第二章 等式与不等式综合练习题(含解析）
文档属性
| 名称 | 第二章 等式与不等式综合练习题(含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-07 13:04:19 | ||
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文档简介
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第二章 等式与不等式综合练习题
一、单选题
1．已知条件 ： ，条件 ： ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，求 的最值（ ）
A．有最小值为4，无最大值 B．有最大值为-4，无最小值
C．有最大值为4，无最大值 D．有最小值为-4，无最大值
4．下列函数中最小值为 的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时， D．
5．若 ， ， 则下列结论：① ，②③④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
8．已知x＝8是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．－7 B．4 C．±7 D．－4
9．若直线 经过圆 的圆心，则 的最小值是（ ）.
A．16 B．12 C．9 D．8
10．已知 ，且 .下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ， 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．16
13．定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足 ， ，则称函数 是在区间 上的一个双中值函数，已知函数 是区间 上的双中值函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．下列函数中，最小值是2的是（ ）
A． B．y= +
C． D．y= +
15．下列叙述正确的是（ ）
A．若a，b，c∈R，且a>b，则
B．若实数 则x(1-2x)的最大值为
C．已知 的解集为{x|x>4或x<1}，则a+b=5
D．对于 x∈ 恒成立，则实数a的取值范围是[6，+∞)
16．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 的最小值为
B．若 都是正数，且 ， 则 的最小值是3
C．若 ，则 的最小值是4
D．已知 ，则 的最大值为
三、填空题
17．非负实数x，y满足，则的最小值为 ．
18．不等式 的解集为 .
19．若实数 和 满足 ，则 的取值范围为 ．
四、解答题
20．解下列不等式：
（1） ；
（2）
21．解这个关于x的不等式 .
22．已知函数，当时解集为.
（1）求和的值；
（2）解关于的不等式，其中.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】当 ，得 或 ，不管哪种情况， ，
反过来，当 ， 时，此时 ，
所以条件 是条件 的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出答案。
2．【答案】D
【解析】【解答】∵二次不等式的解集是全体实数，故二次函数的图象恒在x轴的上方，∴，故选D
3．【答案】A
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号.
故答案为：A.
【分析】利用基本不等式可求出答案。
4．【答案】B
【解析】【解答】对于 ， ，如果 时， ，故 不符合题意；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 正确；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以其最小值为0，故 错误；
对于 ， ，当且仅当 即此时无解，这表明最小值4取不到，故 错误．
故答案为：B．
【分析】根据题意首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】
①a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，所以 ，所以①正确.
②a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ ≤ ，所以②正确.
③∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴ ，所以③正确.
④ ，故 ，所以④正确.
故答案为：D
【分析】利用作差法，结合基本不等式，逐一进行比较即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，∴ .
故答案为：D
【分析】首先整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值。
7．【答案】D
【解析】【解答】因为，所以.
又.所以，当且仅当时，等号成立.
故答案为：D
【分析】根据基本不等式得到，求解即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】因为是一元二次方程的一个解，所以，
解得。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合方程的根与系数的关系，再利用代入法得出m的值。
9．【答案】C
【解析】【解答】解： 化为标准方程为： ，
圆心坐标为 ，代入直线方程，得 ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出 的最小值 .
10．【答案】B
【解析】【解答】 ，且 ，
， .
故答案为：B.
【分析】由 和 ，得 ，根据不等式的性质可得选项.
11．【答案】C
【解析】【解答】由 得： ；当 时， ，
直线 与曲线 相切的切点坐标为 ， ，又 为正实数，
（当且仅当 ，即 ， 时取等号），
的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】 直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出a， b的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值.
12．【答案】B
【解析】【解答】由 ， ， 得，
，当且仅当 时等号成立。
故答案为：B。
【分析】由已知得到，利用基本不等式即可求出 的最小值.
13．【答案】A
【解析】【解答】 ，
∵函数 是区间 上的双中值函数，
∴区间 上存在 ，
满足
∴方程 在区间 有两个不相等的解，
令 ，
则 ，
解得
∴实数 的取值范围是 .
故选:A．
【分析】利用双中值函数的定义结合一元二次方程根与系数的关系和判别式法，从而求出实数t的取值范围。
14．【答案】A,C
【解析】【解答】对于A， ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立，A符合题意；
对于B， ，由于 无解，所以最小值不是2，B不符合题意；
对于C， ，当且仅当 ，即 时等号成立，C符合题意；
对于D，当 时， ，故最小值不是2，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据题意由基本不等式整理原式即可求出最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
15．【答案】C,D
【解析】【解答】对于A：当 时，不等式不成立，A不正确；
对于B：因为 所以 ，B不正确；
对于C：因为不等式 的解集为{x|x>4或x<1}，所以方程 的两个根为1，4，
所以 ，所以 ，即 ，C符合题意；
对于D：由已知得 ，解得 ，D符合题意，
故答案为：CD.
【分析】 由不等式的基本性质可以解选项A、B、D，再由一元二次不等式的解法可以判断选项C.
