湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷
一、选择题
1．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）在比例尺是1：38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm，它的实际长度约为（ ）
A．0.266 km B．2.66 km C．26.6 km D．266 km
【答案】B
【知识点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：根据：比例尺=图上距离：实际距离．
得它的实际长度约为7×38000=266000（cm）=2.66（km）．
故答案为：B
【分析】根据比例尺的定义，图上距离比实际距离，代入图上距离为7cm，即可计算实际长度。
2．（2016九上·嘉兴期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴a= b，
即 = = ．
故选A．
【分析】用b表示a，代入求解即可．
3．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，能推得DE∥BC的条件是（ ）
A．AD∶AB=DE∶BC B．AD∶DB=DE∶BC
C．AE∶AC=AD∶DB D．AD∶DB=AE∶EC
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A选项不一定能推出∠ADE=∠B，故不一定能推得DE∥BC，所以不符合题意；
根据平行线分线段成比例定理B，C选项也不能推得DE∥BC，故不符合题意；
D选项能推出AD：AB=AE：AC，∠A是公共角，△ADE∽△ABC，对应角∠ADE=∠B，能推得DE∥BC。
故答案为：D
【分析】根据三角形相似的判定定理，两组对边对应成比例，并且它们的夹角相同，即可得出正确答案。
4．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）已知如图，DE∥BC， ，则 =（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AD：AB=1：3．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3．
故答案为：B．
【分析】由DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形性质，对应边成比例，即可得出正确答案。
5．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴ .
∵DO=3，BO=5，DC=4，
∴ ，
∴AB= .
故答案为：C.
【分析】根据AB∥CD，可证△ABO∽△CDO，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出AB的长度。
6．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个等腰梯形
C．对应边成比例的两个四边形 D．有一个内角相等的菱形
【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故选项不符合题意；
B、两个等腰梯形不一定相似，故选项不符合题意；
C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故选项不符合题意；
D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的定义，对应角相等，对应边成比例的两个图形为相似图形；A选项缺乏对应边成比例，B选项不一定相似，C选项缺乏对应角相同，D选项正确。
7．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在 中， ，BC=8， AC=6，CD是斜边AB上的高，则AD的长度为（ ）．
A． B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在 中， ， BC=8， AC=6，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ = = ．
故答案为：A．
【分析】直角三角形ABC中，由勾股定理可求出AB的长度；根据题目条件，易证△ADC∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例，即可求出AD的长度。
8．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A． B．∠ADC＝∠ACB
C．∠ACD＝∠B D．AC2=AD·AB
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据两角对应相等的两三角形相似，可知B、C均可以判定两三角形相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可由AC2=AD·AB，∠A为公共角，可判定两三角形相似.
故答案为：A.
【分析】根据两个角相等的三角形相似，可推出B和C选项正确；根据三角形对应边成比例，且夹角相同，可证明D选项正确，所以A选项错误。
9．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB边上的点，连接CE，DF，他们相交于点G，延长CE交BA的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠HAE=∠B，∠H=∠H，
∴△HAE∽△HBC；
∵∠AEH=∠DEC，AB∥CD，
∴∠DCE=∠HAE，
∴△HAE∽△CDE∽△HBC；
∵∠HGF=∠CDG，∠H=∠DCG，
∴△CDG∽△HFG，
∴图中的相似三角形共有4对。
故答案为：B.
