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5.7 神奇的默比乌斯带 教学设计
一、教学目标
1、学习目标描述：认识“默比乌斯带”，通过操作、思考，发现并验证“默比乌斯带”的特征。
2、学习内容分析：“神奇的默比乌斯带” 以“粘纸条”为载体，了解莫比默斯带的特征。 默比乌斯带属于《拓朴学》的内容，作为一个数学游戏来安排的。数学课向来以严谨自称，并且四年级的数学知识开始让学生感到有些“难”，有些失去兴趣。本节课借助“神奇的默比乌斯带”这个素材，让学生在其“魔术般的变化”中感受数学的无穷魅力，体会到数学好玩，从而进一步激发学生学习数学的热情。
3、学科核心素养分析：在经历默比默斯带制作过程中，培养学生的动手操作能力。同时拓宽学生数学视野，感受“默比乌斯圈”魔术般的变化，感受数学的无穷魅力，拓宽数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
1、重点：学生经历动手操作，主动思考，合作交流“做数学”的过程，探索默比乌斯带的奇异特性。
2、难点：利用所学数学解决问题的能力。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
新知导入 任务一：新知导入。课件出示视频：神奇的带子。师：今天我们就来研究这个默比乌斯带。板书课题：神奇的默比乌斯带。 通过观看视频，初步认识默比乌斯带引入本课内容。 教师观察学生观看情况，对认真听讲的学生给予及时的鼓励与表扬。
学习制作默比乌斯带。 任务二：学习制作默比乌斯带。你会用纸条变魔术吗？2、小组合作。要求：1）按课本70页内容制作并剪开默比乌斯带。 2）和同学说说你的发现。 3、展示汇报。 1） 取两张两面颜色不同的长方形的长纸条，给它们标上序 号①②。 2）把纸条①的两端粘贴在一起，形成一个环。 把纸条②先 捏着一端，将另一端扭转 180°，再粘贴起来，也形成一个环。 4、观察你做出的两个环，有什么不同？ 生1: ①号纸条有两个面。 ②号纸条只有一面。 引导学生认识默比乌斯带，在经历默比默斯带制作过程中，培养学生的动手操作能力。 老师对积极参与、表达能力强的同学予以表扬，对于学困生及时鼓励。
学习莫比默斯带的特点。 任务三：学习默比乌斯带的特点。用彩色笔涂一涂，看能不能一次连续不断地涂完①和②号环的整个面。 学生涂一涂，说一说。 教师总结：①不能一次连续不断地涂完，因为它有两个面。②能一次连续不断地涂完，因为它只有一个面。 2、拿剪刀，沿①②号环的中线剪开，你有什么发现。 学生剪一剪，说一说。 教师总结：①号剪开后是两个独立的纸环。②把一个默比乌斯环沿中线剪开后，居然没有一分为二，而是变成一个大环。（但不是默比乌斯带）。 3、取一张长20厘米、宽6厘米的长方形纸条，沿着纸条的宽将其平均分成三份（用虚线表示），再做成一个默比乌斯带，最后用剪刀沿纸环的虚线剪开，写出你的发现。 1）学生动手操作。 2）说一说：你发现了什么？ 生：将默比乌斯纸环沿着三等分线剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环，大环是原默比乌斯环的两倍，小环周长与原默比乌斯环相同。 4、你知道吗？ 师：默比乌斯带是德国数学家默比乌斯在 1858 年发现的。 它在生活和生产中都有应用。例如，机器上的传动带就可以 做成“默比乌斯带”状，这样传动带就不会只磨损一面了。 通过引导学生画一画，剪一剪，发现默比乌斯带的特点，培养学生的动手能力和总结能力。 老师对积极参与、表达能力强的同学予以表扬，对于学困生及时鼓励。
迁移运用 任务四：课堂练习基础题：1、选一选。（ ）中的蚂蚁不爬过纸带的边缘就能吃到纸内的面包屑。2、填 一 填。如图，人行走在这样的带子上，不越过边缘，（ ）（填“能”或“不能”）到达带子的任意一点。3、用笔分别在下面两个环的中间画一条线，已知画下去。圆环上画的线在圆环的（ ）面，扭着的环上画的线在环的（ ）面。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：4、说一说：默比乌斯带在生活中的应用。
拓展题： 5、了解克莱因瓶。 教师巡视，指导学困生。
课堂小结 任务六：课堂总结：通过本节课的学习你有什么收获？生1：学会了制作默比乌斯带。生2：知道了默比乌斯带的特点。 通过师生回顾全课，说说本课所学内容，总结知识，升华认识。 对于听课认真，积极参与的同学进行表扬。
