人教A版（2019）必修第二册《6.2平面向量的运算》同步练习
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．若向量，，，满足条件，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】解： 向量 ， ， ，
，
，
，
则 ，
则 ，
故答案为：A
【分析】根据向量的坐标运算，求得 ，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
2．已知，是单位向量，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： 且 ，
，即 ，即 ，
有 ，
，
，
故答案为：C
【分析】根据题意得到 ，得到 ，结合向量模的公式，即可求解.
3．如图，在圆中，点，在圆上，，则的值（ ）
A．25 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，则 为 的中点．
在 中， ，
可得 ，
，
故答案为：B
【分析】过点 作 于 ，在 中，得到 ，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
4．已知中，，则（）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： ，
且 ，
所以：
故答案为：B
【分析】化简得到 ，结合 ，即可求解.
5．设，均为单位向量，则“与夹角为”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解： ， 均为单位向量，“ ”，则 ，则 ，则夹角 ，
则“ 与 夹角为 ”是“ ”的充分必要条件，
故答案为：C．
【分析】由 ”，化简得到 ，得到夹角 ，再由“ 与 夹角为 ”得到“ ”结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
6．在锐角中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：以 为原点， 所在直线为 轴建立坐标系，
， ，
，
设
是锐角三角形，
， ，
即 在如图的线段 上 不与 ， 重合 ，
，
则 ，
的范围为 ．
故答案为：A．
【分析】以 为原点， 所在直线为 轴建立坐标系，设 ，根据向量的坐标运算，得到 ，即可求解.
7．（2016高一下·南市期末）已知向量 =（2，1）， =10，| + |= ，则| |=（ ）
A． B． C．5 D．25
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵| + |= ，| |=
∴（ + ）2= 2+ 2+2 =50，
得| |=5
故选C．
【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|= 两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．
8． 是边长为1的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由已知，等边 的边长为 ，向量 ， 满足 ， ，
并且 ， ， ， ．
， ，
，
故答案为：D．
【分析】由 ，得到 ，得出 ， ，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
二、多选题（本大题共5小题，共25分）
9．若，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则存在实数，使得
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于 ：若 ，则 与 夹角为 或 ，
所以 或 ，
而 ，所以 ，A不符合题意；
对于 ：若 ，则 ，
所以 ，即 ，B符合题意；
对于 ：若 ，左右同时平方得 ，
所以 ，即 ，C符合题意；
对于 ：若 ，左右同时平方得 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，则存在实数 ，使得 ，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】由 ，得到 与 夹角为 或 ，得到 或 ，可判定A不符合题意；由 ，化简得到 ，可判定B符合题意；由 ，化简得到 ，可判定C符合题意；由y ，得到 ，可判定D符合题意.
10．若，，为非零向量，且平分与的夹角，则（）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 平分 与 的夹角，所以四边形 为菱形，
所以 ，所以 所以 ，
不能推出 以及
故答案为：BC
【分析】根据题意得到四边形 为菱形，结合菱形的性质和向量的数量积的运算法则，逐项判定，即可求解.
11．设是非零向量，则下列不正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于 选项， ， 选项错误；
对于 选项， 表示与 共线的向量， 表示与 共线的向量，但 与 不一定共线， 选项错误；
对于 选项， ， 选项正确；
对于 选项， ， 选项正确．
故答案为：AB
【分析】根据零向量的性质和向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解.
12．已知在直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，建立以 为原点的的平面直角坐标系，
， ，
， ， ，
，
当 时等号成立 ，
的值可能是 5 ， 6.
故答案为：CD
【分析】建立以 为原点的的平面直角坐标系，求得 ，结合向量模的计算公式，化简得到 ，结合基本不等式，即可求解.
13．如图的方格纸小正方形的边长为中有一个向量以图中的格点为起点，格点为终点，则（）
A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有12个
B．满足的格点共有3个
C．存在格点，使得
D．满足的格点共有4个
【答案】B,C,D
【知识点】向量的几何表示；向量加法的三角形法则；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与 是相反向量的共有18个，故 错误，
以 为坐标原点建立平面直角坐标系如图，
则 ，设 ，若 ，即 ， 且 ， 是整数 ，则 ， ， 共3个，故 正确，
当 ， 时， ，故 正确，
若足 ，则 ， 且 ， 是整数 ，则 ， ， ， ，共4个，故 正确，
故答案为：BCD
【分析】根据图形和相反向量的概念，可判定 错误，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，设 ，根据 ，列出方程求得 ， ， 共3个，可判定 正确，求得的坐标，得出 ，可判定 正确，结合向量的数量积的运算公式，可判定 正确，
三、填空题（本大题共5小题，共25分）
14．已知向量，满足，，与的夹角为，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ，
，
又 ， 与 的夹角为 ，
，
故答案为：
【分析】根据题意求得 ，结合向量的夹角公式求得 ，结合，即可求解.
