14.1.4 整式的乘除（2） 导学案
学习目标：
1.掌握同底数幂除法的法则，单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.
2.探究单项式与单项式、多项式与单项式相除的算理，发展有条理的表达与思考能力.
3.从探索整式除法的运算法则过程中，获取成功的体验，积累研究数学问题的经验.
重点：整式除法法则的应用.
难点：整式除法法则的探究.
一、情境引入
问题 ：木星的质量约是1.9×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨,你能算出木星的质量约为地球质量的多少倍吗
想一想：上面的式子该如何计算
推进新课
探究1：
（1）25×23=______ （2）x6·x4=_______ （3）2m×2n=________
那么：（1）28 ÷23=______ （2）x10÷x6=______ （3） 2m+n ÷2n=______
猜想：am ÷an= (m,n都是正整数,且m>n)
同底数幂的除法: 一般地，我们有
am ÷an=_____________ (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
法则：______________________________________.
法则的推广及逆用：
（1）推广：am ÷an÷ap=_________(a ≠0,m,n,p都是正整数，且m>n+p)
（2）逆用：am-n = _____________ (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
想一想：am÷am= (a≠0)
零指数幂的性质: am÷am=_____，
根据同底数幂的除法法则可得am÷am=______.
性质：______________________________.
符号表示： _____________(a ≠0).
例：等式（x+3）0=1成立的条件是（ ）
A. x为有理数 B. x≠0 C.x≠3 D.x≠-3
例 计算：
x8 ÷ x2； （2）(ab)5 ÷ (ab)2.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
探究2：
计算：4a2x3·3ab2=___________; 那么：12a3b2x3÷3ab2=_____________.
单项式除以单项式的法则:_______________________________________________
______________________________________________________________________.
例 计算：
（1）28x4y2 ÷7x3y； （2）-5a5b3c ÷15a4b.
探究3：
计算：（a+b）m=__________; 那么：（am+bm）÷ m=___________.
多项式除以单项式的法则: __________________________________________
_________________________________________________________________.
例 计算：(12a3-6a2+3a) ÷3a.
方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.
三、当堂练习
1.下列算式中，不正确的是( )
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4 B．9xmyn－1÷3xm－2yn－3＝3x2y2
C. 4a2b3÷2ab＝2ab2 D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
2.计算：
（1）x7÷x5； （2）m8÷m8； （3）(－a)10 ÷(－a)7； （4）(xy)5÷(xy)3.
3. 计算：
（1）10ab3÷(－5ab) ； （2）－8a2b3÷6ab2；
(3)－21x2y4 ÷(－3x2y3)； （4）(6×108)÷(3×105).
4. 计算：
（1）(6ab＋5a) ÷a； （2）(15x2y－10xy2) ÷5xy.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单14.1.4 整式的乘除（2） 教学设计
教学目标
1.掌握同底数幂除法的法则，单项式除以单项式和多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.
2.探究单项式与单项式、多项式与单项式相除的算理，发展有条理的表达与思考能力.
3.从探索整式除法的运算法则过程中，获取成功的体验，积累研究数学问题的经验.
教学重点
整式除法法则的应用.
教学难点
整式除法法则的探究.
教学过程
情境引入
1.问题 ：木星的质量约是1.9×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨,你能算出木星的质量约为地球质量的多少倍吗
木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
想一想：上面的式子该如何计算
推进新课
探究1：
（1）25×23=____28___ （2）x6·x4=___x10___ （3）2m×2n=___2m+n___
那么：（1）28 ÷23=___25___ （2）x10÷x6=__x4___ （3） 2m+n ÷2n=__2m___
猜想：am ÷an= (m,n都是正整数,且m>n)
同底数幂的除法: 一般地，我们有
am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
法则的推广及逆用：
（1）推广：am ÷an÷ap=am-n-p (a ≠0,m,n,p都是正整数，且m>n+p)
（2）逆用：am-n = am ÷an (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
想一想：am÷am= (a≠0)
零指数幂的性质: am÷am=1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0.
性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1.
符号表示： a0 =1(a ≠0)
例：等式（x+3）0=1成立的条件是（ D ）
A. x为有理数 B. x≠0 C.x≠3 D.x≠-3
例 计算：
（1）x8 ÷ x2； （2）(ab)5 ÷ (ab)2. 思考:第（2）小题中(ab)5的底数是___ab___.
自己动手算一算.
