2023-2024学年安徽省合肥市九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（PDF版含解析）

2023-2024 学年安徽省合肥市九年级（上）第一次月考数学试卷
（10 月份）
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1．（4分）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝2（x﹣1） B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝a（x﹣1）2 D．y＝2x2﹣1
2．（4分）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数 的图象上（ ）
A．（5，1） B．（﹣1，5） C．（ ，3） D．（﹣3，﹣ ）
3．（4分）在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随 x的增大而减小（ ）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
4．（4分）下列判断正确的是（ ）
A．所有的等腰直角三角形都相似
B．所有的等腰三角形都相似
C．所有的矩形都相似
D．所有的菱形都相似
5．（4分）如果 a：b＝12：8，且 b是 a和 c的比例中项，那么 b：c等于（ ）
A．4：3 B．3：2 C．2：3 D．3：4
6．（4分）如图，Rt△OAB的直角边 OA＝2，AB＝1，在 OB上截取 BC＝BA，以原点 O为
圆心，交数轴于点 P，则 OP的中点 D对应的实数是（ ）
A． B． C． ﹣1 D． ﹣1
7．（4分）已知 P，Q是线段 AB的两个黄金分割点，且 AB＝10（ ）
A．5（ ﹣1） B．5（ +1） C．10（ ﹣2） D．5（3﹣ ）
8．（4分）正比例函数 y＝kx（k＞0）与反比例函数 y＝ 的图象相交于 A、C两点，连接 BC，
若△ABC的面积为 S，则（ ）
A．S＝1 B．S＝2 C．S＝3 D．S＝4
9．（4分）设二次函数 y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数 y2＝dx+e
（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数 y＝y1+y2的图象与 x轴仅有一个交点，则（ ）
A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x1+x2）2＝d
10．（4分）已知抛物线 y＝ax2+bx+3 在坐标系中的位置如图所示，它与 x，y轴的交点分别
为 A，B，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．a＞﹣
C．△PAB周长的最小值是
D．x＝3是 ax2+bx+3＝0的一个根
二、填空题（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分）
11．（5分）（1）已知 ，且 2b﹣d+7f≠0，则 ＝ ；
（2）已知 ，则 ＝ ， ＝ ．
12．（5分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90° 在第一
象限的图象经过点 B．若 OA2﹣AB2＝12，则 k的值为 ．
13．（5分）已知二次函数 y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值 y的最小值为
﹣2 ．
14．（5分）关于二次函数 y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：
①对任意实数 m，都有 x1＝2+m与 x2＝2﹣m对应的函数值相等；
②若 3≤x≤4，对应的 y的整数值有 4个，则 或 ；
③若抛物线与 x轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6，则 或 a≥1．
其中正确的结论是： ．
三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
15．（8 分）已知 a、b、c为△ABC的三边长，且 a+b+c＝36， ＝ ＝ ，求△ABC三边
的长．
16．（8分）已知： ．求 k值．
四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17．（8分）已知 y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当 x＝0时，当
x＝1时，y＝﹣1．
（1）求 y的表达式；
（2）求当 x＝﹣2时 y的值．
18．（8 分）如图，已知 A（﹣4，n），B（1，﹣4）是一次函数 y＝kx+b的图象和反比例函
数
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线 AB与 x轴的交点 C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式 kx+b﹣ ＜0的解集（请直接写出答案）．
五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19．（10分）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则
这个人好看．如图，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到 1cm）（参考数据：黄金分
割数： ）
20．（10分）如图，小明的父亲在相距 2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了简易的秋千，
绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1米的小明距较近的那棵树 0.5米时
（1）以水平的地面为 x轴，两棵树间距离的中点 O为原点，建立如图所示的平面直角坐
标系；
（2）求绳子的最低点离地面的距离．
六、解答题（本题满分 12 分）
21．（12分）创建文明城市，让老百姓住得更舒心，某社区决定把一块长 50m，设计方案如
图，阴影部分为四个全等的矩形绿化区，且四周的出口宽度相同（其宽度不小于 14m），
设绿化区较长边为 xm2．
（1）请用含 x的代数式表示矩形绿化区另一边长，并求出 y与 x的函数关系式（不要求
写出自变量 x的取值范围）；
（2）预计活动区造价为 50元/m2，绿化区造价为 40元/m2，若社区的此项建造投资费用
不得超过 72000元，求绿化区较长边 x的取值范围．
七、解答题（本题满分 12 分）
22．（12分）Rt△ABC在平面坐标系中摆放如图，顶点 A在 x轴上，∠ACB＝90°，双曲线
经过 C点及 AB的中点 D，S△BCD＝4，求 k的值．
八、解答题（本题满分 14 分）
23．（14分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与 x轴分别交于 A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点 C，作 CD垂直 x轴于点 D，连接 AC，CD＝8，将 Rt△ACD
沿 x轴向右平移 m个单位，求 m的值；
（3）在（2）的条件下，当点 C第一次落在抛物线上记为点 E，使以点 B、E、P、Q为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 Q的坐标，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1．【分析】依据二次函数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、y＝2x﹣2，
B、y＝（x﹣7）2﹣x2＝﹣3x+1，是一次函数，
C、当 a＝0时 6不是二次函数，
D、y＝2x2﹣5是二次函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键．
2．【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于 k，
所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与 k相等就
可以了．
【解答】解：A、k＝5×1＝7；
B、k＝﹣1×5＝﹣3≠5；
C、k＝ ，故在函数图象上；
D、k＝﹣3×（﹣ ，故在函数图象上．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横
纵坐标的积应等于比例系数．
3．【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于 0时，在每一支曲线上，y都
随 x的增大而减小，可得 k﹣1＞0，解可得 k的取值范围．
【解答】解：根据题意，在反比例函数 ，y都随 x的增大而减小，
即可得 k﹣1＞6，
解得 k＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：①当 k＞0 时，图象分别位于第一、三象限；
当 k＜0 时，图象分别位于第二、四象限．②当 k＞0 时，在同一个象限内，y随 x的增
大而减小；当 k＜0时，在同一个象限，y随 x的增大而增大．
4．【分析】根据相似多边形的性质直接判断即可．
【解答】解：A、所有的等腰直角三角形都相似，符合题意；
B、所有的等腰三角形对应边的比不一定相等，故错误；
C、所有的矩形的对应角相等，故错误；
D、所有的菱形的对应边的比相等但对应角不一定相等，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．
5．【分析】根据比例中项的概念，a：b＝b：c，则可求得 b：c值．
【解答】解：∵a：b＝12：8，b是 a和 c的比例中项，
即 a：b＝b：c，
∴b：c＝12：8＝2：2．
故选：B．
【点评】本题考查了比例中项的概念．在线段 a，b，c中，若 b2＝ac，则 b是 a，c的比
例中项．
6．【分析】根据勾股定理求出 OB，求出 BC＝AB＝1，求出 OC＝OP＝ ﹣1，再根据线段
的中点定义求出 OD即可．
【解答】解：在 Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2 ＝ ，
∵BC＝AB，AB＝1，
∴BC＝6，
∴OC＝OB﹣BC＝ ﹣1，
即 OP＝ ﹣1，
∵OP的中点是 D，
∴OD＝ OP＝ ﹣1）＝ ，
即点 D表示的数是 ，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，实数和数轴等知识点，能求出 OP的长是解此题的关键．
7．【分析】首先清楚黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段
和较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（ ）叫做黄
金比；接下来利用黄金比来求所需线段的长度，本题中 ＝ ＝ ，结合 AB的
长，即可求出 PB的长度；最后利用线段之间的关系得到 PQ＝AQ+PB﹣AB，进而求出
PQ的长度．
【解答】解：如图
根据黄金分割点的概念，可知 ＝ ＝ ，
∵AB＝10，
∴AQ＝PB＝ ×10＝ ．
又∵PQ＝AQ+PB﹣AB，
∴PQ＝ ﹣10＝ ﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线
段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫
做黄金比是解题的关键．