【分析】根据三角形相似的判定定理，有两个角相等的三角形相似，可推出共有四对三角形相似。
10．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）下列命题中，正确的个数是（ ）
①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰三角形都相似；④锐角三角形都相似；⑤等腰三角形都全等；⑥有一个角相等的等腰三角形相似；⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；⑧全等三角形相似．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：①∵等边三角形的各角都是60°，∴等边三角形都相似；①正确；
②∵直角三角形的直角相等，但两个锐角不一定相等，∴直角三角形不一定相似；②错误；
③∵等腰三角形的顶角不一定相等，则底角也不一定相等，∴等腰三角形不一定相似；③错误；
④锐角三角形不一定都相似，④错误；
⑤等腰三角形不一定都全等； ⑤错误；
⑥有一个角相等的等腰三角形相似不一定相似：如30°，30°，120°的等腰三角形和30°，75°，75°的两个等腰三角形就不相似；⑥错误；
⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；因为钝角只能是顶角，所以底角也相等，所以相似，⑦正确；
⑧∵全等三角形是相似比等于1的情况，属于相似；∴全等三角形都相似．⑧正确．
综上，正确的结论有3个．
故答案为：B
【分析】根据相似三角形对应边成比例，对应角相等，进行选项的判定。所以①⑦⑧满足判定条件，正确。
11．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．1：3 B．3：4 C．1：9 D．9：16
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16，
故答案为：D．
【分析】根据题意，易证△DFE∽△BFA，所以相似三角形对应边成比例，面积的比等于对应比的平方，即可求出正确答案。
12．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，已知O是坐标原点， 与 是以O点为位似中心的位似图形，且 与 的相似比为 ，如果 内部一点 的坐标为 ，则 在 中的对应点 的坐标为（ ）
A．(-x， -y) B．(-2x， -2y)
C．(-2x， 2y) D．(2x， -2y)
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，即关于原点对称，且其位似比为1：2，M的坐标为（x，y），
∴M在△ODE中的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
故答案为：B
【分析】根据题意可得，两三角形根据O点成中心对称，根据相似比为1：2，所以可以根据M点的坐标求出M′的坐标。
二、填空题
13．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）已知线段x是线段a、b的比例中项，且a=4，b=9，则x= ．
【答案】6
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：若x是线段a、b的比例中项，即 ．则 ，
故答案为：6．
【分析】根据比例中项的含义可得ab=x2，将数值代入，即可求出x的数值。
14．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）已知C是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则BC= 。
【答案】 -1或3-
【知识点】比例的性质；比例线段；黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段AB=2，点C是AB黄金分割点，
①当AC＜BC时，BC=2× =
②当AC>BC时，∴AC= AB=
∴BC=AB-AC=3-
故答案为： -1或3-
【分析】由题，C为AB的黄金分割点，所以分两种情况讨论，①当AC＜BC时，②当AC>BC时，即可根据比例求出BC的长度。
15．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，身高1.6米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为 。
【答案】6.4米
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：由题意可得，CD∥BE，
则△ACD∽△ABE，
故
即
解得：
故答案为：6.4米
【分析】首先易证△ACD∽△ABE，根据三角形相似的性质，对应边成比例，即可得出BE的长度。
16．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=2，MB=4，BC=6，则MN的长为 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AM=2，MB=4，
∴AB=AM+MB=6，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴ ，
∵AM=2，AB=6，BC=6，
∴ = ，
∴DE=2.
故答案为：2.
【分析】根据对应角相等可证明△AMN∽△ABC，根据三角形相似的性质：相似三角形的对应边成比例，可求MN的长度。
17．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）已知 ，则k的值是 ．
【答案】2或－1
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：根据题意，得a＋b＝ck，a＋c＝bk，b＋c＝ak．
∴2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）k．
当a＋b＋c≠0时， ．
当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，a＋c＝－b，b＋c＝－a，
∴ ．
故k的值是2或－1
故答案为：2或－1
【分析】将原式去分母，得出2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）k。分类讨论，当a＋b＋c≠0时，k=2；当a＋b＋c=0时，由原式，可求得k=-1.