15．已知平面向量，，满足：，，，则的取值范围是 .
【答案】[0，4]
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
令 ， ，设 ，
所以由 ，可得 ，
所以 ， ， ，
所以
故答案为：
【分析】根据向量的夹角公式求得 ，令 ， ，设 ，由 ，列出方程求得 ，进而求得 的取值范围 .
16．已知向量，满足，，向量与的夹角为，则 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：
【分析】根据题意求得 结合，即可求解.
17．在中，，，角的平分线于边上的中线交于点，，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
角 的平分线与 边上的中线 交于点 ，
由内角平分线定理可得，
，
即有 ，
，
则 ．
故答案为： ．
【分析】在 中，根据内角平分线定理求得 ，结合向量的数量积的公式，求得，进而求得 的值．
18．已知单位向量满足，则的夹角为 ．
【答案】120°
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设 的夹角为 ， ， 单位向量 满足 ，
，即 ，求得 ， ，
故答案为：120°．
【分析】设 的夹角为 ， 根据向量的数量积的运算公式，求得 ，进而求得 的夹角 .
四、解答题（本大题共5小题，共60分）
19．已知向量，满足：，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）解：设向量 与 的夹角为 ，
，
，
，
，
，
（2）解： ，
，
即 ，
解得 ．
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1） 设向量 与 的夹角为 ，根据 ，求得 ，进而求得 求向量与的夹角；
（2） 由 ，得到方程 ，即可求解.
20．已知，，，求：
（1）求与的夹角；
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）解： ，
，又 ， ，
， ， ，
， ，
与 的夹角 ．
（2）解： ，
，
，设 ， 的夹角为 ，由 知 ，
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据题意求得 ，再由 ，利用向量的数量积的公式，化简得到的值，即可求得 与 的夹角；
（2）根据题意求得 ，设 ， 的夹角为 ，由（1）和向量的夹角公式，求得的值.
21．已知平面上三个向量，，的模均为1，它们相互之间的夹角均为．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解： =1， ；
∴ ；
∴ =0
（2）解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ +1+1-k-k-1＞1；
即 -2k＞0；
∴k＜0或k＞2；
∴k的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1） 根据题意得到∴ ，结合向量的数量积的公式，即可求解；
（2） 由题意，结合向量的数量积的公式，化简得到 ，即可求解实数的取值范围.
22．已知的顶点坐标为，，，点的横坐标为14，且，点是边上一点，且．
（1）求实数的值及点、的坐标；
（2）若为线段含端点上的一个动点，试求的取值范围．
【答案】（1）解：设P（14，y），则 =（14，y）， =（-8，-3-y），
∵ = ，∴ ，解得 ，即λ=- ，P（14，-7），
设点Q（a，b），则 ，又 =（12，-16），
∵ =0，∴3a=4b，①
又点Q在边AB上，∴ = ，即3a+b-15=0，②
联立①②，解得a=4，b=3，∴点Q（4，3）
（2）解：∵R为线段OQ上的一个动点，∴设R（，3t），且0≤t≤1，
则 =（-4t，-3t）， =（2-4t，9-3t）， =（6-4t，-3-3t），
.=（8-8t，6-6t），
则 . （ .）=-4t（8-8t）-3t（6-6t）=50 -50t=50（t- ）2- ，
∵0≤t≤1，故 （ ）的取值范围为[- ]
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1） 设P（14，y），根据 ，求得λ，得出点P的坐标，再设点，根据 和向量的数量积的运算公式，得到，再由点Q在边AB上，得出方程3a+b-15=0，联立方程组，即可求解；
（2） 设，得出的坐标，结合向量的数量积的运算公式，化简得到 ，结合二次函数的性质，即可求解.
23．已知平面向量、满足，，且与的夹角为．
（1）若，求实数的值；
（2）求的模．
【答案】（1）解：由 ⊥（k + ），得 （k + ）=0，…（1分）
即k + =0得25k+5×4cos120°=0
解得：k=
（2）解：| +2 |2= +4 +4 =25+4×5×4cos120°+4×4×4=49
故| +2 |=7
【知识点】向量的模；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1） 由，根据，列出方程，即可求解；
（2）由 ，即可求解.
