以，
所以，即的值域为
若，则方程无解；
若，则，所以，方程有且只有一个解；
若，则，所以，方程有两个解.
综上所述：
若，则无零点；
若，则有且只有一个零点；
若，则有两个零点.
21．已知函数的最大值与最小值之和为a2+a+1（a＞1）．
（1）求a的值；
（2）判断函数g（x）=f（x）-3在[1，2]的零点的个数，并说明理由．
【答案】（1）；（2）一个零点.
【解析】
（1）函数在a＞1时单调递增，
又函数的最大值与最小值之和为a2+a+1．
∴f（1）+f（2）=0+a+loga2+a2=a2+a+1，解得a=2．
（2）由（1）可得函数f（x）=log2x+2x．
可得函数f（x）在[1，2]内单调递增，
可得g（x）=f（x）-3在[1，2]内单调递增，最多有一个零点．
∵g（1）=f（1）-3=2-3=-1＜0，g（2）=f（2）-3=-3=2＞0，
可得函数在[1，2]内有且只有一个零点．
22．已知函数，.
（1）解不等式：；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（3）若函数的反函数为，且，其中为奇函数，为偶函数，试比较与的大小.
【答案】（1）或；（2）；（3）.
【解析】
（1）由，得或，
即或，
解得，
所以原不等式的解集为．
（2）令，得．
令，由，得，
则，其中．
令，则在上单调递增，
所以，即，
所以.
故实数的取值范围为．
（3）由题意得，即，
因此，
因为为奇函数，为偶函数，
所以，解得，
所以，，
因此．
另法：，
所以．第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4幂函数
一、选择题
1．幂函数的图象经过点，则 (　　)
A． B． C． D．2
2．已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（　　）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
3．下列命题正确的是( )
A．幂函数的图象都经过、两点
B．当时，函数的图象是一条直线
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
4．若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为　　
A．1 B． C． D．2
5．设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（　　）
A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3
6．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数的图象可能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
8．幂函数的图象经过点，则等于　　
A．2 B． C． D．
9．设，，，则，，的大小关系是( )
A． B． C． D．
10．若幂函数的图象过点，则函数的零点是　　
A． B．9 C． D．
11．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）
① ② ③ ④
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，② ，③，④
D．①，②，③，④
12．已知函数是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（　　）
A． B． C．1 D．或1
二、填空题
13．已知幂函数过点，则________．
14．已知幂函数的图象经过点，则_______.
15．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为_______.
16．幂函数y=,当取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=,y=的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么等于_____.
三、解答题
17．比较下列各组数的大小：
(1)(－2)－3，(－2.5)－3；(2)，；
(3)，，
18．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m的值．
19．已知函数,为何值时，是：
（1）反比例函数；
（2）幂函数.
20．已知幂函数的图象经过点.
（1）求实数 的值；
（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.
21．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术 方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即．
（1）使用五点作图法，画出的图象，并注明定义域；
（2）求函数的值域．
22．已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数在区间上的值域．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4幂函数
一、选择题
1．幂函数的图象经过点，则 ( )
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
幂函数的图象经过点，
则，解得；
∴，
∴．
故选：B．
2．已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】D
【解析】
∵幂函数y＝xa的图象经过点（9，3），∴ ，得，∴此函数是，是非奇非偶函数．
故选：D．
3．下列命题正确的是( )
A．幂函数的图象都经过、两点
B．当时，函数的图象是一条直线
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
【答案】D
【解析】
对于A: 幂函数的图象都经过点（1，1），当n≤0时，不过（0，0）点，故A不正确；
对于B：当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线y＝1，除去（0，1）点，故B不正确；
对于C：当两个幂函数的图象有三个交点，如y=x与y=x3有三个交点，这两个函数不相同，故C不正确；
对于D：因为幂函数的图象都经过点（1，1）且为偶函数时，所以图象一定经过点，故D正确.
故选：D.