18．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取CF的中点G，连接BG，如图所示：
∵BC=1，BE=1，
∴点B为EC的中点，
∴BG是△CEF的中位线，
∴BG∥EF，
∴ ，
∴AF= AG，
∴FG=CG=2AF，
∴AC=AF+FG+CG=5AF=3，
∴AF= ；
故答案为：
【分析】取AC中点G，连接BG，则BG为△EFC的中位线，BG平行于EF，易证△ADF相似于△ABG，根据相似三角形对应边成比例，即可得出AF的长度。
三、解答题
19．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图27 11，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在BC的延长线上，且△ACD∽△BAD，求CD的长．
【答案】解：∵△ACD∽△BAD，
∴ = = ，
设CD=x，则BD=7+x，
∴ = = ，
∴AD= x= （7+x），
解得x=9.
∴CD=9.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可得出CD的长度。
20．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，某人在点A处测量树高，点A到树的距离AD为21米，将一长为2米的标杆BE在与点A相距3米的点B处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求此树CD的高．
【答案】解：∵ CD⊥AD，EB⊥AD，
∴ EB∥CD.
∴ △ABE∽△ADC．
∴ ．
∵ EB=2，AB=3，AD=21，
∴ ．
∴ CD=14．
答：此树高为14米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据对应角相等易证△ABE∽△ADC，根据相似三角形对应边成比例的性质，即可求出CD的长度。
21．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）两棵树的高度分别是AB=16米， CD=12米，两棵树的根部之间的距离AC=6米.小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树CD的距离等于多少时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上，请说明理由.
【答案】解：设小强的眼睛位置为O，过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F连接O、D、E得 和 ，设OE=x，OF=6+x， 即 解得x=15.6
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意可证明△ODE∽△OBF，根据三角形相似的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求得OE的长度。
22．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．
（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求
（2）解：如图所示：△A1B2C2，即为所求．
【知识点】相似三角形的判定与性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接AO，BO和CO，顺时针向右旋转90°描点，然后连线即可。
（2）根据题意，可选择B1和C1作为作为三角形两边的中点，即可满足△A1B1C1和△A1B2C2之间的相似比为1：2，作点，连线即可。
23．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，已知 是坐标原点， 、 的坐标分别为 ， ．
（1）在 轴的左侧以 为位似中心作 的位似 ，使新图与原图的相似比为 ；
（2）分别写出 、 的对应点 、 的坐标．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示： ，
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）分别延长AO和BO使得DO=2AO，CO=2BO，连接CD即可得出所得图形。
（2）根据（1）中所做的位似图形，将C和D的坐标写出即可。
24．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，已知AC＝3，BC＝4.
（1）线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由；
（2）在这个图形中，能否再找出其他成比例的四条线段？如果能，请至少写出两组．
【答案】（1）解：由勾股定理得AB＝ ＝5，
∴ ×5·CD＝ ×3×4，
∴CD＝ ，
由勾股定理得AD＝ ，BD＝ ， ＝ ，
即AD，CD，CD，BD是成比例线段
（2）解：能，如 ＝ ， ＝ ， ＝ 等
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】在△ACB中，根据勾股定理以及三角形面积公式的运用，可求出AD，BD和CD的长度，继而可以看出四条线段是否为比例线段。
（2）题目中可证△ADC相似于△CDB，根据相似三角形对应边成比例，即可求出其他成比例的线段。
25．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∴ ．
∴△BMN是等腰直角三角形
（2）解：△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC， ．
∵AC＝BD，
∴ ，即 ．
由(1)知△BMN是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF＋∠FMB＝90°．
∵FM∥AC．
∵∠ACB＝∠FMB．
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB＋∠CBD＝90°．
∴∠CBD＋∠FMB＝90°，
∴∠NMF＝∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由题AB=AC，因为M为BC 的中点，所以根据等腰三角形三线合一，∠NMB=90°，根据三角形外角的性质，即可得到∠MNB=45°，所以得出三角形NMB为等腰直角三角形。
（2）由题可得，FM为三角形ABC的中位线，根据（1）中所求的等腰直角三角形，继而可以求得成比例的线段，继而求∠NMF＝∠CBD，根据三角形相似的判定定理，即可求出△MFN∽△BDC。
1 / 1湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷
一、选择题
1．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）在比例尺是1：38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm，它的实际长度约为（ ）
A．0.266 km B．2.66 km C．26.6 km D．266 km
2．（2016九上·嘉兴期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，能推得DE∥BC的条件是（ ）
A．AD∶AB=DE∶BC B．AD∶DB=DE∶BC
C．AE∶AC=AD∶DB D．AD∶DB=AE∶EC
