华东师大版八年级下期16章分式“五环四互”教学模式数学导案

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第一课时 分式的基本概念
【学习目标】 1、能判断一个代数式是否为分式。
2、能说出一个分式有意义的条件。
3、会求分式值为零时，字母的取值。
【学习重点】会求分式有意义时，字母的取值范围 。
【学习难点】求分式值为零时，字母的取值
【学法指导】先认真看书，然后独立完成，最后小组交流，不懂做上记号
【自学互助】 1.自学教材2-3页，用双色笔勾出概念及重要知识点，在有疑问做出记号。
2.通过预习，完成下面的问题.
（1）甲每小时做x个零件，5小时可做________个零件。
(2)长方形的面积为 2cm ,长为 3cm,则宽应为 cm;
（3）长方形的面积为 S,长为 a,宽应为
（4）6箱苹果售价p元，每箱苹果的售价是 元；
（5）公交车的速度是每小时a千米，小汽车每小时的速度比它的2倍少15千米，那么小汽车小时行驶__________千米；
（6） 小明家离学校路程有2000米，他以每分钟V米的速度步行上学需要 分钟。
请将刚才所写的代数式你认为分母有共同特征进行分类，并将同一类填入一个圈内，。
特征： 分母中不含字母 特征； 分母中含有字母
归纳总结
（1）分式的概念：形如(A、B是整式，且分母B中必须含有_________，B≠0)的式子，叫做分式（其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母)。
（即：整式A、B相除可写为的形式，若分母中含有字母，那么叫做分式。）
（2）__________和_______统称有理式。
（3）、分式的意义：
分母中字母的取值使：①分母≠0，则分式有意义；②分母=0，则分式无意义。
（4）、分式的值为0：当_______为零且_______不为零时，分式值为零。
【典型例题】
例1．判断下列有理式中整式是_______________,分式是___________
①， ②2a+b, ③ , ④, ⑤, ⑥, ⑦
温馨提示：分母中有字母是判断分式的关键，注意：π是数不是字母。
例2. 当x为何值时时，下列分式有意义
（1） （2）
解：（1）要使分式有意义，分母的值不能为0
所以3x≠0，即x≠0
所以x≠0时，分式有意义
【展示互导】 分式有意义的条件
【质疑互究】1, 当x取何值时，分式的值为0？
温馨提示：分式的值为零的条件是分子A=0且分母B≠0，两者缺一不可
【检测互评】
1、把下列各式的题号分别填入横线中：
（1）（2）（3）（4）（5）
（6）0（7）（x+y） 整式是 ，分式是 。
2、当x 时，分式有意义。当x 时，分式没有意义。
3、、当x 时，分式的值为0。
4. 当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） ； （2）
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分式及其基本性质 第二课时 约分
【学习目标】1、能知道并理解分式的基本性质
2、能利用分式的基本性质对分式进行约分；
3、能归纳分式约分的步骤
【学习重点】利用分式的基本性质对分式进行约分。
【学习难点】当分式分子分母是多项式时分式的约分
【学法指导】独立自学，小组交流，不懂多问
【自学互助】
一：1.知识回顾：
（1）、将下列各分数化成最简分数:
= = = =
评述：化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简。
（2）、上题实质是分数的约分；它的依据是分数的基本性质。
分数的基本性质是： 。
2.自学教材3-4页，用双色笔勾出概念及重要知识点，在有疑问做出记号。
3.通过看书预习，完成下面的问题.
（1）分式的基本性质： （ 其中M是不等于零的整式）。
分式的基本性质： 分式的 与 都乘（或除以） 的整式，分式的值不变.。
提醒：应特别注意分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”等关键词。
（2）、最简分式：分子与分母没有公因式称为最简分式.
（3）、分式的约分：把一个分式的 与 的 约去，称为分式的约分。
提醒：约分的关键是找准公因式。
二：【典例讲解】
1、利用分式的基本性质填空：
（1） （2） （3） (b ≠ 0)
（4）
分式的约分（利用分数的基本性质可以化简分数，同样，利用分式的基本性质也可以化简分式。
例2．约分：（1）； （2）
温馨提示：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母进行_____________（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式。
【展示互导】
分式约分的步骤：（1）_____________；（2）约去公因式；（3）写出最简分式。
【检测互评】
1、在括号内填上适当的整式.