作业设计 知识技能类1、图是小朋友玩的爬梯，不翻过爬梯边缘，爬梯两侧都能到达吗？2、取一张长80厘米，宽4厘米的长方形纸条，做一个默比乌斯带（接头处不计）。已知小人从某一点开始沿着所标虚线跑步，直回到出发点为止，它跑了大约多少厘米？ 3、县官的儿子偷了农民的东西,县官就在一张纸条的正面写上:小偷应当放掉。在纸的另一面写着：农民应当关押。然而执事官却关押了小偷,放掉了农民。县官看纸条的时候，发现上面写着:应当关押小偷，应当放掉农民。你知道聪明的执行官是怎么做的吗？ 选做题：你去过中国科技馆吗？这组雕像表现的是什么？（上网查一查） 综合实践类：如果把长方形纸条平均分成四份，沿虚线剪开，会是什么结果？五份呢？
板 书设 计 神奇的默比乌斯带
教学反思
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《平行四边形和梯形》 单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
新课标关于本单元的要求，主要表现在“内容要求”“学业要求”“教学提示”三个方面。
内容要求:
1）了解同一平面内两条直线的关系。
2）认识四边形，会根据图形特征对四边形进行分类。
学业要求:
1）能辨认同一平面内两条直线是否平行或者垂直；2）能说出长方形、正方形、平行四边形和梯形的特征；能说出图形之间的共性与区别。形成空间观念和初步的几何直观。
教学提示:
1）结合实际情境，感受同一平面内两条直线的两种位置关系，借助动态演示或具体操作，感悟两条直线平行与相交的差异。
2）引导学生在认识长方形、正方形、平行四边形、梯形的过程中，感悟这几类四边形的共性和区别。
本单元培养学生核心素养主要表现为:空间观念、几何直观、集合思想、操作能力、想象能力、分类思想。
课标解读：
“图形与几何”内容是小学阶段重要的学习内容,包括：图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置四个方面的内容。《平行四边形和梯形》这一单元的教学内容属于图形的认识这一部分，内容包括：同一平面内两条直线的特殊位置关系，即平行与垂直；平行四边形和梯形的认识。本单元重点认识平行四边形、梯形的特征以及与正方形、长方形的关系。在前面的学习过程中，学生已经认识了直线、线段、射线的特点，初步认识了平行四边形，学习了角的度量等内容。结合课程目标在课程实施的过程中，要关注学生已有的生活经验和知识基础，提供贴近生活的学习素材，在具体的生活背景中认识图形，让学生感受到数学与生活的密切联系。恰当使用电教媒体手段和学具，让学生在观察、想象、操作、推理与交流中，不断积累数学活动经验，初步培养学生的空间观念。
（二）单元教材内容分析
本单元的教学内容由垂直与平行,平行四边形和梯形两个部分组成。学生在前面已经学习了有关四边形的知识，对平行四边形也有了初步的认识，本单元着重给出的是平行四边形的特征以及它与正方形,长方形的关系。梯形在这里是第一次正式出现在教材里，除教学梯形特征外，还注意说明它与平行四边形的联系与区别。通过本单元的学习，不仅可以进一步发展学生的空间观念，积累认识图形的经验，同时，为学生以后学习平行四边形、三角形、梯形的面积奠定基础。
单元学习前后内容联系：
已学过的相关内容：
（三）学生认知情况
本单元是在学生学习了角的度量的基础上学习的，这一单元教学中要让学生通过实际操作和实验,亲身体验图形的特征和变换的规律,获得关于这些图形的权威性经验,促进空间观念的发展,感受几何图形知识与日常生活的密切联系。学习中容易出现的几个问题:对“永不相交”“同一平面”理解容易发生困难；2)画垂线容易思维定式,只会画水平线上的垂线；3在画高的操作过程中,对两点的确定有障碍,有的学生定势认为高就是竖线；4对于各种四边形之间的关系理解可能会有误区。
二、单元目标拟定
1．通过观察、操作等活动，使学生理解平行与垂直的概念。
2．让学生通过动手操作的过程，掌握平行四边形和梯形的特征。
3．通过分类、比较、归纳等多种形式，理解平行四边形、梯形、正方形、长方形之间的关系。
三、关键内容确定
（一）教学重点
认识平行四边形、梯形的特点以及正方与正方形、长方形的关系。
（二）教学重难点
