学案4 共点力的平衡及其应用（一）
[学习目标定位] 1.理解共点力作用下物体平衡状态的概念，能推导出共点力作用下物体的平衡条件.2.会用共点力平衡条件解决有关共点力的平衡问题.3.掌握解决共点力平衡的几种常用方法．
一、平衡状态
如果物体保持静止或匀速直线运动状态，就说物体处于平衡状态．
二、平衡状态的条件
1．受二力作用的物体处于平衡状态，物体所受合力为零，即F合＝0.
2．物体受三个共点力平衡时，其中两个力F1、F2的合力F′与第三个力F3等大反向，则F′与F3的合力也为零，即三个力F1、F2、F3的合力为零．
3．物体在多个共点力作用下平衡时，合力总等于零.
一、生活离不开平衡
[问题设计]
桌子上放着的杯子、天花板上吊着的吊灯、在平直铁轨上匀速行驶的火车中的乘客等都处于平衡状态，你能总结“平衡状态”的含义吗？
答案 如果物体保持静止或匀速直线运动状态，就说物体处于平衡状态．这里包括速度恒为零的静止状态，它是一种静态的平衡；也包括运动的平衡，即速度不为零，但大小、方向都不变的匀速直线运动状态．
[要点提炼]
1．平衡状态：(1)保持静止状态；(2)保持匀速直线运动状态．
2．对平衡状态的理解
(1)共点力作用下物体处于平衡状态的运动学特征：加速度为零．
(2)“保持”某状态与“瞬时”某状态的区别，例如：做自由落体运动的物体开始运动时，这一瞬间的速度为零，但这一状态不能“保持”，因而不属于平衡状态．
二、从二力平衡到共点力平衡
[问题设计]
二至三人合作，用三个测力计拉住小环O，使小环保持静止，如图1所示，记下三个测力计的拉力的方向及大小，用力的图示法在纸上表示出各个力，请先研究其中某两个力的合力跟第三个力的关系，然后找出三个共点力平衡时满足的条件．
图1
答案 用平行四边形定则作出F1、F2的合力F，如图所示，F3与F等大反向．
同理可发现：F2与F3的合力与F1等大反向，F1与F3的合力也与F2等大反向．
所以一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的合力为零．
[要点提炼]
1．平衡条件：(1)F合＝0(或加速度a＝0)
(2)
2．平衡条件的四个常用结论
(1)二力作用平衡时，二力等大、反向．
(2)三力作用平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
(3)多力作用平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向．
(4)物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零．
[延伸思考]
物体速度为0时，一定处于静止状态吗？
答案 不一定．静止状态是v＝0，F合＝0，两者应同时成立．若v＝0，F合≠0，处于非平衡状态，不是静止状态．
一、对平衡状态的理解
例1 物体在共点力作用下，下列说法中正确的是( )
A．物体的速度在某一时刻等于零，物体就一定处于平衡状态
B．物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C．物体所受合力为零，就一定处于平衡状态
D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
解析 处于平衡状态的物体，从运动形式上看是始终处于静止或匀速直线运动状态，从受力上来看是物体所受合力为零．
答案 C
二、共点力平衡条件的简单应用
例2 如图2所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个力的作用下处于静止状态，若F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合力大小为( )
图2
A. B.
C．F4 D.F4
解析 由共点力的平衡条件可知，F1、F2、F3的合力应与F4等大反向，当F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变时，F1、F2、F3的合力的大小仍为F4，但方向与F4成120°角，由平行四边形定则可得，此时物体所受的合力大小为F4，所以本题正确的选项应为C.
答案 C
三、利用正交分解法求解共点力的平衡问题
例3 拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图3所示)．设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小．
图3
解析 设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把．将拖把受到的力沿竖直和水平方向分解，根据平衡条件有
Fcos θ＋mg＝N
Fsin θ＝f
式中N和f分别为地板对拖把的支持力和摩擦力，又因为
f＝μN
联立以上三式得
F＝
答案
针对训练 如图4所示，重为500 N的人用跨过定滑轮的轻绳牵引重200 N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止．不计滑轮与绳的摩擦．求地面对人的支持力和摩擦力．
图4
解析 人和物体静止，所受合力皆为零，对物体进行受力分析可得，绳的拉力F′等于物重200 N；人受绳的拉力F大小与F′相同，则F＝F′＝200 N.
如图所示，以人为研究对象，将绳的拉力分解得
水平分力Fx＝Fcos 60°
＝200× N＝100 N
竖直分力Fy＝Fsin 60°
＝200× N＝100 N
在x轴上，f与Fx二力平衡，
所以静摩擦力f＝Fx＝100 N，
在y轴上，三力平衡得地面对人的支持力
N＝G－Fy＝(500－100) N＝100(5－) N.