解:（1）x8 ÷ x2=x8-2=x6 . （2）(ab)5 ÷ (ab)2=(ab)5-2=(ab)3.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
探究2：
计算：4a2x3·3ab2=__12a3b2x3_; 那么：12a3b2x3÷3ab2=__4a2x3__.
分析：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3-1，
b的指数0=2-2，而b0=1, x的指数3=3-0.
单项式除以单项式的法则:单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
例 计算： （1）28x4y2 ÷7x3y； （2）-5a5b3c ÷15a4b.
解:(1)原式=（28 ÷7）x4-3y2-1=4xy； (2)原式=(-5÷15)a5-4b3-1c=-1/3ab2c.
探究3：
计算：（a+b）m=__am+bm _; 那么：（am+bm）÷ m=____a+b___.
(am+bm) ÷ m=？ ∵(am+bm)=(a+b)m ∴(am+bm) ÷ m =(a+b)m÷ m =a+b.
多项式除以单项式的法则: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
例 计算：(12a3-6a2+3a) ÷3a.
解： (12a3-6a2+3a) ÷3a =12a3÷3a+(-6a2) ÷3a+3a÷3a =4a2+(-2a)+1 =4a2-2a+1.
方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.
当堂练习
1. 下列算式中，不正确的是( D )
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4 B．9xmyn－1÷3xm－2yn－3＝3x2y2
C. 4a2b3÷2ab＝2ab2 D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
2.计算：
（1）x7÷x5； =x2 （2）m8÷m8； =1
（3）(－a)10 ÷(－a)7； =-a3 （4）(xy)5÷(xy)3. =-x2y2
3. 计算：
（1）10ab3÷(－5ab) ； =-2b2 （2）－8a2b3÷6ab2； =-4/3ab
（3）－21x2y4 ÷(－3x2y3)； =7y （4）(6×108)÷(3×105). =2×102
4. 计算：
（1）(6ab＋5a) ÷a； （2）(15x2y－10xy2) ÷5xy.
解：（1）(6ab＋5a) ÷a=6ab÷a＋5a÷a=6b+5.
（2）(15x2y－10xy2) ÷5xy=15x2y÷5xy-10xy2 ÷5xy=3x-2y.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单.
六、板书设计
14.1.4 整式的除法（2） 右边板书
1.同底数幂的除法 例题板书过程
2.单项式除以单项式
3.多项式除以单项式
第 5 页 共 5 页课前诊测
计算:
(1) (-m2)3÷(m2)2=__________; (2) [a3b5+(3a4)2]÷a2=_________;
(3) (28a3-14a2+7a)÷7a=_________. (4) ×(3-π)0+=________;
(5) (x3y2z-3x2y3-2x2y)÷(-2x2y)=________.
精准作业
必做题
1.计算：(1) 28x4y2÷ 7x3y ； (2) -5a5b3c÷ 15a4b；
(3)（2x2y）3·（-7xy2)÷14x4y3 ； (4) 5(2a+b)4÷(2a+b)2.
2.计算：
（1）6a3÷2a2； （2）24a2b3÷3ab；
（3）-21a2b3c÷3ab; （4）（14m3-7m2+14m）÷7m.
3.先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝－3.
探究题
阅读材料:
由于(x+3)(x-2)=x2+x-6,故多项式x2+x-6能被x-2整除,同时也说明多项式x2+
x-6有因式x-2,且当x=2时,多项式x2+x-6的值为0.
(1) 根据上面的材料猜想:多项式的值为0,多项式有因式x-2,多项式能被x-2整除,
x-2=0这之间存在着一种什么样的联系
(2) 探索规律:一般地,如果一个关于x的多项式M,当x=k时,M的值为0,那么M与式子
x-k之间有何种关系
(3) 应用:已知x-2能整除x2+kx-14,求k的值.
参考答案
课前诊断
解：(1) -m2 (2) ab5+9a6 (3) 4a2-2a+1
(4) (5)
精准作业
解：(1) 28x4y2÷7x3y=(28÷7)x4-3y2-1=4xy.
(2) -5a5b3c÷15a4b=(-5÷15)a5-4b3-1c=-1/3ab2c.
(3)（2x2y）3·（-7xy2)÷14x4y3= 8x6y3·（-7xy2)÷14x4y3= -56x7y5÷14x4y3= -4x3y2.
(4) 5(2a+b)4÷(2a+b)2 = 5(2a+b)2 .
解：（1） 6a3÷2a2＝（6÷2）（a3÷a2）=3a.
（2） 24a2b3÷3ab=(24÷3)a2-1b3-1=8ab2.