4．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）已知如图，DE∥BC， ，则 =（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
6．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个等腰梯形
C．对应边成比例的两个四边形 D．有一个内角相等的菱形
7．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在 中， ，BC=8， AC=6，CD是斜边AB上的高，则AD的长度为（ ）．
A． B． C．4 D．
8．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A． B．∠ADC＝∠ACB
C．∠ACD＝∠B D．AC2=AD·AB
9．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB边上的点，连接CE，DF，他们相交于点G，延长CE交BA的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
10．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）下列命题中，正确的个数是（ ）
①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰三角形都相似；④锐角三角形都相似；⑤等腰三角形都全等；⑥有一个角相等的等腰三角形相似；⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；⑧全等三角形相似．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．1：3 B．3：4 C．1：9 D．9：16
12．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，已知O是坐标原点， 与 是以O点为位似中心的位似图形，且 与 的相似比为 ，如果 内部一点 的坐标为 ，则 在 中的对应点 的坐标为（ ）
A．(-x， -y) B．(-2x， -2y)
C．(-2x， 2y) D．(2x， -2y)
二、填空题
13．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）已知线段x是线段a、b的比例中项，且a=4，b=9，则x= ．
14．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）已知C是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则BC= 。
15．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，身高1.6米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为 。
16．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=2，MB=4，BC=6，则MN的长为 ．
17．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）已知 ，则k的值是 ．
18．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 .
三、解答题
19．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图27 11，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在BC的延长线上，且△ACD∽△BAD，求CD的长．
20．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，某人在点A处测量树高，点A到树的距离AD为21米，将一长为2米的标杆BE在与点A相距3米的点B处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求此树CD的高．
21．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）两棵树的高度分别是AB=16米， CD=12米，两棵树的根部之间的距离AC=6米.小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树CD的距离等于多少时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上，请说明理由.
22．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．
（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．
23．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，已知 是坐标原点， 、 的坐标分别为 ， ．
（1）在 轴的左侧以 为位似中心作 的位似 ，使新图与原图的相似比为 ；
（2）分别写出 、 的对应点 、 的坐标．
24．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，已知AC＝3，BC＝4.
（1）线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由；
（2）在这个图形中，能否再找出其他成比例的四条线段？如果能，请至少写出两组．
25．（湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 单元测试卷）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：根据：比例尺=图上距离：实际距离．
得它的实际长度约为7×38000=266000（cm）=2.66（km）．
故答案为：B
【分析】根据比例尺的定义，图上距离比实际距离，代入图上距离为7cm，即可计算实际长度。
2．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴a= b，
即 = = ．
故选A．
【分析】用b表示a，代入求解即可．
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A选项不一定能推出∠ADE=∠B，故不一定能推得DE∥BC，所以不符合题意；
根据平行线分线段成比例定理B，C选项也不能推得DE∥BC，故不符合题意；
D选项能推出AD：AB=AE：AC，∠A是公共角，△ADE∽△ABC，对应角∠ADE=∠B，能推得DE∥BC。
故答案为：D
【分析】根据三角形相似的判定定理，两组对边对应成比例，并且它们的夹角相同，即可得出正确答案。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AD：AB=1：3．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3．
故答案为：B．
【分析】由DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形性质，对应边成比例，即可得出正确答案。
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴ .
∵DO=3，BO=5，DC=4，
∴ ，
∴AB= .
故答案为：C.
