18.2.3 正方形
图片预览
文档简介
课件22张PPT。数 学新课标（RJ） 八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形18.2.3 正方形探 究 新 知 ? 活动1 知识准备1．矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等B18.2.3 正方形2．已知?ABCD，(1)请添加一个条件，使之为矩形；(2)请添加一个条件，使之为菱形．
[答案] (1)答案不唯一，如∠A＝90°.(2)答案不唯一，如AB＝BC.18.2.3 正方形 ? 活动2 教材导学 1．操作：将一张矩形纸片沿图18－2－93中所示的箭头方向折叠，然后沿虚线剪开，所得的四边形ABCD是___________．其中的依据是有一组邻边______的_______是正方形或有一个角是_______的_______是正方形．图18－2－93正方形相等矩形直角菱形18.2.3 正方形2．(1)类比矩形、菱形的性质，你觉得正方形有哪些性质？
[答案] 正方形的四条边都相等，四个角都是直角．
(2)类比矩形、菱形的判定，你觉得什么样的图形是正方形？
[答案] 一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形．新 知 梳 理 ? 知识点一 正方形的概念 18.2.3 正方形定义：四条边都_______，四个角都是_______的四边形是正方形．相等直角18.2.3 正方形 ? 知识点二 正方形的性质 由于正方形既是矩形又是菱形，所以正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质．
1．对边_______且________；
2．四条边都________；
3．四个角都是_______；
4．对角线______且互相_______、_______；
5．每一条对角线平分一组_______．平行相等相等直角相等垂直平分对角18.2.3 正方形 ? 知识点三 正方形的判定 图18－2－9418.2.3 正方形 ? 知识点四 正方形的对称性 正方形是__________图形，它共有____条对称轴. 轴对称4重难互动探究探究问题一 利用正方形的性质计算或证明 18.2.3 正方形例1 [2014·泸州] 如图18－2－95所示，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G.求证：AE＝BF.图18－2－9518.2.3 正方形18.2.3 正方形例2 如图18－2－96，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交边AD于点F.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)求∠AFB的度数．图18－2－9618.2.3 正方形[解析] 根据正方形和等边三角形的性质，得AD＝DC＝BC＝DE＝CE, ∠ADE＝∠BCE＝30°.然后证明△ADE≌△BCE.利用等腰三角形CBE的性质得到∠CBE的度数，然后由AD∥BC，得∠AFB＝∠CBE.18.2.3 正方形解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝DC.
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE＝DC.
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∠CDE＝∠DCE＝60°，
∴∠ADE＝∠BCE＝30°.
∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE.18.2.3 正方形(2)∵AD＝BC＝DC, DE＝CE＝DC，
∴CE＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB.
∵∠BCE＝30°，
∴∠CBE＝∠CEB＝75°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBE，
∴∠AFB＝75°.18.2.3 正方形[归纳总结] 平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系：
从上面的从属关系中不难看出，正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，因此一个四边形是正方形就隐含了图形中许多相等的线段与角、互相垂直的线段、垂直平分的线段等条件．在具体问题中运用时需灵活取舍．图18－2－9718.2.3 正方形探究问题二 正方形的判定 例3如图18－2－98所示，已知?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．图18－2－9818.2.3 正方形[解析] (1)利用等边三角形三线合一得DB⊥AC，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证．(2)由等边三角形得∠AEC＝60°，∠AED＝2∠EAD，得∠EAD＝15°，于是∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，从而四边形ABCD是正方形．18.2.3 正方形18.2.3 正方形18.2.3 正方形[归纳总结] 要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有一组邻边相等(或有一个角是直角)，其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等，且有一个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直．
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等B18.2.3 正方形2．已知?ABCD，(1)请添加一个条件，使之为矩形；(2)请添加一个条件，使之为菱形．
[答案] (1)答案不唯一，如∠A＝90°.(2)答案不唯一，如AB＝BC.18.2.3 正方形 ? 活动2 教材导学 1．操作：将一张矩形纸片沿图18－2－93中所示的箭头方向折叠，然后沿虚线剪开，所得的四边形ABCD是___________．其中的依据是有一组邻边______的_______是正方形或有一个角是_______的_______是正方形．图18－2－93正方形相等矩形直角菱形18.2.3 正方形2．(1)类比矩形、菱形的性质，你觉得正方形有哪些性质？
[答案] 正方形的四条边都相等，四个角都是直角．
(2)类比矩形、菱形的判定，你觉得什么样的图形是正方形？
[答案] 一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形．新 知 梳 理 ? 知识点一 正方形的概念 18.2.3 正方形定义：四条边都_______，四个角都是_______的四边形是正方形．相等直角18.2.3 正方形 ? 知识点二 正方形的性质 由于正方形既是矩形又是菱形，所以正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质．
1．对边_______且________；
2．四条边都________；
3．四个角都是_______；
4．对角线______且互相_______、_______；
5．每一条对角线平分一组_______．平行相等相等直角相等垂直平分对角18.2.3 正方形 ? 知识点三 正方形的判定 图18－2－9418.2.3 正方形 ? 知识点四 正方形的对称性 正方形是__________图形，它共有____条对称轴. 轴对称4重难互动探究探究问题一 利用正方形的性质计算或证明 18.2.3 正方形例1 [2014·泸州] 如图18－2－95所示，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G.求证：AE＝BF.图18－2－9518.2.3 正方形18.2.3 正方形例2 如图18－2－96，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交边AD于点F.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)求∠AFB的度数．图18－2－9618.2.3 正方形[解析] 根据正方形和等边三角形的性质，得AD＝DC＝BC＝DE＝CE, ∠ADE＝∠BCE＝30°.然后证明△ADE≌△BCE.利用等腰三角形CBE的性质得到∠CBE的度数，然后由AD∥BC，得∠AFB＝∠CBE.18.2.3 正方形解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝DC.
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE＝DC.
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∠CDE＝∠DCE＝60°，
∴∠ADE＝∠BCE＝30°.
∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE.18.2.3 正方形(2)∵AD＝BC＝DC, DE＝CE＝DC，
∴CE＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB.
∵∠BCE＝30°，
∴∠CBE＝∠CEB＝75°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBE，
∴∠AFB＝75°.18.2.3 正方形[归纳总结] 平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系：
从上面的从属关系中不难看出，正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，因此一个四边形是正方形就隐含了图形中许多相等的线段与角、互相垂直的线段、垂直平分的线段等条件．在具体问题中运用时需灵活取舍．图18－2－9718.2.3 正方形探究问题二 正方形的判定 例3如图18－2－98所示，已知?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．图18－2－9818.2.3 正方形[解析] (1)利用等边三角形三线合一得DB⊥AC，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证．(2)由等边三角形得∠AEC＝60°，∠AED＝2∠EAD，得∠EAD＝15°，于是∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，从而四边形ABCD是正方形．18.2.3 正方形18.2.3 正方形18.2.3 正方形[归纳总结] 要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有一组邻边相等(或有一个角是直角)，其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等，且有一个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直．