4．若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
幂函数在区间上单调递减，
，
由选项可知，实数m的值可能为．
故选：C．
5．设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ ）
A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3
【答案】D
【解析】
当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；
当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；
当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；
当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；
故选：D．
6．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数的图象可能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】
幂函数y为增函数，且增加的速度比价缓慢，
只有④符合．
故选：D．
7．若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
【答案】D
【解析】
本题主要考查的是幂函数的图像与性质.设幂函数为，因为图像过，所以.由幂函数的性质：当时，在上是减函数.又为偶函数，所以在上是增函数.应选D.
8．幂函数的图象经过点，则等于
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
幂函数的图象经过点，
，
解得．
故选：B．
9．设，，，则，，的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为y＝x0.5在（0，+∞）上是为增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a＞b．
c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5．
所以b＜a＜c．
故选：C．
10．若幂函数的图象过点，则函数的零点是
A． B．9 C． D．
【答案】B
【解析】
∵幂函数f（x）＝xα的图象过点，
∴f（2）＝2α，解得，
∴f（x），
∴函数g（x）＝f（x）﹣33，
由g（x）＝f（x）﹣33＝0，得x＝9．
∴函数g（x）＝f（x）﹣3的零点是9．
故选：B．
11．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）
① ② ③ ④
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，② ，③，④
D．①，②，③，④
【答案】B
【解析】
②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ
故选：Ｂ．
12．已知函数是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
【答案】C
【解析】
函数f（x）=（3m2-2m）xm是幂函数，
则3m2-2m=1，解得m=1或m=-，
又f（x）为增函数，
则m=1满足条件，
即m的值为1．
故选：C．
二、填空题
13．已知幂函数过点，则________．
【答案】
【解析】
设，则，，
所以，填．
14．已知幂函数的图象经过点，则_______.
【答案】5
【解析】
由题意，幂函数，所以，即，
又由函数的图象经过点，即，所以，则.
15．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为_______.
【答案】
【解析】
由题意知，故，
由于为上的偶函数且在上递增，
故即为，
所以，解得.
16．幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,αβ等于_____.
【答案】1.
【解析】
由条件,得M,N,
可得,
即α=lo,β=lo.
所以αβ=lo·lo=1.
三、解答题
17．比较下列各组数的大小：
(1)(－2)－3，(－2.5)－3；(2)－8，－()；
(3)4.1，3.8，(－1.9).
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
(1)∵幂函数y＝x－3在(－∞，0)上为减函数，且－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.
(2)∵幂函数y＝x在(－∞，0)上为增函数，
又－8＝－()， >，∴()>()，
从而－()<－()，∴－8<－().
(3)∵4.1>1＝1,0<3.8<1＝1，(－1.9) <0，∴4.1>3.8>(－1.9) .
18．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m的值．
【答案】1
【解析】
在上是减函数，
，故，
又或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
综上知，，故答案为1.
19．已知函数,为何值时，是：
（1）反比例函数；
（2）幂函数.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）若是反比例函数，
则.
（2）若是幂函数，
则.
20．已知幂函数的图象经过点.
（1）求实数 的值；
（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）∵的图象经过点，
∴，即，解得.
（2）证明：由（1）可知，，任取，且，则，
∴ ，
即.∴ 在区间（0，+∞）上是减函数.
21．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术 方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即．
（1）使用五点作图法，画出的图象，并注明定义域；
（2）求函数的值域．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
（1）的图象，如图：函数的定义域为．
（2）设，则 ，当时取等号，
故值域为．
22．已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数在区间上的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设，则，
则，
所以.
（2）因为，
且函数在区间上为增函数，
所以时，有最大值-1，
时，有最小值-3.