16．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：对于A，因为 ，所以1-2x>0，则，当且仅当 ，即x=0时，等号成立，则， 则函数 的最大值为，故A错误；
对于B，由a+b+c=2，可得a+1+b+c=3，则 ，当且仅当，即a=1，b+c=1时，等号成立，则的最小值是3，故B正确；
对于C，由x+2y+xy=6可得xy=6-(x+2y)
∵，当且仅当x=2y时，取等号
∴
∵x>0，y>0
∴x+2y≥4，当且仅当x=2y=2时，取等号，则x+2y的最小值是4，故C正确；
对于D， ，设，t>0，
原式
，当且仅当，即时，取等号，
∴的最大值为 ，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】根据基本不等式的要求“一正二定三相等”求解即可.
17．【答案】0
【解析】【解答】当时，；
当x，时，由得，
所以（当且仅当，即 时，等号成立）．
所以的最小值为0．
故答案为：0.
【分析】由不等式的性质即可得解．
18．【答案】
【解析】【解答】因为方程 的根为： ， ，所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可.
19．【答案】
【解析】【解答】设 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，解得 或 ，
又由 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
整理得 ，解得 ，
所以 ，即则 的取值范围为 。
故答案为： 。
【分析】设 ，利用 ，可得 ，所以 ，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数t的取值范围，再利用均值不等式求最值的方法得出，再结合一元二次不等式求解集的方法，从求出实数t的取值范围，进而求出 的取值范围。
20．【答案】（1）解：方程 中 ，
原不等式的解集为
（2）解：原不等式可化为 ，方程 中
原不等式的解集为
【解析】【分析】（1）先求对应一元二次方程的根，再结合不等号方向写解集（2）先化简不等式，再根据对应一元二次方程无解，即可确定不等式解集
21．【答案】解：原不等式可化为 ，
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为R；
当 时，不等式的解集为 或 ，
综上可知： 时解集为 或 ； 时解集为R； 时解集为 或
【解析】【分析】先将 因式分解，然后对参数 分类讨论，由此求解出不等式的解集.
22．【答案】（1）依题意有的解集为，
故方程的两根为和t，
故解得
（2）由题（1）及，
得，
令，又因为
得或
当时，有，不等式的解为或.
当时，有，不等式的解为.
当时，有，不等式的解为或
综上所述，当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解为
当时，不等式的解为 或.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，再结合韦达定理得出b，t的值。
（2） 由题（1）及， 得出 ， 再利用已知条件结合分类讨论的方法，再由根与系数的关系和一元二次不等式求解集的方法，从而求出关于的不等式， 其中的解集。
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第二章 等式与不等式综合练习题
一、单选题
1．已知条件 ： ，条件 ： ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，求 的最值（ ）
A．有最小值为4，无最大值 B．有最大值为-4，无最小值
C．有最大值为4，无最大值 D．有最小值为-4，无最大值
4．下列函数中最小值为 的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时， D．
5．若 ， ， 则下列结论：① ，②③④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
8．已知x＝8是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．－7 B．4 C．±7 D．－4
9．若直线 经过圆 的圆心，则 的最小值是（ ）.
A．16 B．12 C．9 D．8
10．已知 ，且 .下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ， 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．16
13．定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足 ， ，则称函数 是在区间 上的一个双中值函数，已知函数 是区间 上的双中值函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．下列函数中，最小值是2的是（ ）
A． B．y= +
C． D．y= +
15．下列叙述正确的是（ ）
A．若a，b，c∈R，且a>b，则
B．若实数 则x(1-2x)的最大值为
C．已知 的解集为{x|x>4或x<1}，则a+b=5
D．对于 x∈ 恒成立，则实数a的取值范围是[6，+∞)
16．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 的最小值为
B．若 都是正数，且 ， 则 的最小值是3
C．若 ，则 的最小值是4
D．已知 ，则 的最大值为
三、填空题
17．非负实数x，y满足，则的最小值为 ．
18．不等式 的解集为 .
19．若实数 和 满足 ，则 的取值范围为 ．
四、解答题
20．解下列不等式：
（1） ；
（2）
21．解这个关于x的不等式 .
22．已知函数，当时解集为.
（1）求和的值；
（2）解关于的不等式，其中.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】当 ，得 或 ，不管哪种情况， ，
反过来，当 ， 时，此时 ，
所以条件 是条件 的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出答案。
2．【答案】D
【解析】【解答】∵二次不等式的解集是全体实数，故二次函数的图象恒在x轴的上方，∴，故选D
3．【答案】A
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号.
故答案为：A.
【分析】利用基本不等式可求出答案。
4．【答案】B
【解析】【解答】对于 ， ，如果 时， ，故 不符合题意；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 正确；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以其最小值为0，故 错误；
对于 ， ，当且仅当 即此时无解，这表明最小值4取不到，故 错误．
故答案为：B．
【分析】根据题意首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】
①a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，所以 ，所以①正确.
②a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ ≤ ，所以②正确.
③∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴ ，所以③正确.