（1）（2）
(3)=； (4)
2、分式、、、中是最简分式的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
化简下列分式（约分）
（1）= （2） =
= （4）=
（5） = (6）=
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分式的基本性质 第三课时 通分
【学习目标】1、能知道最简公分母的概念，并能求出几个分式的最简公分母 2、能运用
分式的基本性质对分式进行通分；3、能归纳分式通分的步骤
【学习重难点】分式的基本性质对分式进行通分。
【学法指导】独立完成，合作交流，勤学好问
【自学互助】
1、回顾：异分母分数、、是如何化成同分母分数的？
通分的关键是先确定所有分母的_____________________
2、分式的通分定义：
通分的关键是确定几个分式的 。
（1）求分式的（最简）公分母。
分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为 。
（2）求分式与的最简公分母。
分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，
即： 2x2 -4X= 2x（ ）， x2—4=（ ）（ ），
即______________________就是这两个分式的最简公分母。
重要归纳：
求几个分式的最简公分母的步骤：
（1）取各分式的分母中系数的__________
（2）各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
（3）相同字母（或因式）的幂取指数____________
（4）所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正即为最简公分母。
【例题1】 1、求下列各组分式的最简公分母：
（1） （2）；
（3）
思考归纳：当分式的分母是多项式是要确定它们的最简公分母，应首先将分母进行_____________
【例题2】 通分：（1），；（3）， ；
温馨提示：通分要想确定各分式的公分母，再利用分式的性质通分.
解：（1）与的最简公分母为a2b2，
所以＝＝， ＝＝
（2）与
最简公分母为________________，
所以＝___________________；=________________________
【检测互评】1、分式的最简公分母为------------------------，
2、分式的最简公分母为----------------------
3、将下列各组分式通分：
（1）和 （2）
（3）和 （4）
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第四课时 分式的乘除1
【学习目标】1、能知道分式乘除法法则。2、能运用法则进行计算。3、能进行分式的乘
方运算
【学习重难点】能准确灵活的进行分式乘法运算。
【学法指导】独立完成，合作交流，勤学好问
【自学互助】
一．知识回顾
1．利用能分数的乘除法法则 完成下列运算吗？
= = = =
2、请写出分数的乘除法法则
乘法法则：____________________________________
除法法则：____________________________________
3、类比上面的分数乘除法运算，猜一猜= ______ =_______ 与同伴交流。
类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
乘法法则：分式乘分式，用____________作为积的分子，____________作为积的分母
除法法则：分式除以分式，把_______________________________。
二.【典例讲解】
例题1．计算：（1）·；（2）·。
温馨提示：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要通过约分，使运算结果化为____________。
解：（1）·=
（2）·=
简单题目的步骤归纳：（1）分子乘分子，分母乘分母；（2）“分离”出公因式；（3）约分；（4）写出最后结果。
例题2.计算：
； .
【质疑互究】
计算：
【检测互评】
1.计算：（1）·
（2）
（3）（a2－a）÷
2、计算：
（1）÷ （2）；
2、计算：
（1） （2）
（3）.