所以函数在上的值域为.4.5 增长速度的比较
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
2．函数从到的平均变化率为（ ）
A．1 B．
C． D．
3．函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．4 B． C． D．4x
4．在（1，2）内的平均变化率为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数在[1，]上的平均变化率是( )
A．2 B．2x C． D．
6．函数从到的平均变化率为（ ）
A．2 B．
C． D．
7．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　 　)
A．-1 B．1 C．-2 D．2
8．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（ ）
A．3 B．
C． D．
9．函数在区间[，+x]上的平均变化率为（ ）
A． B．1+ C． D．2
10．已知某物体的位移公式为，从到这段时间内，下列说法正确的是（ ）
A．称为函数值的改变量
B．称为函数值的改变量
C．称为函数值的改变量
D．称为函数值的改变量
11．已知函数，则从到的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
12．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
二、填空题
13．函数在[2, 6]内的平均变化率为________．
14．函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是_________.
15．已知函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是______．
16．函数在区间内的平均变化率为______．
三、解答题
17．某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f(x)＝.
问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
18.已知函数，求函数在区间上的平均变化率，并求当，时平均变化率的值；
19．求函数在到之间的平均变化率．
20．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围．
21．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点均变化率最大？
22．巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
4.5 增长速度的比较
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
【答案】B
【解析】
故选：B．
2．函数从到的平均变化率为（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题意知函数从到的增量为，
故从到的平均变化率为，故选D．
3．函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．4 B． C． D．4x
【答案】B
【解析】
因为，
所以 +4.
故选B
4．在（1，2）内的平均变化率为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
当时，，当时，，故平均变化率为，故选C.
5．函数在[1，]上的平均变化率是( )
A．2 B．2x C． D．
【答案】C
【解析】
依题意，所求平均变化率为，故选C.
6．函数从到的平均变化率为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题意知函数从到的增量为
，∴从到的平均变化率为，故选B．
7．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　 　)
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【解析】
易知，，因此，故选D
8．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（ ）
A．3 B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，，∴，
∴．故选D
9．函数在区间[，+x]上的平均变化率为（ ）
A． B．1+ C． D．2
【答案】D
【解析】
由题意，可得平均变化率，故选D．
10．已知某物体的位移公式为，从到这段时间内，下列说法正确的是（ ）
A．称为函数值的改变量
B．称为函数值的改变量
C．称为函数值的改变量
D．称为函数值的改变量
【答案】C
【解析】
由题意，函数值的改变量是指位移值的改变量，即从到这段时间内位移的改变量，即．选C.
11．已知函数，则从到的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数y=x2+2x在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：
.
故选：C．
12．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
【答案】D
【解析】
∵k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx，
又Δx可正可负且不为零，∴k1，k2的大小关系不确定．
选D.
二、填空题
13．函数在[2, 6]内的平均变化率为________．
【答案】24
【解析】
，所以平均变化率为.
14．函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是_________.
【答案】2
【解析】
函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是=2.
故答案为2.
15．已知函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是______．
【答案】2+△x
【解析】
函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：=2+△x．
故答案为：2+△x．
16．函数在区间内的平均变化率为______．
【答案】
【解析】
∵ ，
∴，即平均变化率为.
三、解答题
17．某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f(x)＝.
问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
【答案】见解析.
【解析】
当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝ (m3/min)，
它表示时间从1 min增加到8 min的过程中，每增加1 min，水流量平均增加m3.
18.已知函数，求函数在区间上的平均变化率，并求当，时平均变化率的值；
【答案】,
【解析】
∵，∴，，则，
故在区间上的平均变化率为，
则当，时，平均变化率为．
19．求函数在到之间的平均变化率．
【答案】
【解析】
∵
，
∴．
20．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围．
【答案】
【解析】
质点在2到2＋Δt之间的平均速度为
又≤5，即4＋Δt≤5，∴Δt≤1.
又Δt>0，∴Δt的取值范围为(0,1]．
21．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点均变化率最大？
【答案】在附近的平均变化率最大
【解析】
在x＝2附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.对任意Δx有，k1＜k2＜k3，
∴在x＝3附近的平均变化率最大．
22．巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
【答案】见解析
【解析】
从A处到B处高度的平均变化率为,
从B处到C处高度的平均变化率为,
由,知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭.
