学案6 章末总结
一、解共点力平衡问题的一般步骤
1．选取研究对象．
2．对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力分析图．
3．对研究对象所受的力进行处理，一般情况下，需要建立合适的直角坐标系，对各力沿坐标轴进行正交分解．
4．建立平衡方程，若各力作用在同一直线上，可直接用F合＝0的代数式列方程，若几个力不在同一直线上，可用Fx合＝0与Fy合＝0，联立列出方程组．
5．对方程求解，必要时需对解进行讨论．
例1 如图1所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量m＝ kg，斜面倾角θ＝30°，悬线与竖直方向夹角α＝30°，求：(g取10 m/s2)
图1
(1)悬线对小球拉力的大小；
(2)小球对斜面的压力大小．
解析 对小球进行受力分析，小球受重力、斜面支持力和轻绳拉力，沿斜面和垂直斜面建立直角坐标系，将拉力和重力正交分解，由平衡条件得mgsin θ＝Tcos (60°－α)①
mgcos θ＝Tsin (60°－α)＋N②
联立①②式，解得T＝10 N，N＝10 N.
答案 (1)10 N (2)10 N
针对训练 如图2所示，与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m＝1.0 kg的物体．细绳的一端通过摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧测力计相连．物体静止在斜面上，弹簧测力计的示数为6.0 N．取g＝10 m/s2，求物体受到的摩擦力和支持力．
图2
答案 摩擦力大小为1 N，方向沿斜面向下
支持力大小为5 N，方向垂直于斜面向上
解析 物体受力情况如图所示
物体重力沿斜面方向向下的分量Gx＝mgsin 30°＝5.0 N＜弹簧的拉力F
故摩擦力沿斜面向下
根据共点力平衡：F＝mgsin 30°＋f，N＝mgcos 30°
解得：f＝1 N，方向沿斜面向下
N＝5 N，方向垂直于斜面向上
二、力的合成法、效果分解法及正交分解法处理多力平衡问题
物体在三个力或多个力作用下的平衡问题，一般会用到力的合成法、效果分解法和正交分解法，选用的原则和处理方法如下：
1．力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要合成的两个力；
(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力；
(3)根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大反向)；
(4)根据三角函数或勾股定理解三角形．
2．力的效果分解法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要分解的力；
(2)按实际作用效果确定两分力的方向；
(3)沿两分力方向作平行四边形；
(4)根据平衡条件确定分力及合力的大小关系；
(5)用三角函数或勾股定理解直角三角形．
3．正交分解法——一般用于受力个数较多时
(1)建立坐标系；
(2)正交分解各力；
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解．
例2 如图3所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O.轻绳OB水平且B端与放置在水平面上的质量为m2的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲、乙均处于静止状态．(已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，tan 37°＝0.75，g取10 N/kg)求：
图3
(1)轻绳OA、OB受到的拉力各多大？(试用三种方法求解)
(2)物体乙受到的摩擦力多大？方向如何？
解析 (1)方法一：对结点O进行受力分析(如图)，把FA与FB合成，
则F＝m1g
所以FA＝＝m1g
FB＝m1gtan θ＝m1g
故轻绳OA、OB受到的拉力大小分别等于FA、FB，即m1g、m1g
方法二：把甲对O点的拉力按效果分解为FOA和FOB，如图所示
则FOA＝＝m1g，FOB
＝m1gtan θ＝m1g.
方法三：把OA绳对结点O的拉力FA进行正交分解，如图所示．
则有FAsin θ＝FB
FAcos θ＝m1g
解得FA＝m1g，FB＝m1g
(2)对乙受力分析有f＝FB＝m1g
方向水平向左
答案 (1)m1g m1g (2)m1g 方向水平向左
1.(按效果分解法解共点力平衡问题)如图4所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球被竖直的木板挡住，不计摩擦，则球对挡板的压力是( )
图4
A．mgcos α B．mgtan α
C. D．mg
答案 B
解析 重力产生两个效果，即使球压紧挡板的力F1′和使球压紧斜面的力F2′
解三角形得F1′＝mgtan α.
2.(力的合成法解共点力平衡问题)如图5所示，用不可伸长的轻绳AC和BC吊起一质量不计的沙袋，绳AC和BC与天花板的夹角分别为60°和30°.现缓慢往沙袋中注入沙子．重力加速度g取10 m/s2，＝1.73.
图5
(1)当注入沙袋中沙子的质量m＝10 kg时，求绳AC和BC上的拉力大小TAC和TBC.
(2)若AC能承受的最大拉力为150 N，BC能承受的最大拉力为100 N，为使绳子不断裂，求注入沙袋中沙子质量的最大值M.
答案 (1)86.5 N 50 N (2)17.3 kg
解析 受力图如图所示
(1)G＝mg
TAC＝Gcos 30°＝86.5 N
TBC＝Gcos 60°＝50 N
(2)因为TAC/TBC＝
而TACmax＝150 N TBCmax＝100 N
所以AC更容易被拉断
TACmax＝Mg/2＝150 N
所以M＝10 kg＝17.3 kg
3.(正交分解法解共点力平衡问题)如图6所示，一质量为6 kg的物块，置于水平地面上，物块与地面间的动摩擦因数为0.5，然后用两根轻绳分别系在物块的A点和B点，A绳水平，B绳与水平面成θ＝37°，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2
图6
(1)逐渐增大B绳的拉力，直到物块对地面的压力恰好为零，则此时A绳和B绳的拉力分别是多大？
(2)将A绳剪断，为了使物块沿水平面做匀速直线运动，在不改变B绳方向的情况下，B绳的拉力应为多大？
答案 (1)80 N 100 N (2)27.3 N
解析 (1)FA＝mg/tan θ＝80 N
FB＝mg/sin θ＝100 N
(2)物块受力如图所示，水平方向：f＝FB′cos θ
竖直方向：FB′sin θ＋N＝mg
得N＝mg－FB′sin θ
f＝μN
得FB′cos θ＝μ(mg－FB′sin θ)
解得FB′≈27.3 N
4．(解共点力平衡问题的一般步骤)一物体置于粗糙的斜面上，给该物体施加一个平行于斜面的力，当此力为100 N且沿斜面向上时，物体恰能沿斜面向上匀速运动；当此力为20 N且沿斜面向下时，物体恰能沿斜面向下匀速运动．求施加此力前物体在斜面上受到的摩擦力．
答案 40 N
甲
解析 物体沿斜面向上匀速运动时，受力分析如图甲所示．
由共点力的平衡条件得
x轴：F1－f1－mgsin α＝0
y轴：mgcos α－N1＝0
又f1＝μN1
物体沿斜面向下匀速运动时，受力分析如图乙所示．
由共点力的平衡条件得
乙
x轴：f2－F2－mgsin α＝0
y轴：mgcos α－N2＝0
又f2＝μN2，f1＝f2＝f
以上各式联立得：f1＝f2＝f＝
代入数据得：f＝ N＝60 N，mgsin α＝40 N
当不施加此力时，物体受重力沿斜面向下的分力mgsin α故物体静止在斜面上，受到的静摩擦力f′＝mgsin α＝40 N.
