济宁一中2015届高三上学期第四次月考理科数学

济宁一中2012级2014---2015年度上学期第四次月考
数学试卷（理科）
命题人：马旭 审题人：苏士星
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1. 已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知（），其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3. 若是第三象限角，且，则（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
4. 已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件是（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
5. 在正项等比数列中，，则的值是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知向量,,,则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7. 已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝
8. 中，,设点满足
若,则 （ ）
A. B. C. D.
9. 满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，
则实数的值为 ( )
A.或 B.或 C.或 D.或
对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数 时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是 ( )
A.个 B.个 C.个 D.个
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11.曲线与直线围成的封闭图形的面积为 .
12. 过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____ ____．
13. 在中，分别是内角的对边，已知，则.
14.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
15.给出下列命题：①函数在区间[1,3]上是增函数；
②函数的零点有3个；
③不等式恒成立，则；
④已知则
⑤ 是函数为偶函数的一个充分不必要条件.
其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上） .
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）
已知递增等比数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
17.（本小题满分12分）
已知向量，．
(1)当时，求的值；
(2)设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，，，求（）的取值范围.
18.（本小题满分12分）
北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不
低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
19.（本小题满分12分）
在长方体ABCD- A1B1C1D1中,AD＝１,AA1＝AB＝２．点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点．
(1)当E点是AB中点时,求证：直线ME‖平面ADD1 A1；
(2)若二面角A- D1Ｅ-Ｃ的余弦值为．求线段AE的长．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为
(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;
(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.
21.（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求在区间上的最小值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，有恒成立，求的取值范围．
济宁一中2012级高三上学期第四次月考答案（理）
一． 1.C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A 7.A 8.A 9.B 10.B
二、11. 12. 2 13.6 14. 15.②③⑤
三、
16.解：（1）设公比为q，由题意：q>1, ，则，，
∵，∴
则 解得： 或（舍去），∴
（2）
17.解：（2）
解析：（1）

（2）+
由正弦定理得或
因为，所以
,,
所以
18.解：(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．
由于＋x≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
19. （1）证明：取的中点N，连结MN、AN、，
MN∥，AE∥，
四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN
，
∥平面.
（2）解：设 ，如图建立空间直角坐标系
，
平面的法向量为，由 及得
平面的法向量为，由 及得
，即，解得所以
20.解：(1)设椭圆的方程为.
根据题意知, 解得,
故椭圆的方程为.
(2)容易求得椭圆的方程为.
当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由 得.
设,则

因为,所以,即


,
解得,即.
故直线的方程为或.
21.解：（Ⅰ）当时，，
∴．
∵的定义域为，∴由 得由 得．.2分
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴ ． .............4分
（Ⅱ）．
①当，即时，在单调递减；.......5分
②当时，在单调递增； .........6分