第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
回顾与思考
湖北省宜昌市第三中学 陈 志
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过对本章内容的学习，掌握了不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法，并通过解决一些简单的实际问题，体会不等式的模型思想及一元一次不等式、一次函数、一元一次方程之间的内在联系.
学生活动能力基础：经历探索、发现不等关系的过程学习解决一些简单的实际问题.
二、教学任务分析
学生通过整理本章学习的主要内容，建构本章知识联系图，体会知识之间的发展脉络与内在联系，增强应用数学知识研究和解决实际问题的能力.本节课的具体教学目标是：
（一）知识与技能
1.掌握不等式的基本性质，理解不等式（组）的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示其解集.
2.能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.
3.体会不等式、函数、方程之间的联系.
（二）过程与方法
通过梳理本章内容，进一步体会模型思想及类比的思想方法.
（三）情感与价值观要求
鼓励合作学习，引导学生从不同的角度思考问题、解决问题，发展学生个性，使每个学生都能体会学习数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾，构建体系；第二环节：例题分析，解决问题；第三环节：合作学习，练习提高；第四环节：课堂小结，能力提升；第五环节：布置作业，巩固所学.
第一环节：知识回顾，构建体系
活动内容：学生通过回答下列问题把本章的知识内容进行整理，画出本章知识联系图.
1.用 表示大小关系的式子，叫做不等式.
2. 叫做不等式的解集.
3. 不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向 ；不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 .
4.只含有一个未知数，并且 叫做一元一次不等式.解一元一次不等式时，经过 “去分母、 、 、 、 、”等变形后，把左边变成单独的一个未知数，右边变成一个常数.要特别注意的是在不等式的两边都乘以（或除以）同一个 时，不等号的方向一定改变.
5. 列一元一次不等式(组)解答实际问题一般需要般要遵循如下步骤:①审:分清已知量、未知量及它们之间的关系，找出其中的 关系；②设：设出未知数；③设列：列出 .反映不等关系；④解：解 ，获得解集 ；⑤答：对解决进行 舍去不合题意的答案，确定符合题意的答案，写出答句.
6．由几个含有同一个未知数的 叫做一元一次不等式组.
7.一元一次不等式组中各个不等式解集的 叫做一元一次不等式组的解集.
8.由于任何一个一次不等式都可以转化为或（a，b是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式或，可以看作：当一次函数y = ax +b的值大（小）于0时，求自变量相应的 ；反之，求一次函数y = ax +b的值何时大（小）于0时，只要求出不等式或的 即可.
活动目的：学生通过对本章的知识进行整理，建构本章的知识体系.通过画本章知识联系图，培养学生归纳整理、对比分析的能力，同时在画图的过程中，学生可以互相进行比较、补充，养成交流与合作的习惯.
注意事项：分小组合作完成知识整理和知识联系图.分小组将学生的知识联系图通过展台投影，让全班同学一起来进行评比.
本章的知识联系图
第二环节：例题分析，解决问题
活动内容：教师出示例题，要求学生先独立完成，对学生感觉有一定难度的内容，鼓励学生之间进行交流、讨论，互相补充，然后教师给以适当的帮助.
例1解不等式x＞x－2，并将其解集表示在数轴上.
例2解不等式组.
例3小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果．爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于10；纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢；否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下．究竟是哪个队赢了，本场比赛特里、纳什各得了多少分?
例4暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？
教师活动：教师可以让学生先独自完成上述各小题的解答，然后从学生中抽取部分学生的作业进行投影展示，让学生自己来作评判，找出存在的问题。对于做得比较好的同学，教师给予鼓励.
学生活动：每个学生先独立思考，再小组交流解决问题.
活动目的：通过例题学习让学生明晰解一元一次不等式（组）的方法，提高解决实际问题的能力，使学生对本章知识内容有进一步的理解和掌握.
注意事项：
要求每个学生在进行独立思考时，教师要关注学困生并给予帮助.
第三环节：合作学习，练习提高
活动内容：学生独立完成课堂练习.
解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）2（x－3）＞4; （2）2x－3≤5（x－3）;
（3） （4）
活动目的：对不等式（组）的解法进行巩固练习.
注意事项：对学生在解不等式式（组）时存在的问题，教师要及时纠正.
第四环节：课堂小结，能力提升
活动内容：通过本节课的学习,你有什么收获?你感觉最困难的是什么?印象最深刻的是哪个部分的知识?
