第三章 函数综合练习题(含解析）

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第三章 函数综合练习题
一、单选题
1．下列各组函数表示同一函数的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．已知f(x)是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a,b，若aA．af(b)bf(a) B．bf(b)f(a) C．af(a)f(b) D．bf(a)af(b)
3．要得到函数 ， 的图象，只需将函数 ， 的图象（　　）
A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
B．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
4．函数在区间(0，1)内的零点个数是 （　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（　　）
A． B． C． D．
6．下列幂函数中，过点（0，0），（1，1）的偶函数的是（　　）
A． B．y=x4 C．y=x﹣2 D．
7．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
8．若为奇函数，则a的值为（　　）
A．0 B．-1 C．1 D．2
9．函数 的图像（　　）
A．关于直线 对称 B．关于 轴对称
C．关于原点对称 D．关于 轴对称
10．函数 的定义域为（　　）
A．（ ，+∞） B．（–∞， ）
C．（ ，1] D．（ ，1）
11．函数 的单调增区间为（　　）
A． B． C． D．
12．函数 的零点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
14．已知函数f(x)的定义域是R，且f(－5)＝0，f(x)在(0，＋∞)内的任意两个实数 都有 ，f(x－1)的图像关于点（1，0）对称，则不等式 的解集是（　　)
A．{x|－55} B．{x|x<－5或0C．{x|x<－5或x>5} D．{x|－5二、多选题
15．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（　　）
A． B．
C． D．
16．函数，满足对任意，且，都有成立的充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
17．已知函数 ， ，若 ，则（　　）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
18．函数f（x）=log0.5（8+2x﹣x2）的单调递增区间是　 　．
19．若函数 的最小正周期为π，则f（x）在[0，π]上的递减区间为　 　．
20．若实数 使得存在两两不同的实数 ， 有 ， 则实数 的取值范围是　 　.
四、解答题
21．奇函数f（x）的定义域为（﹣1，1），且在（﹣1，1）上是增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣2a）＜0，求实数a的取值范围．
22．已知函数 （a＞0且a≠1）．
（1）若 ，求函数 的零点；
（2）若 在 上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．
23．已知函数 ．
（1）已知f（x）的图象关于原点对称，求实数 的值；
（2）若 ，已知常数 满足： 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】A. 因为 定义域为R， 的定义域为 ，故不是同一函数；
B. 定义域为R， 的定义域为 ，故不是同一函数；
C. 因为 定义域为R， 的定义域为 ，故不是同一函数；
D. 因为 定义域为R， 定义域为R，故是同一函数，
故答案为：D。
【分析】利用同一函数的判断方法，即定义域和对应关系都相同，则两函数相同，从而找出表示同一函数的一组函数。
2．【答案】A
【解析】【解答】
所以函数是减函数或常函数，当是减函数时，由可得
，当函数时
【分析】本题有一定难度，首先通过选项结合已知条件可知需要判定的单调性，即将已知关系式转化出导数的范围，通过导数的正负确定单调性
3．【答案】B
【解析】【解答】解：将 在横坐标方向上缩短到原来的 ，
即可得 ，
∴ f(2x)=sin2x.
故选：C
【分析】根据三角函数图象变换前后的解析式，确定图象变化过程.
4．【答案】B
【解析】【解答】函数单调递增，又，，所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为1个，选B.
【分析】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题
5．【答案】B
【解析】【解答】A选项，是奇函数；函数既是偶函数又在上单调递增，故选B；C选项，在在上单调递减；D选项在上单调递减．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：A、定义域是[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性．
B通过验证过这两个点，又定义域为R，且f（﹣x）=（﹣x）4=x4=f（x）．
C不过（0，0）．
Df（﹣x）= = =﹣f（x）
∴f（x）是奇函数，不满足偶函数的条件．
故选B
【分析】A先看定义域是[0，+∞），不关于原点对称，不是偶函数．
BCD、验证是否过这两个点，再看f（﹣x）与f（x）的关系．
7．【答案】C
【解析】【解答】由题意得：得：且，定义域为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数的定义域的求解方法和分式函数的定义域求解方法，再结合交集的运算法则，进而求出函数函数的定义域 。
8．【答案】C
【解析】【解答】∵为R上的奇函数，
∴得a=1.验证满足题意.