1 / 1人教A版（2019）必修第二册《6.2平面向量的运算》同步练习
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．若向量，，，满足条件，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知，是单位向量，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
3．如图，在圆中，点，在圆上，，则的值（ ）
A．25 B．8 C．10 D．16
4．已知中，，则（）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．设，均为单位向量，则“与夹角为”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在锐角中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2016高一下·南市期末）已知向量 =（2，1）， =10，| + |= ，则| |=（ ）
A． B． C．5 D．25
8． 是边长为1的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共5小题，共25分）
9．若，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则存在实数，使得
10．若，，为非零向量，且平分与的夹角，则（）
A． B．
C． D．
11．设是非零向量，则下列不正确的是（）
A．
B．
C．
D．
12．已知在直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．如图的方格纸小正方形的边长为中有一个向量以图中的格点为起点，格点为终点，则（）
A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有12个
B．满足的格点共有3个
C．存在格点，使得
D．满足的格点共有4个
三、填空题（本大题共5小题，共25分）
14．已知向量，满足，，与的夹角为，则 .
15．已知平面向量，，满足：，，，则的取值范围是 .
16．已知向量，满足，，向量与的夹角为，则 .
17．在中，，，角的平分线于边上的中线交于点，，则 ．
18．已知单位向量满足，则的夹角为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60分）
19．已知向量，满足：，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值．
20．已知，，，求：
（1）求与的夹角；
（2）求与的夹角的余弦值．
21．已知平面上三个向量，，的模均为1，它们相互之间的夹角均为．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
22．已知的顶点坐标为，，，点的横坐标为14，且，点是边上一点，且．
（1）求实数的值及点、的坐标；
（2）若为线段含端点上的一个动点，试求的取值范围．
23．已知平面向量、满足，，且与的夹角为．
（1）若，求实数的值；
（2）求的模．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】解： 向量 ， ， ，
，
，
，
则 ，
则 ，
故答案为：A
【分析】根据向量的坐标运算，求得 ，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： 且 ，
，即 ，即 ，
有 ，
，
，
故答案为：C
【分析】根据题意得到 ，得到 ，结合向量模的公式，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，则 为 的中点．
在 中， ，
可得 ，
，
故答案为：B
【分析】过点 作 于 ，在 中，得到 ，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： ，
且 ，
所以：
故答案为：B
【分析】化简得到 ，结合 ，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解： ， 均为单位向量，“ ”，则 ，则 ，则夹角 ，
则“ 与 夹角为 ”是“ ”的充分必要条件，
故答案为：C．
【分析】由 ”，化简得到 ，得到夹角 ，再由“ 与 夹角为 ”得到“ ”结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：以 为原点， 所在直线为 轴建立坐标系，
， ，
，
设
是锐角三角形，
， ，
即 在如图的线段 上 不与 ， 重合 ，
，
则 ，
的范围为 ．
故答案为：A．
【分析】以 为原点， 所在直线为 轴建立坐标系，设 ，根据向量的坐标运算，得到 ，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵| + |= ，| |=
∴（ + ）2= 2+ 2+2 =50，
得| |=5
故选C．
【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|= 两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．
8．【答案】D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由已知，等边 的边长为 ，向量 ， 满足 ， ，
并且 ， ， ， ．
， ，
，
故答案为：D．
【分析】由 ，得到 ，得出 ， ，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于 ：若 ，则 与 夹角为 或 ，
所以 或 ，
而 ，所以 ，A不符合题意；
对于 ：若 ，则 ，
所以 ，即 ，B符合题意；
对于 ：若 ，左右同时平方得 ，
所以 ，即 ，C符合题意；
对于 ：若 ，左右同时平方得 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，则存在实数 ，使得 ，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】由 ，得到 与 夹角为 或 ，得到 或 ，可判定A不符合题意；由 ，化简得到 ，可判定B符合题意；由 ，化简得到 ，可判定C符合题意；由y ，得到 ，可判定D符合题意.
10．【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 平分 与 的夹角，所以四边形 为菱形，
所以 ，所以 所以 ，
不能推出 以及
故答案为：BC
【分析】根据题意得到四边形 为菱形，结合菱形的性质和向量的数量积的运算法则，逐项判定，即可求解.
11．【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的性质；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于 选项， ， 选项错误；
对于 选项， 表示与 共线的向量， 表示与 共线的向量，但 与 不一定共线， 选项错误；
对于 选项， ， 选项正确；
对于 选项， ， 选项正确．
故答案为：AB
【分析】根据零向量的性质和向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解.
12．【答案】C,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，建立以 为原点的的平面直角坐标系，
， ，
， ， ，
，
当 时等号成立 ，
的值可能是 5 ， 6.