活动目的：
鼓励学生结合本节课的学习内容，谈自己对本节课的感受.
注意事项：
学生把自己这一节课的学习所得进行交流，互相补充，把自己存在的问题交由大家一起讨论，共同解决问题.
第五环节：布置作业，巩固所学
复习题A组、B组
四、教学反思
1.本节课的重点在让每个学生建构本章知识体系.教师让学生充分思考、练习和交流，同时充分暴露出存在的问题，达到有效复习的目的.
2.第一环节基本知识的复习时间要控制，学生不牢固的部分可以通过例题、练习的形式加深巩固复习.
课件14张PPT。第二章 一元一次不等式与 一元一次不等式组 回顾与思考湖北省宜昌市第三中学 陈 志知识回顾，构建体系1.用 表示大小关系的式子，叫做不等式.
2. 叫做不等式的解集.
3. 不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向 ；不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 .
4.只含有一个未知数，并且 叫做一元一次不等式.解一元一次不等式时，经过 “去分母、 、 、
、 、”等变形后，把左边变成单独的一个未知数，右边变成一个常数.要特别注意的是在不等式的两边都乘以（或除以）同一个 时，不等号的方向一定改变.5. 列一元一次不等式(组)解答实际问题一般需要般要遵循如下步骤:①审:分清已知量、未知量及它们之间的关系，找出其中的 关系；②设：设出未知数；③设列：列出 .反映不等关系；④解：解 ，获得解集 ；⑤答：对解决进行 舍去不合题意的答案，确定符合题意的答案，写出答句.
6．由几个含有同一个未知数的 叫做一元一次不等式组.7.一元一次不等式组中各个不等式解集的 叫做一元一次不等式组的解集.
8.由于任何一个一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0
（a，b是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式
ax+b>0或ax+b<0 ，可以看作：当一次函数y = ax +b的值大（小）于0时，求自变量相应的 ；反之，求一次函数y = ax +b的值何时大（小）于0时，只要求出不等式ax+b>0或ax+b<0的 即可.本章的知识联系图例题分析，解决问题例1 解不等式x＞ 0.5 x－2，并将其解集表示在数轴上. 解：x-0.5x＞-2
0.5x＞－2
∴ x ＜ -4
例2 解不等式组①②解：解不等式 ①，得 x < 4 解不等式 ②，得 x ≥ -1 在同一条数轴上表示不等式 ① ② 的解集
-2 -1 0 1 2 3 4 例3 小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果．爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于10；纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢；否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下．究竟是哪个队赢了，本场比赛特里、纳什各得了多少分?分析：解应用题时，应抓住字眼：“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“最多”、“最少”等，根据题意列出不等式。解：设本场比赛特里得了x分，则纳什得分为x+12
由题意,得解得22因为x是整数，所以x=23
答：小牛队赢了，特里得了23分，纳什得了35分. 例4 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？解：设选择甲旅行社所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2元，则
y1=500×2+70%×500x=350x+1000
y2=80%×500（x+2）=400（x+2）=400x+800
当y1=y2时，350x+1000=400x+800
解得x=4;
当y1＞y2时，350x+1000＞400x+800
解得x＜4;
当y1＜y2时，350x+1000＜400x+800
解得x＞4.
