第一章 特殊平行四边形 单元复习题 （含解析） 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元复习题
一、选择题
1．菱形的周长为，一条对角线长为，则菱形的面积为（　　）．
A． B． C． D．
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角相等 D．对边平行
3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（　　）
A．测量四边形画框的两个角是否为
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
4．如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形
B．对角线互相平分且垂直的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等且互相垂直的平行四边形
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，BD＝12，则EF的最小值为（　　）
A．8 B．6 C．4.8 D．2.4
7．如图，在菱形ABCD中， ，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则 的度数是（　　）
A．110° B．112° C．115° D．120°
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝4，CD＝6，∠A＝90°，∠B＝∠C＝120°，则AD的长度为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．2+3
9．如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE=DF，则四边形AECF是(　　)
A．平行四边形　　　　 B．矩形　　　　
C．菱形　　　　 D．正方形
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且，连接BF，DE，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．正方形的对角线长为10 cm，则正方形的周长是　 　
12．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，∠A＝120°，则A　 　．
13．如图，在矩形中，是边上一点，，，是边的中点，，则　 　．
14． 如图，点是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，，则　 　 ．
三、解答题
15．如图，在矩形中，，相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长及四边形的面积．
16．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若且，已知，求的长．
17． 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N.
（1）求证：EF=BE+DF.为了证明“EF=BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程.
（2）若正方形ABCD的边长为6，BE=2，求DF的长.
18．已知：如图，在 中， ， 是 的角平分线， ，
，垂足分別为E、F.求证：四边形 是正方形.
四、综合题
19．如图，在中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接，相交于点.
（1）求证：；
（2）当四边形为菱形时，求的长.
20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且连接CE
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE，若DB=6，AC=8，求AE的长.
21．已知正方形和正方形有一个公共点A，点G、E分别在线段、上.
（1）如图1， 连接、，若将正方形绕点A按顺时针方向旋转，判断∶“在旋转的过程中线段与的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；
（2）若将正方形绕点A按顺时针方向旋转， 连结，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段的长始终相等.并以图2为例说明理由.
22．综合与实践
在数学课上，王老师让同学们对两个全等的直角三角形纸片进行摆弄，如图1，，.
（1）如图2，将图1的两个直角三角形的斜边AB、DE重合，得到“筝形ACBF”，连接CF交AB于点O，若，则　 　；
（2）如图3，将图1的两个直角三角形直角顶点C与顶点F重合，，连接BE，AD，求证：四边形ADEB是矩形；
（3）如图4，将图1的两个直角三角形的边AB、DE放到同一直线上，点C、F在AB的同侧，连接CE，AF，CF，若点E是AB的中点.请判断四边形CEAF的形状，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵菱形周长为20cm，
∴一条边的边长a=5cm，
又∵一条对角线长为，
根据勾股定理可得另一条对角线长的一半，
∴另一条对角线长为6cm，
∴，
故答案为：B.
【分析】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理，首先根据菱形的四边相等可知边长为5，又因为菱形的对角线垂直，所以结合一条已知的对角线求出另一条对角线的长度为6，两条对角线长度已知即可求出菱形的面积.
2．【答案】B
【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；
矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；
因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；
因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】菱形和矩形具有平行四边形的一切性质，菱形特有：四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角，矩形特有：四个角都是直角，对角线相等，据此逐一判断即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，能判断四边形是菱形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，据此一 一判断得出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：四边形为矩形，，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】由矩形的性质求出∠ABD=90°，利用三角形内角和求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意；
C、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C选项不符合题意，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形 是正方形，一一判断可得答案.
6．【答案】C
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CDO= ∠ADC= ∠ABC=25°，
∴∠DOC=90°，
∵点E是CD的中点，
∴OE=DE= CD，
∴∠DOE=∠CDO=25°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°，
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠CDO=25°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出OE=DE，则由等腰三角形的性质求出∠DOE=25°，最后根据角的和差关系求∠AOE的度数即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠EBC=∠ECB=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∵BC=4，∴EC=BE=BC=4，
∵AB=1，CD=6，
∴AE=1+4=5，DE=CD+CE=4+6=10，
∵∠A=90°，
∴AD=.
故答案为：.
【分析】延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，结合已知易得△BCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得EC=BE=BC，由线段的构成可求出AE、DE的值，然后在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AD的值.
9．【答案】A
【解析】【解答】ABCD是矩形
AO=CO BO=DO
又BE=DF
BO+BE=DO+DF
即EO=FO
四边形AECF是平行四边（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
故选：A
【分析】根据矩形性质得到平行四边形的判定条件。
10．【答案】D
11．【答案】 cm
【解析】【解答】解：设正方形的边长是xcm，
x2+x2=102
解得，x=5 .
周长为：4×5 =20 cm.
故答案为：20 cm.
