第4章图形的相似 单元达标测试题（含解析） 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》
单元达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．如果，那么下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则的周长与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，直线分别与，，相交于点A、B、C，直线分别与，，相交于点D、E、F，已知，，的长为（ ）

A．9 B．4 C． D．3
4．如图，在中，为边上一点，，，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．如图，下列条件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（满分32分）
9．若＝＝，且a＋b＋c＝6，则a－b＋c＝ .
10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）

11．如图，在边长为6的菱形中，点E在边上，点F为延长线与延长线的交点，若，则的长为 ．

12．如图，在中，，于点，，，则的长是 ．

13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边米，米，测得边离地面的高度米，米，则树高为 米．

14．如图，在平面直角坐标系中，点，以点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为 ．

15．如图，在中， ，，，点是上的一点，，是和上的一动点，直线把该三角形分成一个三角形和一个四边形，当被分成的三角形与原三角形相似时，的长为 ．

16．如图，在正方形中，与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则线段的长为 ．

解答题（满分56分）
17．如图，在中，对角线和相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F，，求的长度．

18．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似

19．如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为m．

(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子；
(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长m，请求出旗杆的高度．
20．如图1，在正五边形中，点F在边上（不与D，E重合）；，与五边形的外角平分线相交于点G，与边相交于点H．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，当F是中点时，连接CH，求证：．
21．课本再现
如图1，在等边中，E为边上一点，D为上一点，且，连接与相交于点F．

（1）与的数量关系是 　　，与构成的锐角夹角的度数是 　　；
深入探究
（2）将图1中的延长至点G，使，连接，，如图2所示．求证：
平分．（第一问的结论，本问可直接使用）
迁移应用
（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是边，上的点，与相交于点F．若，且，求值．
参考答案
1．解：设，（），
A. ，式子成立，故选项不符合题意；
B. ，式子成立，故选项不符合题意；
C. ，式子成立，故选项不符合题意；
D. ，式子不成立，故选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵，，，
∴与的相似比为，
∴的周长与的周长之比为，
故选：C．
3．解：直线，
，
，
∴，
故选：B．
4．解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．解：∵点A的坐标为，以原点为位似中心将缩小，位似比为，
∴点的对应点的坐标为：或，即或，
故选：D．
6．解：如图，作交于F，

∵，O是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
7．解：A、∵，，
∴，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴，故此选项不合题意；
C、∵，
∴，，
∴，故此选项不合题意；
D、不能判定，故此选项符合题意．
故选：D．
8．解：∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
在中，，
∴，，
∴，故③错误；
综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确．
故选：B．
9．解：设＝＝=k,
则a=2k,b=3k,c=7k,
∵a＋b＋c＝6，
∴2k+3k+7k=6，
∴k=，
则a=2k=1, b=3k=, c=7k=,
∴a－b＋c＝1-+=3.
故答案为3.
10．解：由题意知 米，
，
，
米，
故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，
故答案为：．
11．解：四边形是边长为的菱形，，
，，
，
，
即
，
故答案为： 3．
12．解：∵在中，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：4．
13．解：在和中，
，
，
，即，
解得：，
，
，
即树高．
故答案为：．
14．解：∵，点为位似中心，相似比为
∴点的坐标为 或
故答案为： 或

15．解：在中， ，，，
∴，
①当在上时，如图所示，

当时，则，则，
∴
∴,
②如图所示，当时，

∴
∴
∴,
③如图所示，当在上时，，

则
∴
∴，
∵，则，
∴；
当时，如图所示，

∴
∴，
∴；
综上所述，的长为
16．解：过M点作，

∵四边形是正方形，是对角线,
∴，
∴，，
∴．
∵平分，
∴．
∴正方形边长，
∴正方形对角线， ．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
故答案为：．
17．解：如图，过作，交于，

∴，
∴，
∵，
∴，解得，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴的长为．
18．解：①设经过后，，
根据已知条件，可得，，
∵，
∴，
∴，
解得；
②设经过后，，
∵，
∴，
∴，
解得．
故经过或后，与相似．
19．解：（1）影子，如图所示；

（2）∵，
∴，
∵．
∴，
∴，即，解得，
∴旗杆的高度为9.6m．
20．（1）解：五边形是正五边形，
，
．
，
，
．
（2）解：如图，在上取点，使得，连接．

，
，即，
，
．
，
．
平分，
，
，
．
，
，
．
（3）解：，
，
．
是的中点，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
21．（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴．
∴，，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：由（1）可知，，
∴，
∵FG＝BF，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：如图3，延长至点G，使，连接、，过点D作于点M，于点N，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
方法二：如图4，过点D作交于点P，

则，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．