北京市第六十五中学2023—2024学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版无答案）

北京市第六十五中学 2023—2024 学年度第一学期期中达标测试题
高二数学试卷
考试时间 120 分钟 满分 100分
第一部分(选择题 共 36分)
一、选择题(3分×12=36分)
1．已知向量 a x,2, 1 ,b 2,4, 2 ， 如果 a / /b ，那么 x的值是（ ）.
A． 1 B．1 C． 5 D．5
2．已知直线5x 12y 3 0与直线5x 12y 10 0平行，则它们之间的距离是（ ）.
1
A．1 B．2 C． D．4
2
2
3. 圆O ： x2 y2 与圆O ： x 2 y21 1 2 9的位置关系是（ ）.
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
4. 已知点 A(x,5)关于点 (1, y)的对称点为 ( 2, 3)，则点P(x, y) 到原点的距离是
（ ）.
A. 4 B. 13 C. 15 D. 17
5．已知a 2, 1,3 ，b 1,4,2 ，c 3,5, x ，若a ，b ，c 三向量共面，则实数 x
（ ）.
A．-1 B．1 C．2 D．-2
6．如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，已知PA a ，PB b，
1
PC c，PE PD ，则BE （ ）.
2
1 1 1 1 3 1
A． a b c B． a b c
2 2 2 2 2 2
1 3 1 1 1 3
C． a b c D． a b c
2 2 2 2 2 2
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班级 姓名 学号
7．以点 A(1, 2) 为圆心，且与直线 x y 0相切的圆的方程为（ ）．
2 2 1 2 9
A． (x 1) (y 2) B． (x 1) (y 2)
2
2 2
(x 1)2 2
1 9
C． (y 2) D． (x 1)
2 (y 2)2
2 2
2
8. 离心率为 ，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是（ ）.
3
2 2 x2 y2x y
A． 1 B． 1
9 5 36 20
2 2 2 2 x2
2 2
x y x y y
2 x y
C． 1或 1 D． 1或 1
9 5 5 9 36 20 20 36
9．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A BC D 中，M，N 分别为 A B 和 BB 的中点，1 1 1 1 1 1 1
那么直线 AM 与 CN 夹角的余弦值为（ ）.
3 10
A. B.
2 10
3 2
C. D.
5 5
x 2 y 2
10.已知F1 , F2是椭圆 1的两个焦点，过点F2 的
16 9
直线交椭圆于 A, B两点，若 AB 5，则 AF1 BF1 等于( ).
A.16 B.10 C.9 D.11
11.圆 C的方程为 x2 2x y2 0，直线 l : kx y 2 2k 0与圆 C 交于 A、B 两点，
则当 ABC面积最大时，直线 l的斜率 k为( ).
A. 1 B. 6 C. 1 或 7 D. 2 或 6
12．已知点 P 是棱长为2的正方体 ABCD A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1上一点（包括边界），
则PA PC 的取值范围是（ ）.
1 1
A． , 2 B． 2, 4 C． , 4 D． 1, 4
2 2
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第二部分(非选择题 共 64分)
二、填空题（3分×6=18分）
13.直线 y 3x 1的倾斜角为 ．
14.已知向量a (2, 1,3),b ( 1,1, x)，若a与b 垂直，则 | a 3b | .
15. 圆C：x2 （y 1）2 1上的点 P 到直线 l: x 2y 3 0的距离的最小值是 .
16. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常
数 k(k 0,k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标
| MA |
系 xOy中，A( 4,0)，B(2,0)，点M 满足 2，则点M 的轨迹方程为 .
| MB |
17.已知圆 C 经过点(2, 1)，并与直线 + 1 = 0相切，且圆心在直线 = 2 上，
则圆 C 的方程是 ________________________________.
18．已知实数 x， y 满足方程 x2 y2 4x 1 0，给出下列四个结论：
① y x的最大值为 6 2 ② x2 y2 的最大值为7 4 3
y 3
③ 的最大值为 ④ x y 的最大值为2 3
x 2
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题(共 46分)
19. (本小题满分 8分)已知直线 l经过点 P(－2，1)，且与直线 x＋y＝0 垂直．
(1)求直线 l的方程；
(2)若直线 m与直线 l平行且点 P到直线 m的距离为 2，求直线 m的方程；
(3)若直线 n与直线 l相交于点 P，且在 x轴，y轴上截距相等，求直线 n的方程.
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20. (本小题满分 12 分)如图，已知正方体 ABCD – A1B1C1D1的棱长为 2，M 为 AA1 的
中点．
(1)求证：A1B // 平面 MCD1；
(2)求平面 MCD1与平面 C1CD1 夹角的余弦值；
(3)求点 B 到平面 MCD1 的距离.
21．(本小题满分 12 分)圆C 经过坐标原点和点 (4,0)，且圆心在 x轴上.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)已知直线 l：3x 4y 1 0与圆C 相交于 A, B两点，求弦长 AB 的值；
(3)过点P(4,4)引圆C 的切线，求切线的方程.
22.(本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 P – ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD，
PA PD，PA = PD，AB AD，AB = 1，AD = 2，AC = CD = √5．
(1)求证：PD 平面 PAB；
(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；
(3)在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM // 平面 PCD？
若存在，求 AM 的值；若不存在，说明理由．
AP
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