人教B版（2019）高中数学必修第二册 6.1.2《向量的加法》同步练习（含解析）

向量的加法
一、选择题
1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为(　　)
A．5　 　　B．4　　 　C．3　 　　D．2
2．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．△ABC中，必有＋＋＝0
C．若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量且方向相同，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
4.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是(　　)
A．＝＋
B．＋＝0
C．＋＋≠0
D．＋＋≠0
5．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
6．如图，在平行四边形ABCD中．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
7．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
8．当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角．
三、解答题
9．在青海玉树大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
10．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
素养达标
11．(多选题)已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
12．在以下各命题中，不正确的命题个数是(　　)
(1)任一非零向量的方向都是唯一的；
(2)|a|－|b|<|a＋b|；
(3)若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
(4)已知A，B，C为平面上任意三点，则＋＋＝0.
A．1 B．2
C．3 D．4
13．在静水中划船的速度是20 m/min，水流速度是10 m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________．
14．如图所示，△ABC中，＝＝，且BC＝3，则|＋|＝________.
15．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点．求证：2＝＋.
向量的加法答案
一、选择题
1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为(　　)
A．5　 　　B．4　　 　C．3　 　　D．2
A　[依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A．]
2．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)
A． B．
C． D．
C　[在方格纸上作出＋，如图，易知＋＝.
]
3．(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．△ABC中，必有＋＋＝0
C．若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量且方向相同，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
BD　[A错，若a＋b＝0时，方向是任意的；B正确；C错，A，B，C三点共线时也满足；D正确．]
4.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是(　　)
A．＝＋
B．＋＝0
C．＋＋≠0
D．＋＋≠0
D　[容易判断＋＋＝2≠0.故选D．]
5．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
D　[由于＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D．]
二、填空题
6．如图，在平行四边形ABCD中．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
(1)　(2)　(3)　(4)0　[(1)由平行四边形法则可知＋＝；
(2)＋＋＝＋＝；
(3)＋＋＝＋＝；
(4)＋＋＝＋＋＝＋＝0.]
7．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
8km　北偏东45°　[如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.]
8．当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角．
|a|＝|b|　[当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角．]
三、解答题
9．在青海玉树大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
[解]　如图所示，设，分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，
||＝20 km，||＝20 km，
在Rt△ACD中，
||＝＝40 km，∠CAD＝60°，
即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40 km处．
10．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
[证明]　连接EF(图略)，由题意知，＝＋，＝＋，＝＋.
由平面几何知识可知，＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0，
∴＋＋＝0.
素养达标
11．(多选题)已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
AC　[∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴A、C正确，B、D错误．]
12．在以下各命题中，不正确的命题个数是(　　)
(1)任一非零向量的方向都是唯一的；
(2)|a|－|b|<|a＋b|；
(3)若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
(4)已知A，B，C为平面上任意三点，则＋＋＝0.
A．1 B．2
C．3 D．4
A　[(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]
13．在静水中划船的速度是20 m/min，水流速度是10 m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________．
　[如图，设为水流的速度，为划船的速度，则＝＋，其中为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt△ABC中，||＝10，||＝20，
∴tan ∠ABC＝＝
＝＝，
∴tan ∠ADC＝tan ∠ABC＝.]
14．如图所示，△ABC中，＝＝，且BC＝3，则|＋|＝________.
2　[∵＝＝，
∴DE∥BC，且DE＝BC＝1．
如图所示，作＝，连接DF，
则＋＝＋＝，
∴|＋|＝||＝||－||＝2.]
15．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点．求证：2＝＋.
[证明]　如图所示，在四边形CDEF中，＝＋＋.①
在四边形ABFE中，
＋＋＋＝0，
所以＝＋＋.②
①＋②得
＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
因为E，F分别是AD，BC的中点，
所以＋＝0，＋＝0，
所以2＝＋.
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