故从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.6函数的应用（二）
一、选择题
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
2．某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比上一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是(　　)
A．1.14a B．1.15a C．1.16a D．(1+1.15)a
3．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（参考数据：，，）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
5．某创业公司2018年投入的科研资金为100万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%，则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是
A．2021年 B．2022年 C．2023年 D．2024年
6．某储蓄所计划从2004年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8％，则到2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加（ ）
A．24% B．32% C．（－1）100％ D．（－1）100％
7．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，k，b为常数，若该食品在时的保鲜时间为120小时，在时的保鲜时间为15小时，则该食品在时的保鲜时间为　　
A．30小时 B．40小时 C．50小时 D．80小时
8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．某工厂2017年投入的科研资金为120万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上年增长12%，则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12=0.05，lg3=0.48，lg2=0.30）（　　）
A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年
10．双“十一”要到了，某商品原价为元，商家在节前先连续次对该商品进行提价且每次提价.然后在双“十一”期间连续次对该商品进行降价且每次降价.则最后该商品的价格与原来的价格相比
A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．无法确定
11．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：，，）
A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年
12．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为 （为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为
A．35 B．30
C．25 D．20
二、填空题
13．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元．
14．濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则我市这两年生产总值的年平均增长率为__________．
15．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为______．
16．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍．
三、解答题
17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则有，其中表示环境温度，称为半衰期且．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放置在的房间中分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到，共需要多长时间？（，结果精确到）
18．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中是正的常数， 为自然对数的底数.
（1）判断函数是增函数还是减函数；
（2）把表示成原子数的函数.
19．数据显示，某公司2018年上半年五个月的收入情况如下表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根据上述数据，在建立该公司2018年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择.
（1）你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
（2）试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据，）
20．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数y=log3（），单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.
（3）某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
21．科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中瓦平方米如风吹落叶沙沙声的强度瓦平方米，它的强弱等级分贝．
已知生活中几种声音的强度如表：
声音来源
声音大小 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路
强度瓦平方米
强弱等级分贝 10 m 90
求a和m的值
为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．
22．医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况（如图所示）：当时，与的函数关系式为（为常数）；当时，与的函数关系式为（为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险.
（1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？
（2）首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物
（参考数据：，）
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.6函数的应用（二）
一、选择题
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.
2．某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比上一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是( )
A．1.14a B．1.15a C．1.16a D．(1+1.15)a
【答案】B
【解析】
由题意,得x年后的总产值为y=a·(1+10%)x,
则5年后的总产值为a(1+10%)5,即1.15a.
本题选择B选项.
3．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可得：剩下的部分所构成的数列为，
∴x天后剩下的部分y与x的函数关系式为
故选：D
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（参考数据：，，）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
【答案】C
【解析】
根据题意，设第年开始超过400万元，
则，
化为：，
解可得：；
则，
故选：C．
5．某创业公司2018年投入的科研资金为100万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%，则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是
A．2021年 B．2022年 C．2023年 D．2024年
【答案】B
【解析】
某创业公司2018年投入的科研资金为100万元，
在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%，
则x年后投入的科研资金为：
y＝100（1+20%）x＝100×1.2x，
由100×1.2x＞200，
解得x≥4．
该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是2018+4＝2022年．
故选：B．
6．某储蓄所计划从2004年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8％，则到2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加（ ）
A．24% B．32% C．（－1）100％ D．（－1）100％
【答案】C
【解析】
设2004年储蓄量为 ，根据等比数列通项公式得
2005年储蓄量为
2006年储蓄量为
2007年储蓄量为
所以2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加了
所以选C
7．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，k，b为常数，若该食品在时的保鲜时间为120小时，在时的保鲜时间为15小时，则该食品在时的保鲜时间为
A．30小时 B．40小时 C．50小时 D．80小时
【答案】A
【解析】
由题意可知，，，
．
故选：A．
8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【解析】
设至少需要过滤次，则，
即,
所以，
即，
又，所以，
所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求,故选D．
9．某工厂2017年投入的科研资金为120万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上年增长12%，则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12=0.05，lg3=0.48，lg2=0.30）（ ）
A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年
【答案】C
【解析】
设第n年后，建立不等式，
故从2017年起第5年，故为2022，故选C.
