绝密★启用前
深圳市南山为明学校
2023—2024学年第一学期期中考试
数学 试 卷
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、年级、班级填写在答题卡上。将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线与直线互相垂直，则实数的值（ ）
A． B．1 C． D．2
3．圆的一条直径的两个端点是，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6．已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
8．直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆心为 B．半径为2
C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为
10．已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．直线，下列图象中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设动直线交圆于A，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点 B．当取得最大值时，
C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知，则 ．
14．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称的直线的方程为 ．
15．若过点的直线与圆相切，则点坐标应满足的关系为： ．
16.已知点，圆：上两点，满足（），则的最小值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
(1)求；
(2)求．
18．根据下列条件，分别求相应圆的方程．
(1)圆心为，过点；
(2)与轴相交于、两点，且半径等于．
19．请用空间向量求解已知正四棱柱中，，， 分别是棱，上的点，且满足，．
(1)求异面直线，所成角的余弦值；
求平面与平面所成角的余弦值．
20．直线与圆是否相交？如果相交，求出交点．
21．已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求此切线的方程．
22．如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点 分别是 的中点，是线段上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）当时，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．绝密★启用前
深圳市南山为明学校
2023—2024学年第一学期期中考试
数学 试 卷 答案
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题
1． 【答案】C
2．若直线与直线互相垂直，则实数的值（ ）
A． B．1 C． D．2
【来源】专题06 直线的方程- 2021-2022高二上学期数学新教材配套提升训练（人教A2019选择性必修第一册）
【分析】根据两直线垂直的公式，即可计算结果.
【详解】因为两条直线互相垂直，则，得. 【答案】B
3．圆的一条直径的两个端点是，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】海南省海口市上海世外附属海口学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题
【分析】用中点坐标公式求出圆心，再求出直径，即可得到圆的方程.
【详解】解：因为圆的一条直径的两个端点是，，所以圆心坐标为，直径为，则半径为，
所以圆的方程为. 故选：D
4．如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】1.1 空间向量及其运算（精炼）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第一册（人教版A版）
【分析】利用是边的中点，可得，代入即可求解．
【详解】解：是边的中点，
；
； 故选：．
【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查学生的分析能力；属于基础题．
5．设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【来源】1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（分层训练）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）
【解析】根据条件可得，对应建立方程求解即可.
【详解】，
即，
所以，解得，，， 故选：A
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了向量共线的定义，属于基础题．
6．已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【来源】甘肃省武威市等2地2022-2023学年高二上学期11月期中文科数学试题
【分析】根据给定条件，设出点的坐标，再利用空间两点间的距离公式结合二次函数最值求解作答.
【详解】依题意，设点，而，
因此，
当且仅当，即点时取等号，
所以两点的最短距离是. 故选：B
7．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【来源】专题1.7 空间向量与立体几何全章八类必考压轴题-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）
【答案】A（本题中把D点改为A1点，答案不变）
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出点到平面的距离.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系
，，，，，，
设平面的法向量为，，令，得
则点到平面的距离为. 故选：A
8．直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【来源】必刷卷01（文）-2022年高考数学考前信息必刷卷（全国甲卷）
【分析】首先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，减去半径最小，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】解：由直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，得，，所以，
由圆得圆心，半径，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
则，所以，
， 故选：C.
二、多选题
9．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆心为 B．半径为2
C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为
【来源】吉林省四平市文德高级中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题【答案】BD
【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确.
【详解】将圆化为标准方程得，
可知圆心，半径，故A错误，B正确；
由圆心到直线的距离，
即，直线与圆相切，故C错误；
圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式，可得，所以D正确.
故选：BD.
10．已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【来源】宁夏银川市贺兰县第一中学2023-2024学年高二上学期第一阶段考试数学试题案】AD
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的关系逐一判断即可.
【详解】若，则，得，得，A正确，B错误．
若，则，得，得，C错误，D正确． 故选：AD
11．直线，下列图象中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】江苏省苏州市常熟中学2023-2024学年高二上学期十月阶段性学业水平调研数学试题 【答案】BC
【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线，
A选项，由图可知：，所以A选项错误.
B选项，由图可知：，所以B选项正确.
C选项，由图可知：，所以C选项正确.
D选项，由图可知：，所以D选项错误. 故选：BC
12．设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点 B．当取得最大值时，
C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24
【来源】考点巩固卷19 直线与圆（十二大考点） 【答案】ABD
【分析】A选项，将直线方程整理为，然后得到，解方程即可得到定点；B选项，根据弦长最大是直径得到最大时经过圆心，然后列方程求解即可；C选项，根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；D选项，根据外心的结论得到，然后求最值即可.
