参考答案：
1．B
2．D
3．B
4．C
5．B
6．D
7．D
8．D
9．ABC
10．ACD
11．AC
12．AD
13．(2，3)∪(3，＋∞) 或写为{x| x＞2 且 x≠3}
14．3
15．2
16． 15
17．(1) 3
(2)102
18.
x
f (x)＝log2(4x)·log
12
4
＝(log x＋2)·
1
2 － log 2 2
x－1
1
＝－ [(log2x)2＋log2 2
x－2]．
设 log2x＝t．
1
∵x∈ ，4 ，∴t∈[－1，2]， 2
1
则有 y＝－ (t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
2
1
因此二次函数图象的对称轴为 t＝－ ，
2
{#{QQABSYCAgggIABBAAQgCQwkACkCQkBECAIoGhEAMsAABgANABAA=}#}
1 1
∴函数 y＝－ (t2＋t－2)在 －1，－
1
上是增函数，在
－ ，2
上是减函数， 2 2 2
1 9
∴当 t＝－ 时，有最大值，且 ymax＝ ． 2 8
当 t＝2 时，有最小值，且 ymin＝－2．
9
∴f (x)的值域为 －2， 8
19．【答案】（1）a =1,b = 0；（2）k 4 .
【分析】（1）函数 g (x)的对称轴方程为 x =1，开口向上，则在 2,3 上单调递增，则可根
据最值列出方程，可解得a,b的值.
(2)由题意只需 k f (x) ，则只需要求出 f (x)在 (2,5 上的最小值，然后运用基本不等式
min
求最值即可.
【详解】解：（1） g (x)开口方向向上，且对称轴方程为 x =1，
g (x)在 2,3 上单调递增
g (x) = g (2) = 4a 4a +1+b =1
min .
g (x) = g (3) = 9a 6a +1+b = 4max
解得a =1且b = 0 .
（2） f (x) k 0在 x (2,5 上恒成立
所以只需 k f (x) .
min
x2 2x +1 1 1 1
有（1）知 f (x) = = x + = x 2+ + 2 2 (x 2) + 2 = 4
x 2 x 2 x 2 x 2
1
当且仅当 x 2 = ，即 x = 3时等号成立.
x 2
k 4 .
【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等
式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.
1
（t 12)
2 +82, t (0,14]
20．【答案】（1） p = f (t) = 4 ；（2）能，见解析.
log1 (t 5)+83, t (14,40]
3
{#{QQABSYCAgggIABBAAQgCQwkACkCQkBECAIoGhEAMsAABgANABAA=}#}
【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当 t∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点（14,81），
代入函数 y = loga (t 5)+83求出 t∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.
(2)对分段函数，分别解不等式 p 80，求出 t的取值范围，然后取并集，再计算时间的长
度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.
【详解】解：（1）当 t∈(0,14]时，设 p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，
1
将点(14,81)代入得 c＝－ ，
4
1
∴当 t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－ (t－12)2＋82；
4
1
当 t∈(14,40]时，将点(14,81)代入 y＝loga(t－5)＋83，得 a＝ .
3
1
（t 12)
2 +82, t (0,14]
所以 p＝f(t)＝ p = f (t) = 4
log1 (t 5)+83, t (14,40]
3
1
(2)当 t∈(0,14]时，－ (t－12)2＋82≥80，
4
解得:12 2 2 t 12+ 2 2 ，
所以 t [12 2 2, 14]；
当 t∈(14,40]时，log 1 (t－5)＋83≥80，
3
解得 5综上 t [12 2 2, 32]时学生听课效果最佳.
此时 t = 32 (12 2 2 ) = 20+ 2 2 22
所以，教师能够合理安排时间讲完题目.
2
21. 已知函数 f (x) = a x 为奇函数 2 +1
(1)探究 f (x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若存在实数 x 1,2 ，使得不等式 f (x m)+ f (2x ) 0成立，求m 的范围
【来源】湖南省长沙市宁乡一中 2019-2020 学年高一下学期 3 月质量检测数学试题
【答案】（1） f (x)为增函数，证明见解析；（2）m 6 .