所以，当学生人数为4人时，甲、乙两家旅行社的收
费相同；当学生人数少于4人时，选择乙旅行社；当
学生人数多于4人时，选择甲旅行社.合作学习，练习提高解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.（1）2（x－3）＞4; （2）2x－3≤5（x－3）;
（3） （4）课堂小结，能力提升 通过本节课的学习,你有什么收获?你感觉最困难的是什么?印象最深刻的是哪个部分的知识?布置作业，巩固所学
作业：复习题A组、B组一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例
一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。
巧用不等式的性质
例1 要使a5＜a3＜a＜a2＜a4成立，则a的取值范围是（ ）
A.0＜a＜1 B. a＞1 C.－1＜a＜0 D. a＜－1
分析：由a3＜a到a2＜a4，是在a3＜a的两边都乘以a，且a＜0来实现的；在a3＜a
两边都除以a，得a2＞1，显然有a＜－1。故选D
点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定
a的取值范围。
例2 已知6＜＜10，≤≤，，则的取值范围是 。
分析：在≤≤的两边都加上，可得≤≤，再由6＜＜10可得9＜＜30，即9＜＜30
点评：本题应用不等式的基本性质，在≤≤的两边都加上后，直接用关于的不等式表示，再根据6＜＜10求出的取值范围。
由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围
例3 若关于的不等式组
的解集为，则的取值范围是 。
分析：由①得 ，解之得。
由②得 。
因为原不等式组的解集为，所以，所以。
点评：本题直接解两个不等式得到且。 若，则其解集为，若，则其解集为，而原不等式的解集为，所以，即。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。
若不等式的解集是，则不等式
。
分析：原不等式可化为。
因为，所以
由②得 ，代入①得 ＜0，
所以。
由 得。
把代入得 。
点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断＜0，从数值上判断，从而确定的关系及的符号。
不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。
利用不等式求代数式的最大值
设均为自然数，且，又，则的最大值是 。
分析：均为自然数，且，
所以在这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，
159=，
，所以的最大值为19。
当取最大值时，，
140≥，
，所以的最大值为20。
当、都取最大值时，
120=，
所以， 所以的最大值为22。
所以的最大值是19+20+22=61。
点评：本题根据已知条件先分别确定、、的最大值，再求出的最大值。其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于、、的不等式。
例6 在满足，的条件下， 能达到的最大值是 。
分析：将转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。
∵，∴，。
∴。
∵ ∴，∴。
即
故 能达到的最大值是6。
点评：由字母的取值范围可以确定含字母的代数式的取值范围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。
例７ 若整数满足不等式组
试确定的大小关系
分析：利用不等式的性质，原不等式组可化为
，
所以，
即。
所以。
点评：本题根据已知不等式组中各不等式的特点，对各不等式进行变形，使它们都含有，利用不等式的传递性，得到的大小关系。
第2章检测题
班级： 姓名： 成绩：
一、填空题
1．用不等式表示：
（1） x与5的差不小于x的2倍： ；
（2）小明的身高h超过了160cm： ．
2．用不等号连接下列各组数：
（1）π 3.14 ； （2）（x－1）2 0 ； （3）
3．请写出解集为的不等式： ．（写出一个即可）
4．不等式的非负整数解是 ．
5．已知点P（m－3，m＋1）在第一象限，则m的取值范围是 ．
6．如果1”、“<”或“=”）
二、选择题
7．函数y＝kx＋b（k、b为常数，k0）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集为（ ）．
A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2
8．已知，则下列不等式不成立的是 （ ）．
A． B． C． D．
9．将不等式组 的解集在数轴上表示出来，应是（ ）．
10．如图所示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a0）相交于点P，则不等式kx+b>ax的解集是（ ）
A．x>1 B．x<1 C．x>2 D．x<2
三、解答题
1．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）
（2）
（3）
（4）
2．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．
（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
3．有一个长方形足球场的长为x m，宽为70m．如果它的周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．
（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间）
4．已知A、B两个海港相距180海里．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从A港出发到B港航行过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）。根据图象解答下列问题：
（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）快艇出发多长时间后能超过轮船？
（3）快艇和轮船哪一艘先到达 B港？
参考答案
一、填空题
1．（1） （2）h>160cm
2．（1）> （2） （3）<
3．写对一个即可；
4．0、1、2；
5．m>3；
6．<；
二、选择题
7．C 8．D 9．A 10．D
三、解答题
1．（1）解：（x－1）＋22x （2）解：－6＋2x>3x＋6
x－2x－1 2x－3x>6＋6
－x－1 －x>12
∴ x1 ∴ x<－12
（3） （4）
解：解不等式①，得 x1 解：解不等式①，得x<1
解不等式②，得 x<4 解不等式②，得x>－3
故原不等式组的解集是1x<4 故原不等式组的解集是－32．解：（1）在甲超市购物所付的费用是：
300＋0.8（x－300）＝（0.8x＋60）元；
在乙超市购物所付的费用是：
200＋0.85（x－200）＝（0.85x＋30）元；
（2）当0.8x＋60＝0.85x＋30时，解得x＝600，
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
当0.8x＋60>0.85x＋30时，解得x<600，而x>300，
∴300 当0.8x＋60<0.85x＋30时，解得x>600，即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．
3．解：根据题意可列不等式组为
解①，得x>105
解②，得x<108
∴105 根据国际比赛足球场地的要求，该球场可以用作国际足球比赛．
4．解：(1) 快艇：y=40x-80 轮船：y=20x
(2) 根据题意，可得40x-80>20x
解得 x>4
4-2=2(时)
故 快艇出发2时后能追上轮船．
（3） 快艇先到达 B 港．