【分析】根据AB∥CD，可证△ABO∽△CDO，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出AB的长度。
6．【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故选项不符合题意；
B、两个等腰梯形不一定相似，故选项不符合题意；
C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故选项不符合题意；
D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的定义，对应角相等，对应边成比例的两个图形为相似图形；A选项缺乏对应边成比例，B选项不一定相似，C选项缺乏对应角相同，D选项正确。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在 中， ， BC=8， AC=6，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ = = ．
故答案为：A．
【分析】直角三角形ABC中，由勾股定理可求出AB的长度；根据题目条件，易证△ADC∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例，即可求出AD的长度。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据两角对应相等的两三角形相似，可知B、C均可以判定两三角形相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可由AC2=AD·AB，∠A为公共角，可判定两三角形相似.
故答案为：A.
【分析】根据两个角相等的三角形相似，可推出B和C选项正确；根据三角形对应边成比例，且夹角相同，可证明D选项正确，所以A选项错误。
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠HAE=∠B，∠H=∠H，
∴△HAE∽△HBC；
∵∠AEH=∠DEC，AB∥CD，
∴∠DCE=∠HAE，
∴△HAE∽△CDE∽△HBC；
∵∠HGF=∠CDG，∠H=∠DCG，
∴△CDG∽△HFG，
∴图中的相似三角形共有4对。
故答案为：B.
【分析】根据三角形相似的判定定理，有两个角相等的三角形相似，可推出共有四对三角形相似。
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：①∵等边三角形的各角都是60°，∴等边三角形都相似；①正确；
②∵直角三角形的直角相等，但两个锐角不一定相等，∴直角三角形不一定相似；②错误；
③∵等腰三角形的顶角不一定相等，则底角也不一定相等，∴等腰三角形不一定相似；③错误；
④锐角三角形不一定都相似，④错误；
⑤等腰三角形不一定都全等； ⑤错误；
⑥有一个角相等的等腰三角形相似不一定相似：如30°，30°，120°的等腰三角形和30°，75°，75°的两个等腰三角形就不相似；⑥错误；
⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；因为钝角只能是顶角，所以底角也相等，所以相似，⑦正确；
⑧∵全等三角形是相似比等于1的情况，属于相似；∴全等三角形都相似．⑧正确．
综上，正确的结论有3个．
故答案为：B
【分析】根据相似三角形对应边成比例，对应角相等，进行选项的判定。所以①⑦⑧满足判定条件，正确。
11．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16，
故答案为：D．
【分析】根据题意，易证△DFE∽△BFA，所以相似三角形对应边成比例，面积的比等于对应比的平方，即可求出正确答案。
12．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，即关于原点对称，且其位似比为1：2，M的坐标为（x，y），
∴M在△ODE中的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
故答案为：B
【分析】根据题意可得，两三角形根据O点成中心对称，根据相似比为1：2，所以可以根据M点的坐标求出M′的坐标。
13．【答案】6
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：若x是线段a、b的比例中项，即 ．则 ，
故答案为：6．
【分析】根据比例中项的含义可得ab=x2，将数值代入，即可求出x的数值。
14．【答案】 -1或3-
【知识点】比例的性质；比例线段；黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段AB=2，点C是AB黄金分割点，
①当AC＜BC时，BC=2× =
②当AC>BC时，∴AC= AB=
∴BC=AB-AC=3-
故答案为： -1或3-
【分析】由题，C为AB的黄金分割点，所以分两种情况讨论，①当AC＜BC时，②当AC>BC时，即可根据比例求出BC的长度。
15．【答案】6.4米
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：由题意可得，CD∥BE，
则△ACD∽△ABE，
故
即
解得：
故答案为：6.4米
【分析】首先易证△ACD∽△ABE，根据三角形相似的性质，对应边成比例，即可得出BE的长度。
16．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AM=2，MB=4，
∴AB=AM+MB=6，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴ ，
∵AM=2，AB=6，BC=6，
∴ = ，
∴DE=2.
故答案为：2.