画已知直线的垂线，画平行四边形的高，理解平行四边形和长方形、正方形的关系。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。
这部分内容是在学生认识了直线、线段和射线的特点，初步认识了平行四边形，学习了角的度量的基础上教学的，内容包括同一平面内两条直线的特殊位置关系：即平行和垂直、平行四边形和梯形的认识。本单元重点认识平行四边形、梯形的特点以及正方与正方形、长方形的关系。梯形在这里是第一次正式出现，教材除教学梯形的特征外，还注意说明它与平行四边形的联系和区别
本单元教材的具体编排结构如下:
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*
（一）通过“做图”发现特点。
《课程标准》要求学生“通过观察、操作，认识平行四边形和梯形”。课本在编写“认识平行线”时，让学生在一张纸上任意画两条直线，引导学生通过观察、分类、讨论、比较等多种活动，建立“相交”和“平行”概念。通过测量角的度数，抽象出垂直的概念。
学习“点到直线的距离”时，通过学生画线、测量，发现从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，和平行线间的距离处处相等。
学行四边形的不稳定性”时，通过用吸管做平行四边形，拉平行四边形，发现平行四边形不稳定的特点。
（二）强调知识和现实生活的联系。
《课程标准》指出：“数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会。”本教材在编写“平行四边形”和“梯形”的认识，都是通过学生熟悉的楼梯、衣架、梯子、台灯等生活原型引入的。既激发了学生的学习兴趣，又使学生感到数学就在身边。
（三）通过分类，增强研究意味。
教材在编写“平行与垂直”的内容时，教材从研究同一平面内两条直线的关系入手，逐步分析出两条直线的位置关系“相交”和“不相交”两种类型。相交又分为成直角和不成直角，是一种由“面”到“点”的研究。在研究“梯形”时，通过展示各种梯形的特点，对梯形进行分类教学。这样编写，既符合学生的认知规律，又便于学生展开探索、讨论，增强研究意味。
五、单元课时规划
□课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 □数与代数 图形与几何 □统计与概率 □综合与实践
单元数量 5
单元主题 单元名称 主要内容 课时
图形与几何 平行四边形和梯形 平行与垂直 1
画垂线 1
点到直线的距离 1
解决问题 1
认识平行四边形的特征 1
认识梯形的特征 1
神奇的默比乌斯带 神奇的默比乌斯带 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 □集合 □对应□演绎 归纳 □类比 转化 □数形结合 □极限□模型 □方程 □函数 □统计分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
5.1《平行与垂直》 目标：引导学生理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种位置关系，认识平行线和垂线。建立平行与垂直的概念。 任务一：谜语导入。 猜一猜。→任务二：学习平行的知识。 在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？任务三：学习垂直的知识。量一量，下面的相交直线组成的角分别是多少度。 1、从谜语入手，复习直线的特点，为新知识的学习做铺垫。通过小组合作，引导学生理解平行是同一平面内两条直线的位置关系，认识平行线，建立平行概念，从而培养学生的空间观念。3.通过测量，引导学生理解垂直是同一平面内两条直线的位置关系，认识垂线。建立垂直的概念。培养学生动手操作和归纳总结的能力。
5.2《垂线的画法》 目标：使学生经历画垂线的过程，正确掌握画垂线的方法。 任务一：复习关于垂线的知识。 关于垂线你记得什么？任务二：学习垂线的画法。 你能画出互相垂直的两条直线吗？ 1.复习关于垂线的知识，为新知识的学习做铺垫。2. 使学生经历画垂线的过程，正确掌握画垂线的方法，通过教师的引导，使学生正确使用三角尺画垂线，培养学生的观察能力、作图能力和应用意识。