答案 100(5－) N 100 N
共点力作用下物体的平衡
1．(对平衡状态的理解)下列物体中处于平衡状态的是( )
A．静止在粗糙斜面上的物体
B．沿光滑斜面下滑的物体
C．在平直路面上匀速行驶的汽车
D．做自由落体运动的物体在刚开始下落的瞬间
答案 AC
解析 在共点力的作用下，物体如果处于平衡状态，则该物体必同时具有以下两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动状态，加速度为零；从受力情况来说，合力为零．物体在某一时刻的速度为零，并不等同于这个物体保持静止，如果物体所受的合力不为零，它的运动状态就要发生变化，在下一个瞬间就不是静止的了，所以物体是否处于平衡状态要由物体所受的合力和加速度判断，而不能认为物体某一时刻速度为零，就是处于平衡状态，本题的正确选项应为A、C.
2．(共点力平衡条件的简单应用)人站在自动扶梯上随扶梯匀速上升，如图5所示，下列说法正确的是( )
图5
A．人所受合力方向同图中速度的方向
B．人在水平方向受到向右的摩擦力的作用
C．人只在竖直方向受力且合力为零
D．人在竖直方向所受合力不为零
答案 C
3．(利用正交分解法处理共点力的平衡问题)如图6所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿水平地面做匀速直线运动，物体与地面间的动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为( )
图6
A．Fsin θ B．Fcos θ
C．μ(Fsin θ＋mg) D．μ(mg－Fsin θ)
答案 BC
解析 先对物体进行受力分析，如图所示，然后把力F进行正交分解，F产生两个效果：使物体水平向前F1＝Fcos θ，同时使物体压紧水平地面F2＝Fsin θ.由力的平衡可得F1＝f，F2＋G＝N，又滑动摩擦力f＝μN，则f＝Fcos θ＝μ(Fsin θ＋mg)，故选B、C.
4．(利用正交分解法处理共点力的平衡问题)物体A在水平力F1＝400 N的作用下，沿倾角θ＝60°的斜面匀速下滑(如图7所示)．物体A受到的重力mg＝400 N，求物体A与斜面间的动摩擦因数μ.
图7
解析 取物体A为研究对象，它在四个力的作用下处于平衡状态，根据受力情况，建立直角坐标系如图所示．
根据平衡条件可得：
f＋F1cos θ－mgsin θ＝0，
N－F1sin θ－mgcos θ＝0.
又f＝μN，
联立以上各式，代入数据解得：
μ≈0.27.
答案 0.27
4.3 共点力的平衡及其应用（一） 每课一练（沪科版必修1）
题组一 对平衡状态和共点力平衡条件的理解
1．关于物体的平衡，下列说法正确的是( )
A．如果物体所受合力等于零，则一定处于静止状态
B．如果物体所受合力等于零，则一定处于匀速直线运动状态
C．只要物体速度等于零，物体就处于平衡状态
D．如果物体受到共点力作用而处于平衡状态，则合力一定为零
答案 D
解析 物体所受合力等于零，则物体处于静止状态或匀速直线运动状态，因此，A、B均错；物体速度为零时，合力可能不为零，如竖直上抛物体到达最高点的瞬间，故C错．
2．一个物体在三个力的作用下处于平衡状态，则( )
A．三个力的合力可能不为零
B．三个力的合力一定为零
C．三个力一定是共点力
D．三个力可以不是共点力
答案 BC
3．某物体受四个力的作用而处于静止状态，保持其他三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力的方向转过90°，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上一个大小为多少的力( )
A．F B.F C．2F D．3F
答案 B
题组二 共点力平衡条件的简单应用
4．如图1所示，一重为10 N的球固定在支杆AB的上端，今用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为7.5 N，则AB杆对球的作用力( )
图1
A．大小为7.5 N
B．大小为10 N
C．方向与水平方向成53°角斜向右下方
D．方向与水平方向成53°角斜向左上方
答案 D
解析 小球受力如图所示，则F2sin α＝G，F2cos α＝F1，tan α＝＝，α＝53°，F2＝＝ N＝12.5 N.