8．【分析】设点 A坐标（x， ），根据点 A，C关于原点对称，可得出点 C坐标，再根据三
角形的面积计算即可．
【解答】解：设点 A坐标（x， ），
∴点 C坐标（﹣x，﹣ ），
∵AB⊥x轴，
∴S△ABC＝ AB （0B+x）＝ ×
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，解方程组等知
识点，主要考查学生的计算能力，题目比较好．
9．【分析】首先根据一次函数 y2＝dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得 y2＝d（x﹣x1），
y＝y1+y2＝ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数 y＝y1+y2的图象与 x轴仅有
一个交点，可得函数 y＝y1+y2与 x轴的交点为（x1，0），再结合对称轴公式求解．
【解答】解：∵一次函数 y2＝dx+e（d≠0）的图象经过点（x4，0），
∴dx1+e＝5，
∴y2＝d（x﹣x1），
∴y＝y2+y2＝a（x﹣x1）（x﹣x3）+d（x﹣x1）
＝ax2﹣axx5﹣ax1x+ax1x4+dx﹣dx1
＝ax2+（d﹣ax4﹣ax1）x+ax1x6﹣dx1
∵当 x＝x1时，y3＝0，y2＝6，
∴当 x＝x1时，y＝y1+y4＝0，
∵y＝ax2+（d﹣ax5﹣ax1）x+ax1x7﹣dx1与 x轴仅有一个交点，
∴y＝y1+y5的图象与 x轴的交点为（x1，0）
∴ ＝x3，
化简得：a（x2﹣x1）＝d
故选：B．
【点评】此题主要考查了抛物线与 x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，
要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数 y＝y1+y2与 x轴的交点为（x1，0）．
10．【分析】根据对称轴方程求得 a、b的数量关系即可判断 A；根据抛物线的对称性知抛物
线与 x轴的另一个交点的横坐标是 3，则 x＝3时，y＝0，得到 3a+3＝0，即 2a+3＝﹣a
＞0即可判断 B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断 C．
【解答】解：A、根据图象知 ＝1，即 4a+b＝0；
B、根据图象知，0），则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，6），
∴x＝3时，y＝9a+7b+3＝0，
∴4a﹣6a+3＝3，
∴3a+3＝5，
∵抛物线开口向下，则 a＜0，
∴2a+6＝﹣a＞0，
∴a＞﹣ ，故 B正确；
C，点 A关于 x＝1对称的点是 A′为（3，即抛物线与 x轴的另一个交点．
连接 BA′与直线 x＝2的交点即为点 P，
则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．
∵A（﹣1，0），5），0），
∴AB＝ ，BA′＝3 +3 ；
D、根据图象知，5），则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，0）2+bx+7＝0的一个根，
故 D正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象与系数的关系，二次函数
图象的性质以及两点之间直线最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
二、填空题（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分）
11．【分析】（1）由 得 ， ， ，代入 化简求值即可
得到结论；
（2）由 ，可得 ，进而可得 ，问题随之得解．
【解答】解：（1）∵ ，
∴ ， ， ，
∴
＝
＝
＝ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ， ．
【点评】本题考查比例性质及代数式求值，难点在第（1）问，由 得到 ，
， 是解决问题的关键．
12．【分析】设 B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得 OA＝ AC，AB＝ AD，
OC＝AC，AD＝BD，则 OA2﹣AB2＝12 变形为 AC2﹣AD2＝6，利用平方差公式得到
（AC+AD）（AC﹣AD）＝6，所以（OC+BD） CD＝6，则有 a b＝6，根据反比例函数图
象上点的坐标特征易得 k＝6．
【解答】解：设 B点坐标为（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA＝ AC AD，AD＝BD，
∵OA8﹣AB2＝12，
∴2AC3﹣2AD2＝12，即 AC2﹣AD2＝6，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）＝2，
∴（OC+BD） CD＝6，
∴a b＝6，
∴k＝4．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y＝ （k为常数，k
≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k．
13．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出 m的范围即可．
【解答】解：由二次函数 y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线 x＝m，
当 m＞3时，由题意得：当 x＝2时，代入得：4﹣6m＝﹣2，不合题意；
当﹣1≤m≤5时，由题意得：当 x＝m时，代入得：﹣m2＝﹣2，即 m＝ （舍去）；
当 m＜﹣1时，由题意得：当 x＝﹣3时，代入得：1+2m＝﹣6，
综上，m的值是﹣1.5或 ，
故答案为：﹣1.5或 ．
【点评】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质