【分析】根据对应角相等可证明△AMN∽△ABC，根据三角形相似的性质：相似三角形的对应边成比例，可求MN的长度。
17．【答案】2或－1
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：根据题意，得a＋b＝ck，a＋c＝bk，b＋c＝ak．
∴2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）k．
当a＋b＋c≠0时， ．
当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，a＋c＝－b，b＋c＝－a，
∴ ．
故k的值是2或－1
故答案为：2或－1
【分析】将原式去分母，得出2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）k。分类讨论，当a＋b＋c≠0时，k=2；当a＋b＋c=0时，由原式，可求得k=-1.
18．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取CF的中点G，连接BG，如图所示：
∵BC=1，BE=1，
∴点B为EC的中点，
∴BG是△CEF的中位线，
∴BG∥EF，
∴ ，
∴AF= AG，
∴FG=CG=2AF，
∴AC=AF+FG+CG=5AF=3，
∴AF= ；
故答案为：
【分析】取AC中点G，连接BG，则BG为△EFC的中位线，BG平行于EF，易证△ADF相似于△ABG，根据相似三角形对应边成比例，即可得出AF的长度。
19．【答案】解：∵△ACD∽△BAD，
∴ = = ，
设CD=x，则BD=7+x，
∴ = = ，
∴AD= x= （7+x），
解得x=9.
∴CD=9.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可得出CD的长度。
20．【答案】解：∵ CD⊥AD，EB⊥AD，
∴ EB∥CD.
∴ △ABE∽△ADC．
∴ ．
∵ EB=2，AB=3，AD=21，
∴ ．
∴ CD=14．
答：此树高为14米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据对应角相等易证△ABE∽△ADC，根据相似三角形对应边成比例的性质，即可求出CD的长度。
21．【答案】解：设小强的眼睛位置为O，过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F连接O、D、E得 和 ，设OE=x，OF=6+x， 即 解得x=15.6
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意可证明△ODE∽△OBF，根据三角形相似的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求得OE的长度。
22．【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求
（2）解：如图所示：△A1B2C2，即为所求．
【知识点】相似三角形的判定与性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接AO，BO和CO，顺时针向右旋转90°描点，然后连线即可。
（2）根据题意，可选择B1和C1作为作为三角形两边的中点，即可满足△A1B1C1和△A1B2C2之间的相似比为1：2，作点，连线即可。
23．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示： ，
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）分别延长AO和BO使得DO=2AO，CO=2BO，连接CD即可得出所得图形。
（2）根据（1）中所做的位似图形，将C和D的坐标写出即可。
24．【答案】（1）解：由勾股定理得AB＝ ＝5，
∴ ×5·CD＝ ×3×4，
∴CD＝ ，
由勾股定理得AD＝ ，BD＝ ， ＝ ，
即AD，CD，CD，BD是成比例线段
（2）解：能，如 ＝ ， ＝ ， ＝ 等
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】在△ACB中，根据勾股定理以及三角形面积公式的运用，可求出AD，BD和CD的长度，继而可以看出四条线段是否为比例线段。
（2）题目中可证△ADC相似于△CDB，根据相似三角形对应边成比例，即可求出其他成比例的线段。
25．【答案】（1）解：△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∴ ．
∴△BMN是等腰直角三角形
（2）解：△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC， ．
∵AC＝BD，
∴ ，即 ．
由(1)知△BMN是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF＋∠FMB＝90°．
∵FM∥AC．
∵∠ACB＝∠FMB．
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB＋∠CBD＝90°．
∴∠CBD＋∠FMB＝90°，
∴∠NMF＝∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由题AB=AC，因为M为BC 的中点，所以根据等腰三角形三线合一，∠NMB=90°，根据三角形外角的性质，即可得到∠MNB=45°，所以得出三角形NMB为等腰直角三角形。
（2）由题可得，FM为三角形ABC的中位线，根据（1）中所求的等腰直角三角形，继而可以求得成比例的线段，继而求∠NMF＝∠CBD，根据三角形相似的判定定理，即可求出△MFN∽△BDC。
1 / 1