故答案为：CD
【分析】建立以 为原点的的平面直角坐标系，求得 ，结合向量模的计算公式，化简得到 ，结合基本不等式，即可求解.
13．【答案】B,C,D
【知识点】向量的几何表示；向量加法的三角形法则；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与 是相反向量的共有18个，故 错误，
以 为坐标原点建立平面直角坐标系如图，
则 ，设 ，若 ，即 ， 且 ， 是整数 ，则 ， ， 共3个，故 正确，
当 ， 时， ，故 正确，
若足 ，则 ， 且 ， 是整数 ，则 ， ， ， ，共4个，故 正确，
故答案为：BCD
【分析】根据图形和相反向量的概念，可判定 错误，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，设 ，根据 ，列出方程求得 ， ， 共3个，可判定 正确，求得的坐标，得出 ，可判定 正确，结合向量的数量积的运算公式，可判定 正确，
14．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ，
，
又 ， 与 的夹角为 ，
，
故答案为：
【分析】根据题意求得 ，结合向量的夹角公式求得 ，结合，即可求解.
15．【答案】[0，4]
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
令 ， ，设 ，
所以由 ，可得 ，
所以 ， ， ，
所以
故答案为：
【分析】根据向量的夹角公式求得 ，令 ， ，设 ，由 ，列出方程求得 ，进而求得 的取值范围 .
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：
【分析】根据题意求得 结合，即可求解.
17．【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
角 的平分线与 边上的中线 交于点 ，
由内角平分线定理可得，
，
即有 ，
，
则 ．
故答案为： ．
【分析】在 中，根据内角平分线定理求得 ，结合向量的数量积的公式，求得，进而求得 的值．
18．【答案】120°
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设 的夹角为 ， ， 单位向量 满足 ，
，即 ，求得 ， ，
故答案为：120°．
【分析】设 的夹角为 ， 根据向量的数量积的运算公式，求得 ，进而求得 的夹角 .
19．【答案】（1）解：设向量 与 的夹角为 ，
，
，
，
，
，
（2）解： ，
，
即 ，
解得 ．
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1） 设向量 与 的夹角为 ，根据 ，求得 ，进而求得 求向量与的夹角；
（2） 由 ，得到方程 ，即可求解.
20．【答案】（1）解： ，
，又 ， ，
， ， ，
， ，
与 的夹角 ．
（2）解： ，
，
，设 ， 的夹角为 ，由 知 ，
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据题意求得 ，再由 ，利用向量的数量积的公式，化简得到的值，即可求得 与 的夹角；
（2）根据题意求得 ，设 ， 的夹角为 ，由（1）和向量的夹角公式，求得的值.
21．【答案】（1）解： =1， ；
∴ ；
∴ =0
（2）解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ +1+1-k-k-1＞1；
即 -2k＞0；
∴k＜0或k＞2；
∴k的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1） 根据题意得到∴ ，结合向量的数量积的公式，即可求解；
（2） 由题意，结合向量的数量积的公式，化简得到 ，即可求解实数的取值范围.
22．【答案】（1）解：设P（14，y），则 =（14，y）， =（-8，-3-y），
∵ = ，∴ ，解得 ，即λ=- ，P（14，-7），
设点Q（a，b），则 ，又 =（12，-16），
∵ =0，∴3a=4b，①
又点Q在边AB上，∴ = ，即3a+b-15=0，②
联立①②，解得a=4，b=3，∴点Q（4，3）
（2）解：∵R为线段OQ上的一个动点，∴设R（，3t），且0≤t≤1，
则 =（-4t，-3t）， =（2-4t，9-3t）， =（6-4t，-3-3t），
.=（8-8t，6-6t），
则 . （ .）=-4t（8-8t）-3t（6-6t）=50 -50t=50（t- ）2- ，
∵0≤t≤1，故 （ ）的取值范围为[- ]
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1） 设P（14，y），根据 ，求得λ，得出点P的坐标，再设点，根据 和向量的数量积的运算公式，得到，再由点Q在边AB上，得出方程3a+b-15=0，联立方程组，即可求解；
（2） 设，得出的坐标，结合向量的数量积的运算公式，化简得到 ，结合二次函数的性质，即可求解.
23．【答案】（1）解：由 ⊥（k + ），得 （k + ）=0，…（1分）
即k + =0得25k+5×4cos120°=0
解得：k=
（2）解：| +2 |2= +4 +4 =25+4×5×4cos120°+4×4×4=49
故| +2 |=7
【知识点】向量的模；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1） 由，根据，列出方程，即可求解；
（2）由 ，即可求解.
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