（3）-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)a2-1b3-1c= -7ab2c;
（4）（14m3-7m2+14m）÷7m=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m= 2m2-m+2.
3.解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2.
当x＝1，y＝－3时，原式＝－12＋3×(－3)2＝－1＋27＝26.
探究题
解：(1) 若多项式有因式x-2,则说明此多项式能被x-2整除;若x-2=0,则多项式的值为0.
(2) M能被x-k整除.
(3) ∵ x-2能整除x2+kx-14,∴ 当x-2=0时,x2+kx-14=0,即当x=2时,x2+kx-14=4+2k-14=0,解得k=5.
(共18张PPT)
14.1.4 整式的乘除（2）
情 境 引 入
问题 ：
木星的质量约是1.9×1024吨,
地球的质量约是5.98×1021吨,
你能算出木星的质量约为地球质量的多少倍吗
木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
想一想：上面的式子该如何计算
推 进 新 课
（1）25×23=___ （2）x6·x4=___
（3）2m×2n=____
探究1
28
x10
2m+n
那么：
（1）28 ÷23=___
25
（2）x10÷x6=___
x4
（3） 2m+n ÷2n=___
2m
=28-3
=x10-6
=2(m+n)-n
猜想：am ÷an= (m,n都是正整数,且m>n)
推 进 新 课
一般地，我们有
am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
法则的推广及逆用：
（1）推广：am ÷an÷ap=am-n-p (a ≠0,m,n,p都是正整数，且m>n+p)
同底数幂的除法
（2）逆用：am-n = am ÷an (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
推 进 新 课
想一想：am÷am= (a≠0)
am÷am=1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0.
性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1.
零指数幂的性质
符号表示： a0 =1(a ≠0)
例：等式（x+3）0=1成立的条件是（ ）
A. x为有理数 B. x≠0 C.x≠3 D.x≠-3
D
推 进 新 课
例 计算：
（1）x8 ÷ x2； （2）(ab)5 ÷ (ab)2.
思考 第（2）小题中(ab)5的底数是 .
ab
自己动手算一算.
解:（1）x8 ÷ x2=x8-2=x6 .
（2）(ab)5 ÷ (ab)2=(ab)5-2=(ab)3.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
推 进 新 课
探究2
计算：4a2x3·3ab2= ___ ;
12a3b2x3
那么：12a3b2x3 ÷ 3ab2= __ .
4a2x3
分析：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；
a的指数2=3-1，
b的指数0=2-2，而b0=1,
x的指数3=3-0.
推 进 新 课
单项式除以单项式的法则
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
被除式的系数
除式的系数
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
推 进 新 课
例 计算：
（1）28x4y2 ÷7x3y； （2）-5a5b3c ÷15a4b.
=4xy；
(2)原式=(-5÷15)a5-4b3-1c
解:(1)原式=（28 ÷7）x4-3y2-1
= ab2c.
探究3
推 进 新 课
计算：（a+b）m= ___ ;
那么：（am+bm）÷ m= __ .
am+bm
a+b
(am+bm) ÷ m=？
∵(am+bm)=(a+b)m
∴(am+bm) ÷ m
=(a+b)m÷ m
=a+b.
推 进 新 课
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
例 计算：(12a3-6a2+3a) ÷3a.
解： (12a3-6a2+3a) ÷3a
=12a3÷3a+(-6a2) ÷3a+3a÷3a
=4a2+(-2a)+1
=4a2-2a+1.
方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.
1.下列算式中，不正确的是( )
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4
B．9xmyn－1÷3xm－2yn－3＝3x2y2
C. 4a2b3÷2ab＝2ab2
D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
当 堂 练 习
D
2. 计算：
（1）x7÷x5；
（2）m8÷m8；
（3）(－a)10 ÷(－a)7；
（4）(xy)5÷(xy)3.
当 堂 练 习
当 堂 练 习
3. 计算：
（1）10ab3÷(－5ab) ；
（2）－8a2b3÷6ab2；
（3）－21x2y4 ÷(－3x2y3)；
（4）(6×108)÷(3×105).
4. 计算：
（1）(6ab＋5a) ÷a；
（2）(15x2y－10xy2) ÷5xy.
当 堂 练 习
课 堂 小 结
整
式
的
除
法
同底数幂的除法
单项式除以单项式
底数不变，指数相减
1.系数相除；
2.同底数的幂相除；
3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式
多项式除以单项式
转化为单项式除以单项式的问题
作 业 布 置
见精准作业单.