【详解】对于选项A，由动直线，可得：，由，即，即直线过定点，即选项A正确；
对于选项B，当取得最大值时，直线过点，即，即选项B正确；
对于选项C，当最小时，此时最小，当最小时，直线与过点和的直线垂直，则，即，由余弦定理可得，即选项C错误；
对于选项D，，即的最大值为24，即选项D正确， 故选：ABD．
三、填空题
13．已知，则 ． 【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算法则求出，由此能求出结果.
【详解】解：∵
∴
∴ 故答案为：.
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.
14．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称的直线的方程为 .
【来源】2.3.4 两条平行直线间的距离（分层作业）（4种题型分类基础练 能力提升练）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册） 【答案】2x－3y－9＝0
【解析】在l上任取两点，求出其关于点A的对称点坐标，再利用两点式即可求出直线l关于点A对称的直线的方程.
【详解】法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M（1,1），N（4,3），
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上，
易知M′（－3，－5），N′（－6，－7），
由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二设P（x，y）为l′上任意一点，
则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y），
∵P′在直线l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，
即2x－3y－9＝0. 故答案为：2x－3y－9＝0.
【点睛】本题考查直线关于点的对称直线，关键是对称点的求解，是基础题.
15．若过点的直线与圆相切，则点坐标应满足的关系为： .
16.已知点，圆：上两点，满足（），则的最小值为 48 ．
四、解答题
17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
(1)求； (2)求．
【来源】6.1.2 空间向量的数量积（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册） 【答案】(1) (2)0
【分析】（1）记，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得；
（2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得.
【详解】（1）记，则：
，
，，
，
，即有；
（2）．
18．根据下列条件，分别求相应圆的方程．
(1)圆心为，过点； (2)与轴相交于、两点，且半径等于．
【来源】2．1 圆
【答案】(1) (2)或；
【分析】（1）将圆心坐标和半径代入圆的标准方程即可得出答案；
（2）求出圆的半径，再代入标准方程即可求得结果；
（3）易知圆心在线段的垂直平分线上，求出圆心坐标代入标准方程即可.
【详解】（1）将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为；
（2）易知圆的半径为，
所以圆方程为；
（3）易知圆心在线段的垂直平分线上，
不妨设圆心坐标为，由半径为可得，解得；
当圆心为时，圆方程为；
当圆心为时，圆方程为；
因此所求圆的方程为或；
19．请用空间向量求解已知正四棱柱中，，， 分别是棱，上的点，且满足，．
求异面直线，所成角的余弦值；
求平面与平面所成角的余弦值．
【来源】【市级联考】江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题
【答案】（1）；（2）.
【分析】推导出AD，DC，两两垂直，以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线，所成角的余弦值;求出平面的一个法向量和平面FAD的一个法向量，利用向量法能求出面与面FAD所成的锐二面角的余弦值．
【详解】
在正四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以AD，DC，两两垂直，
以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
又因，，E，F分别是棱，上的点，
且满足，，
所以0，，0，，1，，1，，0，，1，，1，，
所以，
设异面直线，所成角为
所以，
所以异面直线，所成角的余弦值为
，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，
所以，
平面FAD的一个法向量为，
则，所以，令，所以，
所以，
所以面与面FAD所成角的余弦值为
20．直线与圆是否相交？如果相交，求出交点．
【来源】第二章 平面解析几何 2.3 圆及其方程 2.3.3 直线与圆的位置关系
【答案】直线与圆相交，交点坐标为，．
【分析】根据点到直线的距离公式可得小于半径，可得相交，联立两方程可得交点坐标．
【详解】圆心坐标，半径，
则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，
联立，解得，，即交点坐标为，．
21．已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
(1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求此切线的方程．
【答案】(1) (2)或
【分析】（1）利用直线方程、圆的标准方程运算即可得解.
（2）利用直线方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，圆心在直线上，故设圆心，
由于圆与轴相切，∴半径，
则圆的方程为：，
又∵圆过点，
∴，解得：，
∴圆的标准方程为．
（2）解：当切线斜率不存在时，因为圆心到直线的距离为，
所以是圆的切线方程．
当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，
即，
由直线与圆相切得，解得：，
因此过点与圆相切的切线方程为，即，
综上知，过点圆的切线方程为或．
22．如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点 分别是 的中点，是线段上的点.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
【来源】第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】（1）根据菱形的性质，结合平行线的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间平面向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.
【详解】（1）证明：连接因为底面为菱形，，
所以是正三角形，
∵是的中点，∴，
又，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，则，
，，，，，
设
则
设平面的一个法向量为，
则
取，则，
得
设直线与平面所成角为，
化简得：，则
故存在点满足题意，此时.
