2023-2024学年人教版八年级上册第十二章 《12.3角的平分线的性质》 角平分线性质的实际应用 同步训练（含答案）

2023-2024学年人教版八年级上册第十二章
《12.3角的平分线的性质》 角平分线性质的实际应用
同步训练
一、单选题
1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）

A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
2．如图，在中，是它的角平分线，cm，cm，则（　　）
A．16：9 B．9：1 C．3：4 D．4：3
3．如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，公路，公路交公路于，交公路于，若要建一汽车旅店到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A．处 B．处 C．处 D．处
6．如图所示，在直角中，，平分交于点，且，，则的面积为（ ）
A．24 B．12 C．8 D．3
7．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ）
A．5 B．7 C．7．5 D．10
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．如图，AD是ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DM，ADM和AED的面积分别为58和40，则EDF的面积为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
二、填空题
11．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB= 度．
12．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＝6cm，DE⊥AB于E，则△DEB的周长为 ．
14．如图，，平分，平分，若，则 ．

15．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为
16．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是 ．
三、解答题
17．根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
18．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
19．如图，在中，是它的角平分线，．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求的长．
20．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．
(1)求证：；
(2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
21．如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．
参考答案：
1．C
【详解】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点．
故选：C．
2．D
【详解】解：∵是的角平分线，
∴设的边上的高与的上的高分别为
∴，
∴与的面积之比=
3．C
【详解】解：根据角平分线上的点到角两边距离相等可知，
三角形内心（即三角形内角角平分线的交点）为1个位置，
另外两外角平分线的交点，到三条公路的距离也相等，可找到3个，
但因为有1个在深水湖泊，
所以，有3个，
4．B
【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵是中的角平分线，于点，
∴，
∵，
∴
解得：，
5．B
【详解】解：和的平分线的交点到、、距离相等，
这两个角的平分线的交点满足条件；
和的平分线的交点到、、距离相等，
这两个角的平分线的交点满足条件；
满足这条件的点有2个；
故选：B．

6．B
【详解】解：过点D作，如图
∵，，平分，
∴，
∵，
∴的面积为：；
7．B
【详解】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，
∵△ABC的面积为24，周长为24，
∴，
解得：x=2．
即点O到BC的距离为2．
8．A
【详解】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图：
∵为的角平分线，于点，
∴，
∴的面积为：；
9．B
【详解】解：①正确，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的余角相等，所以∠BDE＝∠BAC；
④错误，因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE；
⑤正确，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
故正确的个数为4个.
10．C
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DMH中，DF＝DH，DE＝DM，
∴Rt△DEF≌Rt△DMH（HL），
∴S△DEF＝S△DMH，
∵△ADM和△AED的面积分别为58和40，
∴△EDF的面积＝×（58﹣40）＝9．
11．135
【详解】∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
又∵AM，BN为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠CAM+∠NBC=45°，
∴∠AOB=180° (∠CAM+∠NBC)=135°，
∴∠AOB=135°.
12．5
【详解】解：如下图，作于F，

平分，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，
故答案为：5
13．6cm．
【详解】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°
∴CD=ED,AC=AE
∴EB=AB-AE=AB-AC
∴△DEB的周长为ED+EB+DB=CD+DB+EB=CB+EB=BC+AB-AC=AB=6cm
14．
【详解】如图，过点作于，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
设，，
∴，
∴，
15．4
【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，
由题意可得：平分，
∵，
∴，
∵，的面积为，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：4．
16．50
【详解】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图所示，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PE＝PF＝PD＝5，
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD AB+PE BC+PF AC
＝（AB+BC+AC）
＝×20
＝50，
故答案为：50．
17．(1)=
(2)见解析
【详解】（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°
∴∠C=90°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠BAD
∵AD=AD
∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴BD=CD
（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
∵AD=AD，AC=AE
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴DC=DE，∠AED=∠C
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°
∴∠DEB=∠B
∴DE=DB
∴DB=DC
18．，
【详解】解：过点分别作，是垂足．
由，得，，
是的平分线，
．
19．(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）作于点E，于点F，
∵是的角平分线，，
所以，
所以．
∴的值是．
（2）作于点G，则，
因为，
所以．
（3）因为， ，
所以．
20．(1)证明过程见详解
(2)相等，理由见详解
【详解】（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
（2）AD=AG，理由如下：
∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
21．（1）见解析； （2）
【详解】解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．