5．如图2所示，物体M放在水平面上受到两个水平力的作用，F1＝4 N，F2＝8 N，物体处于静止状态．如果将水平力F1增加5 N，则( )
图2
A．物体M仍处于静止
B．物体M受到的合力方向向左
C．物体M受到的合力方向向右
D．物体M受到的摩擦力等于5 N
答案 A
解析 据题意可知，当F1＝4 N，F2＝8 N时，物体处于静止状态，即物体所受最大静摩擦力的最小值应为F2－F1＝(8－4) N＝4 N．如果将F1增加5 N，则F1′＝(4＋5) N＝9 N．显然F1′－F2＝(9－8) N＝1 N，小于最大静摩擦力，故物体仍处于静止状态，所受静摩擦力为1 N，方向与F1′的方向相反，物体所受合力为零，故A选项正确．
6．如图3所示，物体M在斜向右下方的推力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动，则推力F和物体M受到的摩擦力的合力方向( )
图3
A．竖直向下 B．竖直向上
C．斜向下偏左 D．斜向下偏右
答案 A
解析 物体M受四个力作用(如图所示)，
支持力N和重力G的合力一定在竖直方向上，由平衡条件知，摩擦力f和推力F的合力与支持力N和重力G的合力必定等大反向，故f与F的合力方向竖直向下．
题组三 利用正交分解法处理共点力的平衡问题
7.如图4所示，一物体放在水平地面上，对物体施加一个倾角为θ的斜向右上方的力F，当这个力从零开始逐渐增大时，物体受到的摩擦力将( )
图4
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先逐渐增大，后又减小 D．先逐渐减小，后又增大
答案 C
解析
对物体进行受力分析，如图所示，将F进行正交分解，可得F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ.在F较小时，物体不运动，摩擦力f是静摩擦力，其大小应为f＝F1＝Fcos θ.所以F增大时，f也增大．在F较大时，物体发生了运动，静摩擦力变为滑动摩擦力，其大小应为f′＝μN，又由竖直方向受力平衡，有N＋F2＝G，所以N＝G－F2＝G－Fsin θ.滑动摩擦力的大小f′＝μ(G－Fsin θ)，所以当F增大时，f′减小．
8.小船用绳索拉向岸边，如图5所示，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是( )
图5
A．绳子的拉力T不断增大
B．绳子的拉力T不变
C．船的浮力减小
D．船的浮力增大
答案 AC
解析 如图所示，小船受四个力的作用而匀速前进，水平方向：f＝Tcos θ，
竖直方向：Tsin θ＋F浮＝mg
当θ角增大时，由于f不变，则拉力T增大，浮力F浮减小．
9.如图6所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，质量为m的物体受外力F1和F2的作用，F1方向水平向右，F2的方向竖直向上．若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是( )
图6
A．F1sin θ＋F2cos θ＝mgsin θ，F2≤mg
B．F1cos θ＋F2sin θ＝mgsin θ，F2≤mg
C．F1sin θ－F2cos θ＝mgsin θ，F2≤mg
D．F1cos θ－F2sin θ＝mgsin θ，F2≤mg
答案 B
解析 物体静止在斜面上应有F2≤mg，受力如图所示，x方向：F2sin θ＋F1cos θ＝mgsin θ，故B对，D错．y方向：F2cos θ＋N＝F1sin θ＋mgcos θ，因N≥0，则F2cos θ≤F1sin θ＋mgcos θ，故A、C都错．
题组四 综合应用
10．用轻弹簧竖直悬挂质量为m的物体，静止时弹簧伸长量为L.现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L.斜面倾角为30°，如图7所示．则物体所受摩擦力( )
图7
A．等于零
B．大小为mg，方向沿斜面向下
C．大小为mg，方向沿斜面向上
D．大小为mg，方向沿斜面向上
答案 A
解析 设弹簧的劲度系数为k，竖直悬挂时
kL＝mg，①
将物体放在斜面上时，设摩擦力为f，根据物体的平衡条件得
kL＋f＝2mgsin 30°＝mg.②
由①②两式得：f＝0，选项A正确．
11．如图8所示，物体的质量m＝4.4 kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10 N/kg，求推力F的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图8
答案 88 N或40 N
解析 若物体向上做匀速直线运动，则受力如图甲所示．
Fcos θ＝mg＋f
Fsin θ＝N
f＝μN
故推力F＝＝ N＝88 N
若物体向下做匀速直线运动，受力如图乙所示．
Fcos θ＋f＝mg
Fsin θ＝N
f＝μN
故推力F＝＝ N＝40 N
12．跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上(如图9所示)．已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ图9
答案 m(sin θ－μcos θ)≤mB≤m(sin θ＋μcos θ)
解析 先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力T的作用，根据平衡条件有T＝mBg①
再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和静摩擦力f作用．假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的向下的静摩擦力最大，设最大静摩擦力为fmax，这时A的受力情况如图所示，根据平衡条件有
N－mgcos θ＝0②
T－fmax－mgsin θ＝0③
由摩擦力公式知fmax＝μN④
①②③④四式联立，解得mB＝m(sin θ＋μcos θ)
再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的向上的静摩擦力最大，根据平衡条件有
N－mgcos θ＝0⑤
T＋fmax′－mgsin θ＝0⑥
由摩擦力公式知fmax′＝μN⑦
①⑤⑥⑦四式联立，解得mB＝m(sin θ－μcos θ)
综上所述，物体B的质量的取值范围是
m(sin θ－μcos θ)≤mB≤m(sin θ＋μcos θ)