④ ，故 ，所以④正确.
故答案为：D
【分析】利用作差法，结合基本不等式，逐一进行比较即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，∴ .
故答案为：D
【分析】首先整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值。
7．【答案】D
【解析】【解答】因为，所以.
又.所以，当且仅当时，等号成立.
故答案为：D
【分析】根据基本不等式得到，求解即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】因为是一元二次方程的一个解，所以，
解得。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合方程的根与系数的关系，再利用代入法得出m的值。
9．【答案】C
【解析】【解答】解： 化为标准方程为： ，
圆心坐标为 ，代入直线方程，得 ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出 的最小值 .
10．【答案】B
【解析】【解答】 ，且 ，
， .
故答案为：B.
【分析】由 和 ，得 ，根据不等式的性质可得选项.
11．【答案】C
【解析】【解答】由 得： ；当 时， ，
直线 与曲线 相切的切点坐标为 ， ，又 为正实数，
（当且仅当 ，即 ， 时取等号），
的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】 直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出a， b的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值.
12．【答案】B
【解析】【解答】由 ， ， 得，
，当且仅当 时等号成立。
故答案为：B。
【分析】由已知得到，利用基本不等式即可求出 的最小值.
13．【答案】A
【解析】【解答】 ，
∵函数 是区间 上的双中值函数，
∴区间 上存在 ，
满足
∴方程 在区间 有两个不相等的解，
令 ，
则 ，
解得
∴实数 的取值范围是 .
故选:A．
【分析】利用双中值函数的定义结合一元二次方程根与系数的关系和判别式法，从而求出实数t的取值范围。
14．【答案】A,C
【解析】【解答】对于A， ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立，A符合题意；
对于B， ，由于 无解，所以最小值不是2，B不符合题意；
对于C， ，当且仅当 ，即 时等号成立，C符合题意；
对于D，当 时， ，故最小值不是2，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据题意由基本不等式整理原式即可求出最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
15．【答案】C,D
【解析】【解答】对于A：当 时，不等式不成立，A不正确；
对于B：因为 所以 ，B不正确；
对于C：因为不等式 的解集为{x|x>4或x<1}，所以方程 的两个根为1，4，
所以 ，所以 ，即 ，C符合题意；
对于D：由已知得 ，解得 ，D符合题意，
故答案为：CD.
【分析】 由不等式的基本性质可以解选项A、B、D，再由一元二次不等式的解法可以判断选项C.
16．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：对于A，因为 ，所以1-2x>0，则，当且仅当 ，即x=0时，等号成立，则， 则函数 的最大值为，故A错误；
对于B，由a+b+c=2，可得a+1+b+c=3，则 ，当且仅当，即a=1，b+c=1时，等号成立，则的最小值是3，故B正确；
对于C，由x+2y+xy=6可得xy=6-(x+2y)
∵，当且仅当x=2y时，取等号
∴
∵x>0，y>0
∴x+2y≥4，当且仅当x=2y=2时，取等号，则x+2y的最小值是4，故C正确；
对于D， ，设，t>0，
原式
，当且仅当，即时，取等号，
∴的最大值为 ，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】根据基本不等式的要求“一正二定三相等”求解即可.
17．【答案】0
【解析】【解答】当时，；
当x，时，由得，
所以（当且仅当，即 时，等号成立）．
所以的最小值为0．
故答案为：0.
【分析】由不等式的性质即可得解．
18．【答案】
【解析】【解答】因为方程 的根为： ， ，所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可.
19．【答案】
【解析】【解答】设 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，解得 或 ，
又由 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
整理得 ，解得 ，
所以 ，即则 的取值范围为 。
故答案为： 。
【分析】设 ，利用 ，可得 ，所以 ，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数t的取值范围，再利用均值不等式求最值的方法得出，再结合一元二次不等式求解集的方法，从求出实数t的取值范围，进而求出 的取值范围。
20．【答案】（1）解：方程 中 ，
原不等式的解集为
（2）解：原不等式可化为 ，方程 中
原不等式的解集为
【解析】【分析】（1）先求对应一元二次方程的根，再结合不等号方向写解集（2）先化简不等式，再根据对应一元二次方程无解，即可确定不等式解集
21．【答案】解：原不等式可化为 ，
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为R；
当 时，不等式的解集为 或 ，
综上可知： 时解集为 或 ； 时解集为R； 时解集为 或
【解析】【分析】先将 因式分解，然后对参数 分类讨论，由此求解出不等式的解集.
22．【答案】（1）依题意有的解集为，
故方程的两根为和t，
故解得
（2）由题（1）及，
得，
令，又因为
得或
当时，有，不等式的解为或.
当时，有，不等式的解为.
当时，有，不等式的解为或
综上所述，当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解为
当时，不等式的解为 或.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，再结合韦达定理得出b，t的值。
（2） 由题（1）及， 得出 ， 再利用已知条件结合分类讨论的方法，再由根与系数的关系和一元二次不等式求解集的方法，从而求出关于的不等式， 其中的解集。
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