【分析】正方形的对角线和正方形的边长构成一个等腰直角三角形，设正方形的边长是xcm，根据勾股定理可求出x，进而求出周长.
12．【答案】2
13．【答案】3
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=30°，
∵∠AED=90°，点F是AD的中点，
∴AD=2EF=2×2=4，
∵∠EAD=30°，
∴DE=AD=2，
∴，
∴，
∴.
故答案为：3
【分析】 利用矩形的性质和平行线的性质可证得∠B=90°，∠AEB=∠DAE=30°，再利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可求出AD的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出DE的长；利用勾股定理求出AE的长；然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长；利用勾股定理求出BE的长.
14．【答案】3
15．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
连接交与，如图所示，
由（1）知四边形是菱形，
∴，，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBO是平行四边形，再利用矩形的性质可证得AO=BO，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质可得到BD的长，利用勾股定理求出AD的长；连接OE交AB于点M，利用菱形的性质可知OE⊥AB，同时可证得AM=BM，EM=OM，利用勾股定理求出OM的长，可得到OE的长，然后利用菱形的面积公式可求出菱形AEBO的面积.
16．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
．
17．【答案】（1）解：证明：画出辅助线如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AEF和△AEG中，
∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴EF=EG，
∵EG=BE+BG，∴EF=BE+DF.
（2）解：∵BC=6，BE=2，∴EC=4，
由(1)得EF=BE+DF=2+DF，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，
∴(2+DF)2=42+(6-DF)2，解得DF=3.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质求出 AB=AD，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据题意先求出 EC=4， 再利用勾股定理求出 (2+DF)2=42+(6-DF)2， 最后解方程求解即可。
18．【答案】证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴矩形 是正方形.
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，根据垂直的概念可得∠DFC=90°，∠DEC=90°，推出四边形DECF为矩形，然后结合DE=DF以及正方形的判定定理进行证明.
19．【答案】（1）证明：如图，∵ 是由 绕点 按逆时针方向旋转得到的，
∴ ， .
∴ ，即 .
在 和 中，
∴ .
∴ .
（2）解：如图，∵四边形 为菱形，
∴ ， .
∴ .
∴ 为等腰直角三角形.
∴ .
∴ .
【解析】【分析】（1）在△ABE和△ACF中，通过SAS证明两个三角形全等，全等三角形的对应边相等。
（2）CD=CF-DF。四边形ABDF为菱形，则四条边相等，所以DF=AB=2；四边形ABDF为菱形，所以AB∥DF，内错角相等，则∠ACF=∠BAC=45°，在△ACF中，AC=AF，可推出△ACF为等腰直角三角形，所以CF=AC。
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴DE=OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形
（2）解：∵菱形ABCD，
∴DO=OB=BD=3，
CE=OD=3，∠OCE=90°，
在Rt△ACE中，
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得AC⊥BD，AO=CO=AC，可推出DE=OC，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形OCED是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）利用菱形的对角线互相平分，可求出OD的长，利用矩形的性质可求出CE的长，在Rt△ACE中，利用勾股定理求出AE的长.
21．【答案】（1）解：不正确.
若在正方形绕点A顺时针旋转，这时点F落在线段或的延长线上.（或将正方形绕点A顺时针旋转，使得点F落在线段或的延长线上）.如图：
设，，
则，
，
∴，即此时；
（2）解：连接BE，可得，则.
如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）若在正方形GAEF绕点A顺时针旋转45°时，画出图形，设AD=a，AG=b，利用勾股定理可表示出DF的长，同时可知DF＞a，再表示出BF的长，可知BF＜a，由此可证得DF＞BF，即可作出判断.
（2）连接BE，利用全等三角形的性质可证得DG=BE，利用正方形的性质可得到AD=AB，∠DAB=90°，利用余角的性质可证得∠DAG=∠BAE，利用SAS可证得△ADG≌△ABE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
22．【答案】（1）1：4
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（3）解：四边形是菱形，理由如下：
证明：∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形.
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，即，
设，则，，
，
∴，即，
∴，，
∴；
故答案为：1：4；
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得BC=EF，AC=DF，则AB是线段CF的垂直平分线，设BF=a，则AF=2a，由勾股定理可得AB=a，根据等面积法可得OC，由勾股定理可得OB，根据OA=AB-OB可得OA，接下来根据三角形的面积公式进行解答；
（2）由题意可得四边形ADEB是平行四边形，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DEC，BC=EC，由等腰三角形的性质可得∠CBE=∠CEB，由角的和差关系可得∠ABE=∠DEB，根据平行线的性质可得∠ABE+∠DEB=180°，推出∠ABE=90°，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（3）根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，BC=EF，则BC∥EF，推出四边形BEFC为平行四边形，得到CF=BE，由直角三角形斜边上中线的性质可得CE=BE=AE，结合AB=DE可得AF=AE，然后根据菱形的判定定理进行证明.