故答案为：C
【分析】 由已知结合奇函数的性质f(0) = 0代入即可直接求解出 a的值 .
9．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ，
易知 为偶函数，
所以函数 的图象关于 轴对称.
故答案为：B.
【分析】 判断函数的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性判断可得答案。
10．【答案】D
【解析】【解答】由题, ,即 ,
故答案为：D
【分析】根据解析式得到不等关系 ,解出不等式即可.
11．【答案】D
【解析】【解答】由 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
由于 在 上递减，函数 的图象开口向上，且对称轴为 .
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，函数 的单调增区间为 .
故答案为：D.
【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减，判断出函数的单调增区间.
12．【答案】B
【解析】【解答】∵ ，
∴函数 在 上为增函数．
又 ，
∴函数 在 上存在唯一的零点．
故答案为：B．
【分析】由函数的单调性，结合应用零点存在定理可得 零点的个数 .
13．【答案】B
【解析】【解答】解：当时，，则，等式两边平方得，
整理得，
所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示，
由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，
直线过定点，
当直线过点时，则，可得；
当直线与圆相切，且切点位于第四象限时，，
此时，解得．
由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点．
因此，实数取值范围是．
故答案为：B．
【分析】作出函数的图象，则函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，考查直线与圆相切，且切点位于第四象限时以及直线过点时，对应的值，数形结合可得出实数的取值范围．
14．【答案】D
【解析】【解答】因为f(x)在(0，＋∞)内的任意两个实数 都有 ，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又因为f(x－1)的图像关于点（1，0）对称，
所以 的图象关于 对称，即函数为奇函数，
所以由不等式 可得： ，
因为
所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以不等式的解为{x|－5故答案为：D
【分析】由题意知函数在(0，＋∞)上为增函数，且函数为奇函数，可得 ，又 ，可求出不等式的解.
15．【答案】B,D
【解析】【解答】解：对于A，函数是奇函数，A不符合题意；
对于B，是偶函数，且易判断在区间上单调递增，B符合题意；
对于C，，故为奇函数；
对于D，为偶函数，且在单调递增，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案.
16．【答案】C,D
【解析】【解答】解：因为满足对任意，且，都有，即在定义域上单调递减，所以，解得，即在上单调递减的充要条件为，则在上单调递减的充分不必要条件可以为或
故答案为：CD
【分析】由已知可得分段函数f(x)单调递减，分段函数递减必须两段都要递减，且分段点处右边的图象不能在左边的图象的上方，建立关于a的不等式组求解，再利用充分不必要条件的概念判定即可得答案.
17．【答案】A,C
【解析】【解答】对A：因为 ，所以 ，A符合题意；
对B：因为 ，所以 ，B不符合题意；
对C：由题意，因为 ，所以 在R上单调递增，
不妨设 ，则 ，所以 ，即 ，C符合题意；
对D：因为 ，且 ，所以由凹凸性有 ，
又 ，所以由凹凸性有 ，
所以有 ，
即 ，
即 ，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，再结合函数的单调性、函数图象的凹凸性，从而找出正确的选项。
18．【答案】[1，4）
【解析】【解答】解：令t=8+2x﹣x2=﹣（x+2）（x﹣4）＞0，求得﹣2＜x＜4，故函数的定义域为（﹣2，4），