10．双“十一”要到了，某商品原价为元，商家在节前先连续次对该商品进行提价且每次提价.然后在双“十一”期间连续次对该商品进行降价且每次降价.则最后该商品的价格与原来的价格相比
A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．无法确定
【答案】C
【解析】
==<1，
故选C.
11．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：，，）
A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年
【答案】B
【解析】
由题意求满足最小n值，
由得
，开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021,选B.
12．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为 （为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为
A．35 B．30
C．25 D．20
【答案】C
【解析】
由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为，
点（5，100）和点（15，60），代入解析式，
有，
解得a＝5,b=20，
故函数的解析式为，t≥5．令y=40，解得t=25,
∴最少需要的时间为25min．
故选C.
二、填空题
13．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元．
【答案】2400
【解析】
12年后的价格可降为81002400元．
故答案为2400．
14．濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则我市这两年生产总值的年平均增长率为__________．
【答案】
【解析】
设该市这两年生产总值的年平均增长率为,由题意,
所以，故填.
15．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为______．
【答案】5
【解析】
秒后两桶水量相等
若秒后水量为： ，即
本题正确结果：
16．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍．
【答案】
【解析】
由M=lgA-lgA0可得，M=， A= ．
当M=8时，地震的最大振幅为= 108；
当M=5时，地震的最大振幅为= 105；
∴两次地震的最大振幅之比是：，
∴8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．
故答案为：1000．
三、解答题
17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则有，其中表示环境温度，称为半衰期且．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放置在的房间中分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到，共需要多长时间？（，结果精确到）
【答案】，需要约分钟．
【解析】
由条件知，，，．
代入，得，
解得；
如果要降温到，则．
解得．
答：此时咖啡的温度，要降温到，共需要约分钟．
18．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中是正的常数， 为自然对数的底数.
（1）判断函数是增函数还是减函数；
（2）把表示成原子数的函数.
【答案】(1)减函数；(2) （其中）.
【解析】
（1）由已知可得
因为是正常数， ，所以，即，
又是正常数，所以是关于的减函数
（2）因为，所以，所以，即（其中）.
19．数据显示，某公司2018年上半年五个月的收入情况如下表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根据上述数据，在建立该公司2018年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择.
（1）你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
（2）试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据，）
【答案】（1）函数这一模型较好（2）大约从第9月份开始
【解析】
（1）画出散点图
由图可知点 基本上是落在函数的图像的附近，
因此用函数这一模型较好
（2）当时， ，
即
故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元.
另解：当时，
故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元.
20．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数y=log3（），单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.
（3）某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【答案】（1）1（2）100(3)9
【解析】
(1)由y=log3（）可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
（2)令y=0，则
(3)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
21．科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中瓦平方米如风吹落叶沙沙声的强度瓦平方米，它的强弱等级分贝．
已知生活中几种声音的强度如表：
声音来源
声音大小 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路
强度瓦平方米
强弱等级分贝 10 m 90
求a和m的值
为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．
【答案】（1），；（2）瓦平方米
【解析】
（1）将瓦平方米，瓦平方米代入
得：
则：
由题意得：，即：，
得，即
此时声音强度的最大值为瓦平方米
22．医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况（如图所示）：当时，与的函数关系式为（为常数）；当时，与的函数关系式为（为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险.
（1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？
（2）首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物
（参考数据：，）
【答案】（1）小时；（2）见解析
【解析】
（1）当时，，函数图像过点，
所以，得
所以当时，
当时，，函数图像过点
所以，所以
由，得，所以
则药物有疗效时间为小时.
（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为
当时，
因为函数在内单调递增，
所以当时，
当时，
因为，所以首次服药后1小时，可以立即再次服用同等规格的药物.