5.3《点到直线的距离》 目标：通过画、量、比、想的过程，发现点到直线间垂线段最短。在两条平行线间画垂线，在画的过程中，通过测量活动，自主发现平行线间的距离相等。 任务一；导入新课。 为了交通方便，人们经常修路、架桥。如果遇到大山该怎么办呢？任务二：学习点到直线的距离的特征。任务三：学行线间的距离处处相等。 1.通过具体情境，发现问题、解决问题引出本课内容。2. 引导学生通过画、量、比、想的过程，发现点到直线间垂线段最短。进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。3. 引导学生在两条平行线间画垂线，在画的过程中，通过测量活动，自主发现平行线间的距离相等。进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。
5.4《解决问题》 目标： 通过画一个已知长和宽的长方形，引导学生掌握长方形的画法。 任务一：复习长方形的特点。填一填。任务二：学习长方形的画法。 1. 通过填一填，复习垂直的知识和长方形的特点，为新知识的学习做铺垫。2. 引导学生通过画一个已知长和宽的长方形，引导学生掌握长方形的画法。通过观察、思考、操作、合作等数学活动，培养学生的作图的能力和动手操作能力，发展空间观念。
5.5《认识平行四边形的特征》 目标：结合生活实际认识平行四边形，掌握平行四边形的特征，认识平行四边形的底和高；经历动手操作和自主探究的过程，充分感受平行四边形的不稳定性。 任务一：导入新课。拼一拼。任务二：认识平行四边形。 研究一下，平行四边形的边有什么特点。任务三：学行四边形的高。从M点作CD 的垂线。任务四：学习平行四边形的不稳定性。 用四根吸管串成一个长方形。 1.通过拼一拼导入新课。2. 引导学生通过动手操作、总结出平行四边形的特点，培养学生抽象概括能力、动手操作能力和初步的空间观念。通过观察、动手操作认识平行四边形的底和高，培养学生的动手操作能力和总结能力。培养学生积极探索的精神。引导学生经历动手操作和自主探究的过程，充分感受平行四边形的不稳定性。培养学生的观察能力、动手操作能力和语言表达能力。
5.6《认识梯形的特征》 目标：
能辨认梯形，知道梯形的各部分名称，会画梯形的高。初步了解等腰梯形和直角梯形的特征。 任务一：复习学过的图形的特点。小游戏：我说你画。任务二：梯形的认识。任务三：学习画梯形的高。任务四：认识特殊的梯形等腰梯形 和直角梯形。 1. 通过小游戏，复习学过图形的特点，为新知识的学习做铺垫。2. 引导学生经历梯形的认识过程，培养学生体验、观察、比较、分类的思想和方法，和动手能力。3. 通过观察、动手操作认识梯形的底和高，培养学生的动手操作能力和总结能力，和积极探索的精神。4. 通过观察比较，比较，测量等活动认识等腰梯形和直角梯形，培养学生动手能力和总结能力。
5.7《神奇的莫比乌斯带》 目标：认识“默比乌斯带”，通过操作、思考，发现并验证“默比乌斯带”的特征。 任务一：新知导入。观看视频：神奇的莫比乌斯带。任务二：学习制作默比乌斯带。任务三：学习默比乌斯带的特点。 1. 通过观看视频，初步认识默比乌斯带引入本课内容。2、引导学生认识默比乌斯带，在经历默比默斯带制作过程中，培养学生的动手操作能力。3、通过引导学生画一画，剪一剪，发现默比乌斯带的特点，培养学生的动手能力和总结能力。
以后学习的相关内容。
五年级上册
·多边形的而面积
五年级下册
·探索图形
本单元学习内容。
·平行四边形和梯形
已经学过的相关内容。
一年级下册
·认识平面图形
三年级上册
·长方形和正方形
活动一：复习直线的特点。
问题1：平行与垂直。
活动二：学习平行的知识。
活动三：学习垂直的知识。
活动一：复习关于垂线的知识。
活动一：复习垂直的知识和长方形的特点。
问题2：垂线的画法。
活动二：学习垂线的画法
问题3：点到直线的距离。
任务一：平行和垂直。
活动一：提出问题，发现问题。
活动二：学习点到直线的距离的特征。
活动三：学行线间的距离处处相等。
平行四边形和梯形
1.1
问题4：长方形的画法。
活动二：学习长方形的画法。
活动三：学习平行四边形的高。
活动一：复习学过的图形的特点。
任务二：平行四边形和梯形。
活动二：认识梯形。
活动四：学习特殊的梯形。
问题1：认识平行四边形的特征。
活动三：学习默比乌斯带的特征。
活动二：认识平行四边形。
活动四：学习平行四边形的不稳定性。
问题2：认识梯形的特征。
活动一：引出默比乌斯带。
活动二：学习制作默比乌斯带。
问题：什么是默比乌斯带。
活动一：拼一拼导入。
任务三：神奇的默比乌斯带。