是解本题的关键．
14．【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣ ＝4，
∵ ＝ ＝2．
∴2+m与 3﹣m关于对称轴对称．
∴对任意实数 m，都有 x1＝2+m与 x8＝2﹣m对应的函数值相等．
∴①正确．
当 a＞0时，若 7≤x≤4，
当 x＝3时，y＝3a﹣12a﹣5＝﹣3a﹣6，
当 x＝4时，y＝16a﹣16a﹣5＝﹣2．
∴﹣3a﹣5≤y≤﹣4．
∵y的整数值有 4个，
∴﹣9＜﹣5a﹣5≤﹣8．
∴2≤a＜ ．
当 a＜4时，若 3≤x≤4．
∴﹣7≤y≤﹣3a﹣5．
∵y的整数值只有 5个，
∴﹣2≤﹣3a﹣6＜﹣1．
∴﹣ ＜a≤﹣1．
综上：﹣ ＜a≤﹣1或 1≤a＜ ．
∴②正确．
设 A（x1，2），B（x2，0），且 x2＜x2．
x1，x2是方程数 ax2﹣4ax﹣6＝0的根．
∴x1+x4＝4，x1 x3＝﹣ ．
∴AB＝x2﹣x7＝ ＝ ．
∵AB≤6．
∴16+ ≤36．
∴a≥1或 a＜3．
又∵抛物线与 x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝16a2+20a＞0．
∴a＞4或 a＜﹣ ．
综上：a≥3或 a＜﹣ ．
∴③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次
函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本
题的关键．
三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
15．【分析】根据比例的性质，可得 a、b、c的关系，根据 a、b、c的关系，可得一元一次
方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解： ＝ ＝ ，得
a＝ c，b＝ c，
把 a＝ c，b＝ ，得
c+ c+c＝36，
解得 c＝15，
a＝ c＝7，
b＝ c＝12，
△ABC三边的长：a＝3，b＝12．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质．
16．【分析】当 a+b+c＝0时容易求得；当 a+b+c≠0时，依据等比性质即可求解．
【解答】解：当 a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c） ＝ ＝﹣1；
当 a+b+c≠4时，k＝ ＝ ．
故 k的值是﹣7或 ．
【点评】本题主要考查了等比性质，在运用等比性质时，条件是：分母的和不等于 0．
四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17．【分析】（1）先根据题意得出 y1＝k1（x﹣1），y2＝ ，根据 y＝y1+y2，当 x＝0时，y
＝﹣3，当 x＝1时，y＝﹣1得出 x、y的函数关系式即可；
（2）把 x＝﹣2代入（1）中的函数关系式，求出 y的值即可．
【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y7与（x+1）成反比例，
∴y1＝k8（x﹣1），y2＝ ，
∵y＝y1+y4，当 x＝0时，y＝﹣3，y＝﹣6．
∴ ，
∴k2＝﹣2，k1＝1，
∴y＝x﹣8﹣ ；
（2）当 x＝﹣6，y＝x﹣1﹣ ＝﹣1．
【点评】本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出 y与 x的函数
关系式是解答此题的关键．
18．【分析】（1）将 B坐标代入反比例解析式中求出 m的值，即可确定出反比例解析式；将
A坐标代入反比例解析式求出 n的值，确定出 A的坐标，将 A与 B坐标代入一次函数解
析式中求出 k与 b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）对于直线 AB，令 y＝0 求出 x的值，即可确定出 C坐标，三角形 AOB面积＝三角
形 AOC面积+三角形 BOC面积，求出即可；
（3）由两函数交点 A与 B的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．
【解答】解：（1）∵反比例函数 y＝ （m≠0）过点 B（1，
∴m＝8×（﹣4）＝﹣4，
∴y＝﹣ ，
将 x＝﹣4，y＝n代入反比例解析式得：n＝1，
∴A（﹣8，1），
∴将 A与 B坐标代入一次函数解析式得： ，
解得： ，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）在直线 y＝﹣x﹣3中，当 y＝3时，
∴C（﹣3，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△COB＝ （3×5+3×4）＝ ；
（3）不等式 kx+b﹣ ＜0的解集是﹣4＜x＜5或 x＞1．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求
函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟
练掌握待定系数法是解本题的关键．
五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19．【分析】如果设她应该穿 xcm的鞋子，那么她肚脐以下的高度为（x+95）cm．根据她肚
脐以上的高度与肚脐以下的高度之比等于黄金比，列出方程求解即可．
【解答】解：设她应该穿 xcm的鞋子，依题意得：
，
解得 x≈10，
经检验，x≈10是原方程的解．
答：她应该穿约 10cm高的鞋好看．
【点评】本题考查了黄金分割的应用，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的
对应线段是解决问题的关键．