{#{QQABSYCAgggIABBAAQgCQwkACkCQkBECAIoGhEAMsAABgANABAA=}#}
【详解】解：（1） f (x)为增函数.
证明： f (x)定义域为 R ，任取 x1, x2 R,设 x1 x2
( x1 x2 2 2 2 2 2 )
f (x1 ) f (x2 ) = =x x
2 2 +1 2 1 +1 ( x2 2 x+1)(2 1 +1)
x x
x x， 2 1 2 2 x1 x, 2 2 21 2 0
f (x1 ) f (x2 ) 0,即 f (x1 ) f (x2 )
所以 f (x)为增函数.
x
（2）由已知存在实数 x 1,2 ，使得不等式 f (2 ) f (x m) = f (m x) 成立
由（1）可知只需存在实数 x 1,2 ,使得 x2x m x，即2 +x m成立即可
令 g (x) = 2x +x, x 1,2 ，易知 g (x) = 2x +x在 x 1,2 时单调递增
所以 g (x) = g (2) = 6，所以m 6 .
max
【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性等知识，应用单调性解不等式，考查不等式能成立
问题，分离参数的思想，属于难题.
x 2
22. 已知函数 f (x) = 2 ， h(x) = x 4x + 5m ， (x) 与 f (x) 互为反函数.
(1) 求 (x) 的解析式；
(2) 若函数 y = (h(x))在区间 (3m 2, m+ 2)内有最小值，求实数m 的取值范围；
4x 2
(3) 若函数 g(x) = (x 0) ，方程 g(x) + a | g(x) | +a +3 = 0有三个不同的实
x +1
数解，求实数a 的取值范围.
{#{QQABSYCAgggIABBAAQgCQwkACkCQkBECAIoGhEAMsAABgANABAA=}#}
{#{QQABSYCAgggIABBAAQgCQwkACkCQkBECAIoGhEAMsAABgANABAA=}#}2025 届 11 月月考数学试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单项选择题(本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．)
2
1．已知全集U =R，集合 A = y y = x +3, x R ，B = x 2 x 4 ，则图中阴影部分表
示的集合为（ ）
A． 2,3 B． ( 2,3) C． ( 2,3 D． 2,3)
2．设a = log2 0.3,b = 3
0.2，c = 0.30.2 ，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a c b B． a b c C．c a b D．b c a
3．在用二分法求方程3x +3x 8 = 0在 (1,2)内近似根的过程中，已经得到 f (1) 0，
f (1.5) 0， f (1.25) 0，则方程的根落在区间（ ）
A． (1, 1.25) B． (1.25, 1.5) C． (1.5, 2) D．不能确定
4．某品牌电脑投放市场的第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400
台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好反映销售量 y 与投放市场月数 x 之间
的关系的是
2
A． y =100x B． y = 50x 50x +100
C． y = 50 2
x
D． y =100log2 x +100
f (x2 ) f (x( ) 1
)
5．函数 f x 的定义域为 R，对任意的 x1, x2 1,+ )(x x )，有 01 2 ，且函x2 x1
数 f (x +1)为偶函数，则（ ）
{#{QQABSYCAgggIABBAAQgCQwkACkCQkBECAIoGhEAMsAABgANABAA=}#}
A． f (1) f ( 2) f (3) B． f ( 2) f (3) f (1)
C． f ( 2) f (1) f (3) D． f (3) f (1) f ( 2)
2
6．若函数 f (x) = log2 (x ax 3a)在区间 ( , 2]上是单调递减，则实数a 的取值范
围是( )
A．(－∞，4) B．(－4，4] C．(－∞，4)∪[2，＋∞) D．[－4，4)
log2 x (0 x 2)
7． f (x) = 1 ，若a、b、c互不相等，且 f (a) = f (b) = f (c)，则 abc的
x + 2 (x 2)
2
取值范围是（ ）
A． (0,1) B． (0,2) C． (1,2) D． (2,4)
1 4 m
