5.4 《统计与概率的应用》 同步练习人教B版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

5.4 统计与概率的应用
【基础练习】
一、单选题
1．某种彩票中奖的概率为，这是指
A．买10000张彩票一定能中奖 B．买10000张彩票只能中奖1
C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖 D．买一张彩票中奖的可能性是
2．现有张牌面分别是，，，，，的扑克牌，从中取出张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )
A．计算机行业好于化工行业. B．建筑行业好于物流行业.
C．机械行业最紧张. D．营销行业比贸易行业紧张.
4．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．孟德尔豌豆试验中，用纯黄色圆粒和纯绿色皱粒做杂交试验，则子二代结果的性状为黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒、绿色皱粒的比约为(　　)
A．1∶1∶1∶1 B．1∶3∶3∶1
C．9∶3∶3∶1 D．1∶3∶3∶9
二、填空题
6．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则______.
7．春节期间支付宝开展了集福活动,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为.
8．端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为，，，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是____.
三、解答题
9．乡大学生携手回乡创业，他们引进某种果树在家乡进行种植试验．他们分别在五种不同的试验田中种植了这种果树100株并记录了五种不同的试验田中果树的死亡数，得到如下数据：
试验田 试验田1 试验田2 试验田3 试验田4 试验田5
死亡数 23 32 24 29 17
（Ⅰ）求这五种不同的试验田中果树的平均死亡数；
（Ⅱ）从五种不同的试验田中随机取两种试验田的果树死亡数，记为x，y，用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求的概率．
10．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和费率浮动比率表
浮动因素 浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上三个以及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
数量 10 13 7 20 14 6
（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：
①若该销售商店内有7辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；
②若该销售商一次性购进70辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示)．
【提升练习】
1.质地均匀的骰子六个面分别刻有到的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．点数都是偶数 B．点数的和是奇数
C．点数的和小于 D．点数的和小于
2. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
3. 设是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
4. 小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为，每次操作考试通过的概率为，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是
A． B． C． D．
5. 《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出__________钱（所得结果四舍五入，保留整数）．
6. 某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
7. 某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准备了三类不同的题目，选手每答对一个类、类或类的题目，将分别得到分，分，分，但如果答错，则相应要扣去分，分，分，根据平时训练经验，选手甲答对类、类或类的题目的概率分别为、、，若要每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为_________.（填，或）
8. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的取值范围是________
9. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．
（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min的概率．
（注：将频率视为概率）
10. 为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
5.4 统计与概率的应用
【基础练习】
一、单选题
1．某种彩票中奖的概率为，这是指
A．买10000张彩票一定能中奖 B．买10000张彩票只能中奖1
C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖 D．买一张彩票中奖的可能性是
【答案】D
【解析】
彩票中奖的概率为，只是指中奖的可能性为，
不是买10000张彩票一定能中奖，
概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.
2．现有张牌面分别是，，，，，的扑克牌，从中取出张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，试验的情况总数有，又，即两次所记数字之和能整除的有：，，，两次交换顺序共8种，还有，即所求事件个数共有，所以所求概率为.故选D.
3．某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )
A．计算机行业好于化工行业. B．建筑行业好于物流行业.
C．机械行业最紧张. D．营销行业比贸易行业紧张.
【答案】B
【解析】
∵用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，
∴建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，
建筑行业人才是供不应求，
∵物流行业应聘人数是74570，
而招聘人数不在前五位，要小于70436，
∴物流行业是供大于求，
∴就业形势是建筑行业好于物流行业，
故选B.
4．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的
∴三人中恰有两人合格的概率
故选B.
5．孟德尔豌豆试验中，用纯黄色圆粒和纯绿色皱粒做杂交试验，则子二代结果的性状为黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒、绿色皱粒的比约为(　　)
A．1∶1∶1∶1 B．1∶3∶3∶1
C．9∶3∶3∶1 D．1∶3∶3∶9
【答案】C
【解析】纯黄色圆粒为XXYY，纯绿色皱粒为xxyy，则豌豆杂交试验的子二代结果的性状为
XY Xy xY xy
XY XXYY XXYy XxYY XxYy
Xy XXYy XXyy XxYy Xxyy
xY XxYY XxYy xxYY xxYy
xy XxYy Xxyy xxYy xxyy
易知C正确．
二、填空题
6．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则______.
【答案】
【解析】
三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321
方案一坐车可能：132、213、231，所以，；
方案二坐车可能：312、321，所以，；
所以，
答案：
7．春节期间支付宝开展了集福活动,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为.