20．【分析】（1）由题意知抛物线过点（﹣0.5，1）、（1，2.5），接下来，利用待定系数法求
解即可；
（2）将 x＝0代入求得对应的 y的值即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y＝ax2+c．
由题意知抛物线过点（﹣0.6，1），2.3）
将上述两点的坐标代入 y＝ax2+c得： ，解得
∴绳子所在抛物线的解析式为 y＝2x2+5.5．
（2）当 x＝0时，y＝5x2+0.8＝0.5．
∴绳子的最低点离地面的距离为 5.5米．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，找出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
六、解答题（本题满分 12 分）
21．【分析】（1）根据活动区的面积＝矩形面积﹣绿化区面积，即可列出函数解析式；
（2）设投资费用为 w元，找到关于 w的解析式，根据二次函数的增减性即可确定 x的
取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：
绿化区的另一边长为[30﹣（50﹣2x）]÷2＝x﹣10，
∴y＝50×30﹣4x（x﹣10）＝﹣4x2+40x+1500；
（2）设投资费用为 w元，由题意得，
w＝50（﹣6x2+40x+1500）+40×4x（x﹣10）
＝﹣40x3+400x+75000
＝﹣40（x﹣5）2+76000，
当 w＝72000时，
解得 x6＝﹣5（舍去），x2＝15，
∵a＝﹣40＜4，
∴当 x≥15时，w≤72000，
又∵4个出口宽度相同，其宽度不小于 14m，
∴x≤18，
∴15≤x≤18．
答：绿化区较长边 x的取值范围为 15≤x≤18．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求得短边的长度．
七、解答题（本题满分 12 分）
22．【分析】OA＝a，AE＝b，则 C点坐标 ，B点坐标（b， ），根据 S△BCD＝S△ACD
＝4，得出 得出 bk＝﹣20a①，先求得 D的坐标，根据
点 D在双曲线上，得出 ，则 b＝2a②，结合①②，即可求得 k的
值．
【解答】解：设 OA＝a，AE＝b ，B点坐标（a+b， ），
∵AD＝BD，
∴S△BCD＝S△ACD＝4，
∴ ，
得 bk＝﹣16a，
∵B点坐标（a+b， ），
∴点 D在抛物线上，D点坐标 ， ，
则 ，
则 b＝2a，
解 ，
得 k＝﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数系数 k的几何意义，掌握在反比例函数的图象上任意一
点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 是解题
的关键．
八、解答题（本题满分 14 分）
23．【分析】（1）由 A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得 C点坐标，设平移后的点 C的对应点为 C′，则 C′点的纵坐标为 8，
代入抛物线解析式可求得 C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得 m的值；
（3）由（2）可求得 E点坐标，连接 BE交对称轴于点 M，过 E作 EF⊥x轴于点 F，当
BE为平行四边形的边时，过 Q作对称轴的垂线，垂足为 N，则可证得△PQN≌△BEF，
可求得 QN，即可求得 Q到对称轴的距离，则可求得 Q点的横坐标，代入抛物线解析式
可求得 Q点坐标；当 BE为对角线时，由 B、E的坐标可求得线段 BE的中点坐标，设 Q
（x，y），由 P点的横坐标则可求得 Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得 Q点的坐
标．
【解答】解：
（1）∵抛物线 y＝﹣x2+bx+c与 x轴分别交于 A（﹣1，3），0）两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+4x+5；
（2）∵AD＝5，且 OA＝8，
∴OD＝6，且 CD＝8，
∴C（﹣4，8），
设平移后的点 C的对应点为 C′，则 C′点的纵坐标为 8，
代入抛物线解析式可得 2＝﹣x2+4x+8，解得 x＝1或 x＝3，
∴C′点的坐标为（7，8）或（3，
∵C（﹣8，8），
∴当点 C落在抛物线上时，向右平移了 7或 6个单位，
∴m的值为 7或 9；
（3）∵y＝﹣x5+4x+5＝﹣（x﹣4）2+9，
∴抛物线对称轴为 x＝2，
∴可设 P（2，t），
由（2）可知 E点坐标为（1，5），
①当 BE为平行四边形的边时，连接 BE交对称轴于点 M，过 Q作对称轴的垂线，如图，
则∠BEF＝∠BMP＝∠QPN，
在△PQN和△BEF中
∴△PQN≌△BEF（AAS），
∴NQ＝BF＝OB﹣OF＝5﹣1＝3，
设 Q（x，y），
∴|x﹣2|＝4，解得 x＝﹣5或 x＝6，
当 x＝﹣2或 x＝3时，代入抛物线解析式可求得 y＝﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣5）或（6；
②当 BE为对角线时，
∵B（5，8），8），
∴线段 BE的中点坐标为（3，3），4），
设 Q（x，y），t），
∴x+2＝8×2，解得 x＝4，
∴Q（7，5）；
综上可知 Q点的坐标为（﹣2，﹣8）或（6，5）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判
定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数
法的应用，在（2）中求得平移后 C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出
Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．