2023-2024学年人教版（2012）九年级上册第二十二章二次函数单元测试卷(含答案)

2023-2024学年 人教版（2012）九年级上册 第二十二章 二次函数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数图象如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
3．已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为：（ ）
A． B．或
C．或 D．或
4．抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．如果将抛物线向左平移1个单位，那么得到的新抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线（m为常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点，则的面积S的大小为（ ）
A．3 B．6 C．15 D．30
7．二次函数大致图象如图所示，其中图象过顶点，下列结论错误的是（）

A．
B．
C．若方程有四个根，则这四个根的和为
D．若方程有两根为和，且，则
8．若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的的取值范围是 ．

10．已知二次函数在时有最小值，则 ．
11．定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．

12．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ．

13．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ．
14．如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离 米．

三、问答题
15．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当线段长度是线段长度的倍时，求点的横坐标；
(3)如图，当点运动到抛物线顶点时，点是轴上的动点，连接，过点作直线，连接并延长交直线于点，当时，请直接写出点的坐标．
16．将抛物线：向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线，的解析式；
(2)如图，点在抛物线上（对称轴右侧），点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出，，，比较大小即可．
【详解】解：、、三点都在函数的图象上，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，求出，，的值是解题的关键，本题也可以根据各点到对称轴的距离判断．
2．D
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由抛物线的开口方向向下可推出；
因为对称轴在y轴左侧，对称轴为，
∴；
∵抛物线经过原点，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于简单题，熟悉二次函数的图象是解题关键．
3．D
【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴，
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴解得；
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，，
∴解得，
∴，
∴综上所述，
当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
4．B
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数图象平移的性质，即可求解．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为．
故选：C
【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律．掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．
6．C
【分析】将点代入中，求出抛物线解析式为，分别求出点A，B，C的坐标，再利用面积公式计算．
【详解】解：将点代入中，得，
得，
∴抛物线解析式为，
当时，，解得，∴，
当时，，∴，
∴的底边，高为6，
∴的面积，
故选：C．
【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，求三角形的面积，正确掌握待定系数法求函数解析式及与函数图象坐标轴的交点坐标是解题的关键．
7．C
【分析】抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，即可求解；
当时，即可求解；若方程，即：若方程，当时，由一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为，即可求解；，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，即可求解；
【详解】解：∵顶点为，设二次函数表达式为：，
抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，则，故A正确；
函数图象过顶点，故当时，
，故B正确；
若方程，即：若方程，当时，根据一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为，
同理当时，其两个根的和也为，则这四个根的和为，故C错误．
方程有两根为和，相当于与x轴两个交点的横坐标，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，故有两个根和，且，则，D正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴交点，一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
8．A
【分析】由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，便可得出，，的大小关系．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为，
∵，
∴当，随的增大而增大，
∵，，， ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数的增减性比较二次函数值的大小．
9．或
【分析】根据函数图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，或时，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，掌握数形结合是解题的关键．
10．3或
【分析】对称轴为：，分类讨论：当时，在中，时；当时，在中，时，将其带入原函数即可求解．
【详解】解：对称轴为：，
当时，在中，时，有最小值，则，
解得：；
当时，在中，时，有最小值，则，
解得：；
综上所述：的值为3或，
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的增减性，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
11．
【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴点的坐标为，
∵点恰好是抛物线的顶点，
∴，
∴，，
即：抛物线为，则，解得：或，
∴抛物线与直线的交点为，，
∴此时抛物线关于直线的割距是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标．
12．/
【分析】抛物线与直线相交及抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：由图可知，当或时，抛物线与直线相交，
当时，抛物线在直线下方，
∴的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用图象法求不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．
13．
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可解答．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数图象的平移规律．
14．11
【分析】求出抛物线与x轴的交点A的坐标即可解答．
【详解】解：对于，令，则，
解得：，（舍），
∴，
∴米．
故答案为：11．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．求出抛物线与x轴的交点A的坐标是解题关键．
15．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，则，，则，由列出等式，即可求解；
（3）设，过点作轴交于点，通过证明，求出，再求直线的解析式，进而求解．
【详解】（1）将点，点代入，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）点，点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，，
，
，
，
解得：
；
（3）由抛物线的表达式知，，
轴，
，
设，
如图：过点作轴交于点，

，
，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
将点代入，，
解得：，
或
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．(1)，
(2)点的坐标为或
【分析】（1）根据二次函数的平移规律，上加下减（值），左加右减（值），直接写出平移后的解析式；
（2）过点作轴于点，过点作的延长线于点，设点的横坐标为，则纵坐标为，，，再证明，可得，进而得到关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：抛物线：向下平移6个单位长度得到抛物线，
，
将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，
；
（2）解：如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点，
设点，则，，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得：或或或，
由图象可知，，
或不符合题意，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
答案第1页，共2页
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