【答案】
【解析】
由题意可得：小张扫第一次得到爱国福或敬业福，概率为，
扫第二次得到另外一张福卡的概率，
则小张再扫两次可以集齐五福的概率为.
8．端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为，，，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是____.
【答案】
【解析】
设当天从天津到大连的三列火车正点到达的事件分别为A，B，C，
则，
事件A，B，C相互独立，
∴这三列火车恰好有两列正点到达的概率：
，
故答案为：0.398.
三、解答题
9．乡大学生携手回乡创业，他们引进某种果树在家乡进行种植试验．他们分别在五种不同的试验田中种植了这种果树100株并记录了五种不同的试验田中果树的死亡数，得到如下数据：
试验田 试验田1 试验田2 试验田3 试验田4 试验田5
死亡数 23 32 24 29 17
（Ⅰ）求这五种不同的试验田中果树的平均死亡数；
（Ⅱ）从五种不同的试验田中随机取两种试验田的果树死亡数，记为x，y，用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求的概率．
【答案】（Ⅰ）25； （Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意，这5种试验田果树的的平均死亡数为：。
（Ⅱ）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数n=10，
设满足的事件为A，则事件A包含的基本事件为：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个， ∴，
设满足的事件为B，则事件B包含的基本事件为：（23，24），（32，29），共有个，
∴，
∴的概率。
10．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和费率浮动比率表
浮动因素 浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上三个以及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
数量 10 13 7 20 14 6
（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：
①若该销售商店内有7辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；
②若该销售商一次性购进70辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示)．
【答案】（1）；（2）①；②元
【解析】
（1）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为
（2）①由统计数据可知，该销售商店内的7辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为，，5辆非事故车，设为，，，.从7辆车中随机挑选2辆车的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有，，，，，，，，共10种，所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆事故车的概率为.
②由统计数据可知，该销售商一次购进70辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车20辆，非事故车50辆，所以一辆车盈利的平均值为 (元)．
【提升练习】
1.质地均匀的骰子六个面分别刻有到的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．点数都是偶数 B．点数的和是奇数
C．点数的和小于 D．点数的和小于
【答案】C
【解析】
画出树状图如下：
由图可知共有36种等可能的结果数，其中点数都是偶数的结果数为9，点数的和为奇数的结果数为18，点数和小于13的结果数为36，点数和小于2的结果数为0，所以发生可能性最大的是点数和小于13,故选C.
2. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设甲、乙获一等奖的概率分别是，不获一等奖的概率是，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：，应选答案D。
3. 设是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可知m的可能取值有1,2,3,4,5,6,又由，知m可取4,5,6,所以。选C.
4. 小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为，每次操作考试通过的概率为，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设小明本次电工考试中共参加3次考试为事件，小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过为事件，小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过，第二次操作考试通过为事件，则，而，，所以，故应填．
5. 《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出__________钱（所得结果四舍五入，保留整数）．
【答案】17
【解析】
依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱，故填.
6. 某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
【答案】
【解析】
由题意知，第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为.
7. 某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准备了三类不同的题目，选手每答对一个类、类或类的题目，将分别得到分，分，分，但如果答错，则相应要扣去分，分，分，根据平时训练经验，选手甲答对类、类或类的题目的概率分别为、、，若要每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为_________.（填，或）
【答案】
【解析】
选手甲选择A类题目,得分的均值为：0.6×300+0.4×( 300)=60，
选手甲选择B类题目,得分的均值为：0.75×200+0.25×( 200)=100，
选手甲选择C类题目,得分的均值为：0.85×100+0.15×( 100)=70，
∴若要每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为B.
故答案为：B.
8. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
a3的结果有四种，每一个结果出现的概率都是，
1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12＝4a1﹣36＝a3，
2．a1→2a1﹣12→12＝a1+6＝a3，
3．a1→12→+1218＝a3，
4．a1→12→2（12）﹣12＝a1+12＝a3，
∵a1+18＞a1，a1+36＞a1，
∴要使甲获胜的概率为，
即a3＞a1的概率为，
∴4a1﹣36＞a1，18≤a1，
或4a1﹣36≤a1，18＞a1，
解得a1≤12或a1≥24．
故选：D．
9. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．
（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min的概率．
（注：将频率视为概率）
【答案】（1）1．9；（2）
【解析】
（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1．9 （min）．
（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1 min”，“该顾客一次购物的结算时间为1．5 min”，“该顾客一次购物的结算时间为2 min”．
将频率视为概率得P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝．
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P（A）＝P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝．
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min的概率为．
10. 为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．