8．已知 a>b>c，若 + 恒成立，则 m的最大值为（ ）
a b b c a c
A．3 B．4 C．8 D．9
二、多项选择题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．)
9．下列函数中，在区间 (0,+ )上单调递增的是（ ）
1 1
A． y = B． y = x C． y x2 D． y = ( )
x
x 2
10．已知函数 f (x) = x 图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
f (x1 )+ f (x2 ) x + x
C．若 x 1，则 f (x) 1 D．若0 x1 x2 ，则 f
1 2
2 2
a(a b)
11．定义运算a b = ，设函数 f (x) =1 2
x ，则下列命题正确的有（ ）
b(a b)
A． f (x)的值域为 [1,+ )
B． f (x)的值域为 (0,1]
C．不等式 f (x +1) f (2x)成立的范围是 ( ,0)
D．不等式 f (x +1) f (2x)成立的范围是 (0,+ )
12．若 4x 4y 5 x 5 y ，则下列关系正确的是（ ）
y
3 1
A． x y B． y x 3 ． x y ． 3 x C D
3
{#{QQABSYCAgggIABBAAQgCQwkACkCQkBECAIoGhEAMsAABgANABAA=}#}
第 II 卷（非选择题）
三、填空题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
1
13．函数 y = 的定义域为______．
log2 (x 2)
1
14．已知幂函数 f (x) = x 4 ,若 f (10 2a) f (a +1) ，则
a 的取值范围是______．
|x|
15．已知0 a 1，则函数 y = a | log x |的零点的个数为______． a
a b
16．已知3 = 5 = k (k 1)，且a+b = 2ab，则 k = ______．
四、解答题(本题共 6小题，共 70分)
17．（10 分）化简求值（需要写出计算过程）．
2 3
(1)化简 (π 5) 3 (2 π) 并求值；
1
1 0
2
(2)计算： 5 1 0.064 3 + 2 2 + 0.1 ．
2 4
x 1
18．（12 分）求函数 f (x) = log2(4x) log 1 ， x [ ,4]的值域．
2
4 2
2
19．（12 分）已知函数 g (x) = ax 2ax +1+b(a 0)在区间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1.
(1)求 a、b的值；
g ( x)
(2)设 f ( x) = ，若不等式 f (x) k 0在 x∈ (2,5 上恒成立，求实数 k 的取值范围．
x 2
20．（12 分）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意
力指数 p与听课时间 t之间的关系满足如图所示的曲线．当 t∈(0,14]时，曲线是二次函数
图象的一部分，当 t∈[14,40]时，曲线是函数 y = loga (t 5)+83（a 0且a 1）图象的一
部分．根据专家研究，当注意力指数 p大于等于 80 时听课效果最佳．
{#{QQABSYCAgggIABBAAQgCQwkACkCQkBECAIoGhEAMsAABgANABAA=}#}
(1)试求 p = f (t )的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要 22 分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲
完？请说明理由．
2
21．（12 分）已知函数 f (x) = a 为奇函数
2x +1
(1)探究 f (x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若存在实数 x 1,2 ，使得不等式 f (x m)+ f (2x ) 0成立，求m 的范围.
22．（12 分）已知函数 f (x) = 2x ， h(x) = x2 4x + 5m ， (x) 与 f (x) 互为反函数.
(1) 求 (x) 的解析式；
(2) 若函数 y = (h(x))在区间 (3m 2, m+ 2)内有最小值，求实数m 的取值范围；
4x 2
(3) 若函数 g(x) = (x 0) ，方程 g(x) + a | g(x) | +a +3 = 0有三个不同的实
x +1
数解，求实数a 的取值范围.
{#{QQABSYCAgggIABBAAQgCQwkACkCQkBECAIoGhEAMsAABgANABAA=}#}