活动三：学习梯形的高。
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神奇的默比乌斯带
人教版四年级上册
教学目标
认识“默比乌斯带”，通过操作、思考，发现并验证“默比乌斯带”的特征。
在经历默比乌斯带制作过程中，培养学生的动手操作能力。
拓展学生数学视野，感受“默比乌斯带”魔术般的变化，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，激发学生学习数学的兴趣。
新知导入
神奇的带子
新知导入
这个神奇的圈叫做默比乌斯圈，也叫默比乌斯带。
新知讲解
神奇的默比乌斯带
新知讲解
你会用纸条变魔术吗？
小组合作学习
要求：
1、按课本70页内容制作并剪开默比乌斯带。
2、和同学说说你的发现。
新知讲解
展 示 汇 报
取两张两面颜色不同的长方形的长纸条，给它们标上序 号①②。
①
②
新知讲解
把纸条①的两端粘贴在一起，形成一个环。
把纸条②先 捏着一端，将另一端扭转 180°，再粘贴起来，也形成一个环。
①
②
新知讲解
①
观察这两个环，有什么不同？
有两个面。
有一个面。
新知讲解
用彩色笔涂一涂，看能不能一次连续不断地涂完①和②号环的整个面。
①不能一次连续不断地涂完，因为它有两个面。
②能一次连续不断地涂完，因为它只有一个面。
新知讲解
拿剪刀，沿①②号环的中线剪开，你有什么发现。
两个独立的纸环
把一个默比乌斯环沿中线剪开后，居然没有一分为二，而是变成一个大环。
（但不是默比乌斯带）。
新知讲解
取一张长20厘米、宽6厘米的长方形纸条，沿着纸条的宽将其平均分成三份（用虚线表示），再做成一个默比乌斯带，最后用剪刀沿纸环的虚线剪开，写出你的发现。
新知讲解
说一说：你发现了什么？
将默比乌斯纸环沿着三等分线剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环，大环是原默比乌斯环的两倍，小环周长与原默比乌斯环相同。
新知讲解
你 知 道 吗 ？
默比乌斯带是德国数学家默比乌斯在 1858 年发现的。 它在生活和生产中都有应用。例如，机器上的传动带就可以 做成“默比乌斯带”状，这样传动带就不会只磨损一面了。
课堂练习------基础题
（ ）中地蚂蚁不爬过纸带的边缘就能吃到纸内的面包屑。
①
②
1、选一选。
②
作业布置------基础题
如图，人行走在这样的带子上，不越过边缘，（ ）（填“能”或“不能”）到达带子的任意一点。
2、填 一 填。
能
作业布置------基础题
3、用笔分别在下面两个环的中间画一条线，已知画下去。圆环上画地线在圆环的（ ）面，扭着的环上画的线在环的（ ）面。
绿色
绿色和粉色
课堂练习------提高题
4、说一说：莫比乌斯带在生活中的应用。
整条传送带
过山车
莫比乌斯爬梯
课堂练习------拓展题
了解克莱因瓶
课堂总结
说一说：
通过刚才的学习，你有什么收获？
学会了制作默比乌斯带。
知道了默比乌斯带的特点。
板书设计
神奇的默比乌斯带
默比乌斯环：
这个纸环只有一个面。
默比乌斯带变成一个大的环
（不是默比乌斯带）。
作业布置
要认真完成呦！
作业布置------知识技能类
1、图是小朋友玩的爬梯，不翻过爬梯边缘，爬梯两侧都能到达吗？
能
作业布置------知识技能类
2、取一张长80厘米，宽4厘米的长方形纸条，做一个莫比乌斯带（接头处不计）。已知小人从某一点开始沿着所标虚线跑步，直回到出发点为止，它跑了大约多少厘米？
80厘米
作业布置------知识技能类
3、县官的儿子偷了农民的东西,县官就在一张纸条的正面写上:小偷应当放掉。在纸的另一面写着：农民应当关押。然而执事官却关押了小偷,放掉了农民。县官看纸条的时候，发现上面写着:应当关押小偷，应当放掉农民。你知道聪明的执行官是怎么做的吗？
正面：小偷应当放掉
反面：农民应当关押
把纸条做成了莫比乌斯带。
作业布置------选做题
三叶扭结雕塑
它表示着科学没有国界，各种科学之间没有边界，科学是相互连通的，科学和艺术也是相互连通的。
4、你去过中国科技馆吗？这组雕像表现的是什么？（上网查一查）
作业布置------综合实践类
5、如果把长方形纸条平均分成四份，沿虚线剪开，会是什么结果？五份呢？
谢谢
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