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第五课时 分式的乘除2（全自学课时）
【学习目标】1、能知道分式乘方法则2.能进行分式的乘方运算
【学习重难点】能准确灵活的进行分式乘法以及乘方运算。
【学法指导】独立完成，合作交流，勤学好问
【自学互助】一： 知识回顾
1．计算： （1） （2）
二：自学教材，完成下列填空
根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算：= = =
猜想：=
归纳：分式乘方的运算法则：
三：例题：计算
⑴
（2）
【检测互评】
1、计算： （1） （2）
2、能力提升
先化简再求值：，其中 a =, b =
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第六课时 分式的加减法
【学习目标】1、通过类比分数的加减法运算，归纳分式的加减法的运算方法，2、能利用分式的加减法法则熟练的进行运算。3、进一步了解通分的意义，培养加强计算能力。
【学习重难点】能利用分式的加减法法则熟练的进行运算。
【学法指导】先看书，然后独立完成，最后小组交流，不懂做上记号
【自学互助】一.自学教材8-9页，用双色笔勾出概念及重要知识点，在有疑问做出记号。
二、知识回顾：分数的加减法：
1、计算：= ； = ；= 。
2、根据1题的计算过程回忆分数的加减法法则：
同分母的分数的加减法法则：同分母的分数相加减，分母_____，把分子相加减。
异分母的分数的加减法法则：先通分，把异分母变为_______分数，然后再在加减。
三、模仿分数的加减计算下列各式
1：(1)= ；
(2)= 。
（3）=______________________________
2：总结一下怎样进行分式的加减法？
分式加减法法则：
（1）同分母分式相加减，分母 ，把分子 ；
（2）异分母分式相加减，先 ，变为同分母分式，然后再在加减。
【典例讲解】
例1．(1)： （2）
你能用多种方法计算上面第(2)的题吗？比较一下哪种方法更“简单”一点。
你发现了什么？
【质疑互究】1、计算
你发现了什么：
【检测互评】
（1）、 （2）、 （3）
2、计算：
（1）、 （2）、
（3）、 （4）
3、计算：（1） （2） （3）
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第七课时 分式的混合运算
【学习目标】1、明确分式混合运算的顺序2、能熟练的进行分式加减乘除混合运算
【学习重难点】能准确、灵活的进行分式混合运算。
【学法指导】独立完成，合作交流，勤学好问
【自学互助】
一：说一说，议一议
1、交流讨论分数混合运算的顺序
2、大胆猜一猜：分数的混合运算与分式的混合运算的顺序___(是、否)相同。
3、分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，先____，再____，然后____.有括号要按先算____，再_____，最后_____的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行_____，同级按从___到____的方向依次运算，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
例题讲解：计算（小组讨论：（1）、运算顺序；）
(1) （2）、
(3) （4）
温馨提示：分式的混合运算应该注意的几个方面：
（1）一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便。
（2）要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时备用
（3）注意符号的处理。（4）结果要化为最简分式。
【检测互评】1、计算（1） （2）（）÷
（3） （4）
（6）
（7） （8）
2、先化间，再求值：，其中.
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第八课时 可化为一元一次方程的分式方程
【学习目标】1．使学生理解分式方程的意义．
2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．以及书写格式
3．了解解分式方程解的检验方法．
【学习重点】掌握一元一次方程的分式方程的一般解法．
【学习难点】理解分式方程的增根，
【学法指导】先看书，然后独立完成，最后小组交流，不懂做上记号
【自学互助】1.自学教材12-14页，用双色笔勾出概念及重要知识点，在有疑问做出记号。
2.通过预习，完成下面的问题.
分式方程的定义：分母中含有 的方程叫做分式方程。
.练习：判断下列各式哪个是分式方程．
（1） （2） （3） （4）
【典例讲解】
例1．解分式方程：（1）；（2）.
概　括：
1、上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。
2、解分式方程的步骤：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。这种解分式方程的方法称为“去分母法”。
注意：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此检验时常将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根
3、温馨提示：（1）检验是解分式方程不可缺少的一步，在检验时，只需把整式方程的解代入最简公分母判定它是否为零；（2）去分母时，同学们往往注意到有分母的要去分母，而对整数或单项字母等忽略或遗忘，造成去分母漏项。
【检测互评】、解方程：
（1） （2）
、
（3） （4）
（5）
思考题
若关于 x 的分式方程有增根， 则m的取值是
点拨：把分式方程进行转化，然后找到有可能的
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第九课时 分式方程的运用
【学习目标】1．会分析题意找出等量关系.
2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
【学习重难点】会运用分式方程解决实际问题.