f（x）=log0.5t，故本题即求函数t在定义域内的减区间．
再根据二次函数的性质可得函数t=﹣（x﹣1）2+9 在定义域（﹣2，4）上的减区间为[1，4），
故答案为[1，4）．
【分析】本题考查的是复合函数的单调性，增减性一致为增，增减性不一致为减；特别注意要限制真数大于零，在定义域内找指定的区间。
19．【答案】[ ， ）
【解析】【解答】解：函数 的最小正周期为π，则 =π，∴ω=2，
本题即求y=sin（2x+ ）在函数值大于零时的减区间．
令2kπ+ ≤2x+ ＜2kπ+π，求得kπ+ ≤x＜kπ+ ，
可得函数的减区间为[kπ+ ，kπ+ ），k∈Z．
∵x∈[0，π]，故函数在[0，π]上的递减区间为[ ， ），
故答案为：[ ， ）．
【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，本题即求y=sin（2x+ ）在函数值大于零时的减区间．令2kπ+ ≤2x+ ＜2kπ+π，求得x的范围，结合在[0，π]上，确定函数的减区间．
20．【答案】
【解析】【解答】解：因为 ，
所以x3-3x=y3-3y ，
同理可得x3-3x=y3-3y=z3-3z，
构造函数u=t3-3t ，
令x，y，z为u=t3-3t=m的三个互不相同的根，
则u'=3t2-3 ，令u'=0 ，t=±1 ，
所以t∈(-1，1) 时，u'<0 ， u单调递减，
t∈(-∞，-1)∪(1，+∞)时，u'>0 ， u单调递增，
且t=1时，u=-2 ，t=-1时，u=2，
所以为使u=t3-3t=m的三个互不相同的根，
则m∈(-2，2) ，且有u=(t-x)(t-y)(t-z) ，
得到x+y+z=0 ，
原式可得： ， ，
化简得： ，
取x3+a=3x ，得到-a=x3-3x ，
解得-a∈(-2，2)时有三个不同的根，
又因为x≠0，所以a∈ ．
故答案为：
【分析】构造函数，利用导函数得到u=t3-3t=m的三个互不相同的根，m∈(-2，2) ，且有u=(t-x)(t-y)(t-z)=0 ，进而得到x+y+z=0 ，化简可得-a∈(-2，2)时有三个不同的根，进而得出结果.
21．【答案】解：由题意：f（1﹣a）+f（1﹣2a）＜0，则：f（1﹣a）＜﹣f（1﹣2a）；
∵f（x）是奇函数，∴﹣f（1﹣2a）=f（2a﹣1）；则有：f（1﹣a）＜f（2a﹣1）．
又∵f（x）是增函数，
所以： ，解得： ．
故实数a的取值范围是（ ，1）．
【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质建立关系求解．
22．【答案】（1）解：∵ ， ∴ ，∴ ， 即 ，∴a=2， ∴ ， 令 ， 即 ， ∴ ， ∴x+2=2，∴x=0，
即 的零点为x=0.
（2）解：∵无论a＞1或0＜a＜1， 均为单调函数， ∴最值均在区间端点取得， ∵ 在 上的最大值与最小值互为相反数， ∴ ，即 ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，
又∵a＞0且a≠1，∴ .
【解析】【分析】（1）根据题意把数值代入到解析式计算出a的值，进而得出函数的解析式再由 求解出x的值，从而得出函数的零点即可。
（2）结合函数的单调性可得出最值均在区间端点取得 ，由已知条件 在 上的最大值与最小值互为相反数 ，进而得到方程再结合对数的运算性质代入数值计算出a的结果即可。
23．【答案】（1）解：定义域为 ，又知函数为R上的奇函数，则 a=
下面证明 时 是奇函数
对定义域R上的每一个x都成立，
∴ 为R上的奇函数．
∴存在实数 ，使函数 为奇函数．
另解：定义域为 ，又知函数为R上的奇函数，
对 定义域R上的每一个x都成立．
∴
∴
= ，
∴ ．
∴存在实数 ，使函数 为奇函数．
（2）解：若 ，则 ，
，
由 对 恒成立，得 ，
∵当 时， ，
∴ 对 恒成立，
易知，关于x的函数 在上 为增函数，令
在 上为增，
∴ ．
【解析】【分析】（1）函数 的定义域是 ，函数图象关于原点对称，得函数 是奇函数，即 解出即可，需验证函数 是奇函数；（2）此题是个恒成立问题，求取参量的取值范围，对此我们一般情况都是参变分离，化成 ，令 ，由于是恒成立问题，则有 ,只需要求取 即可．
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