【学法指导】先看书，然后独立完成，最后小组交流，不懂做上记号
【自学互助】
一、自学教材15页，用双色笔勾出概念及重要知识点，在有疑问做出记号。
二、知识回顾：
解方程：（1） （2）
三、【典例讲解】
例1．为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学初三、2班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？
　
温馨提示：：列分式方程解应用题应相应地增加检验的过程，注意验根。
列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数（要有单位）；；（3）列方程；（4）解方程；（5） ；（6）作答。
例2．A、B两地相距60千米.甲、乙两人同时从A地骑车出发，前往B地，结果甲比乙早到1小时，已知甲的速度是乙的1.5倍，求甲、乙两人的速度。
【检测互评】
1、某农场挖一条960m长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务,若设原计划每天挖xm，则根据题意可列出方程 （ ）
A． B．
C． D．
2、为了绿化江山，某村计划在荒山上种植1200棵树，原计划每天种x棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前了5天完成了任务，则可以列出方程为 （ ）
A． －=5 B．－=5
C．－=5 D．－=5
3、甲、乙两人分别从距目的地６千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是３：４，结果甲比乙提前20分种到达目的地。求甲、乙的速度。
解：设________________________根据题意得_____________________
4．两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15分种互达顶峰，两个小组的攀登速度各是多少？
解：设____________________根据题意得__________________________
5、学生乘汽车去春游，预计共需车费120元，后来人数增加了，费用仍不变，这样每人少摊3元，原来这组学生的人数是多少个？
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第十课时 零指数幂与负整指数幂
【学习目标】1、理解零指数及负整指数幂的意义
2、能运用零指数及负整指数幂的意义进行运算
【学习重难点】理解零指数及负整指数幂的意义
【学法指导】先看书，然后独立完成，最后小组交流，不懂做上记号
【自学互助】 一、温故知新
以前在学同底数幂的除法公式时，有一个附加条件：m＞n，即被除数大于除数的指数。当被除数的指数不大于除数的指数，即m = n或m＜n时，情况怎样呢？
二、解读教材 （1）.自学教材17-19页，用双色笔勾出概念及重要知识点
预习导学1:零次幂
先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式：
52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得
52÷52＝52—2＝50，103÷103＝ ＝ ，a5÷a5＝ ＝a0(a≠0)
另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1。
即有：52÷52＝1，103÷103＝1，a5÷a5＝1
温馨提示：所以有：50=1，100=1，……
我们规定：a0=1（a≠0）
这就是说：任何不等于_______的数的零次幂都等于________
预习导学2：负整指数幂
通过自学教材18页
由此启发，有：5—3＝________ 10—4＝__________
我们规定： (a≠0，n是正整数)
这就是说：任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.
例1．计算：（1）3—2 =
（2） HYPERLINK "http://" =
例2．用小数表示下列各数：
（1）10-3　=　
　（2）2.1×10—4=
【质疑互究】
幂的运算引进了零指数幂和负整指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数，那么，在§13.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？同学们讨论并交流一下。
判断下列式子是否成立。 （1） （2）(a·b)—3=a—3b—3
（3）(a—3)2=a(—3)×2 (4)
例3．计算(2mn2)—3(mn—2)—5并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式。
【检测互评】
计算（1）（—0.1）0= （2）=
（3）2—2= （4）= （5）810÷810=
2、计算（1） HYPERLINK "http://" ；（2）
3、计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
（1） （2）
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零指数幂与负整指数幂 第二课时 科学记数法
【学习目标】1、会用科学计数法表示绝对值小于1的数
2、能归纳总结出指数N与小数点移动的位数的关系
【学习重难点】能归纳总结出指数N与小数点移动的位数的关系
【学法指导】先看书，然后独立完成，最后小组交流，不懂做上记号
【自学互助】
一、知识回放
；= ；= ， HYPERLINK "http://" =
二、解读教材
预习导学：科学记数法
我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10。
例如，864000可以写成8.64×105，—280899500可以写成—2. 808995×108。
新知探究： 填空：10—1=0.1
10—2=
10—3=
10—4=
10—5=
归纳：10—n=0．000000……00001
上节例2（2）中的0.000021可以表示成2.1×10—5。
科学记数法：我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10—n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10。
温馨提示：科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足，1≤∣a∣＜10. 其中n是正整数。
例题1．把下列个各数用科学计数法表示
（1）0.00001 （2）0.000304 （3）540000000
例题2：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示。
【检测互评】
小组交流讨论：猜想科学计数法中指数n与原数中小数点移动的位数有怎样的关系？
【达标测评】
1、用科学计数法表示下列各数：
30000= ; — 696000= ;
0.00003= ;
—0.0000257= 0.002003= ;
（2）_______________________________
__________________________________
______________________________
归纳：分式通分的步骤：
求出最简公分母；
把各分式根据分式的基本性质化成分母相同的分式；
（3）写出通分后的分式。
注意：当分式的分母是多项式时，应先将分母进行因式分解
零的零次幂没有意义！
个0
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