2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.3 比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2015九下·海盐期中）如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=，若AE=5，则EC的长度为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴AC=15．
∴EC=AC﹣AE=15﹣5=10．
故选A．
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由DE∥BC得到，于是可计算出AC的长，然后利用EC=AC﹣AE进行计算即可．
2．（2017·七里河模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，
∴ = ，即 = ，解得DF=4.5．
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；求出DF的值即可.
3．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．6
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴，
而AD：DF：FB=3：2：1，
∴，
∴，
∴EC=9．
故选A．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，再利用比例性质由AD：DF：FB=3：2：1得，则，然后把AG=15代入计算即可．
4．（2017·黑龙江模拟）如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC交GA于点E，
∴ ， ， ，
A，B，D正确，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例），得到比例，判断即可.
5．如图，直线 ，直线AC分别交 ， ， 于点A，B，C，直线DF分别交 ， ， 于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AG=2，GB=1，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
故答案为：D
【分析】先求出AB的长，再根据平行线分线段成比例，可得出DE：EF=AB：BC，即可解答。
6．（2016九下·广州期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故选：B．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．
7．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E．若=，AE=6，则EC的长为（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
∵DE∥BC，
∴，
∵，AE=6，
∴EC=9．
故选B．
【分析】如图，直接运用平行线分线段成比例定理列出比例式，借助已知条件求出EC，即可解决问题．
8．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处
∴AM=A′M，
又∵A′为MN的中点，
∴AM=A′M=A′N，
∵DE∥AC，
∴ = ，
∵△ABC是等边三角形，BC=6，
∴BC=AC，
∴ =
∴AE=2，
∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，
∴∠MAE=30°，
∴AM= ，ME=1，
∴DE=2，
∴△ADE的面积= DE AM= × ×2= ，
故答案为：A
【分析】利用折叠的性质，可得出AM=A′M，再由DE∥AC，可得出AM：AN=AE：AC，求出AE、AM、ME的长，然后利用△ADE的面积= DE AM，可求解。
二、填空题
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例，可求出EC的长，再由AC=AE+EC，即可解答。
10．如图，在△ABC中，若DE∥BC， = ，DE=4，则BC的长是 ．
【答案】10cm
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
又∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴BC=10cm．
故答案为：10cm
【分析】利用平行线分线段成比例，的长对应线段成比例，结合已知可求出BC的长。
11．图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm．
【答案】12
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴ ，
即 ，
∴BC=12cm．
故答案为：12
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，利用平行线分线段成比例，可得出AB：BC=AD：DE，代入计算可求出BC的长。
12．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， = ，DE=6，则EF= ．
【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ = ，即 = ，
∴EF=9．
故答案为9
【分析】根据已知AD∥BE∥CF，可得出AB、BC、DE、EF四条线段成比例，代入计算可求出EF的长。
13．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为 ．
【答案】2+
【知识点】平行线分线段成比例；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，
∵D'C=4，
∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，
∵DE∥AC，
∴ = ，即 = ，
解得BC=2+ （负值已舍去），
即BC的长为2+ ．
故答案为：2+ ．
【分析】利用旋转的性质，可得出BE=BE'=5，BD=BD'，再根据平行线分线段成比例，得出对应相等成比例，然后代入计算可求出BC的长。
14．在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，过点A作平行于BC的直线分别交CD和BE的延长线于点M，N，若DE=2，BC=6，则MN= ．
【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，DE=2，BC=6，
∴AE：AC=AD：AB=DE：BC=1：3．
∴CE：AC=2：3，BD：AB=2：3，
∵DE∥MN，
∴AN=3，AM=3，
∴MN=AN+AM=6．
故答案为：6
【分析】利用平行线分线段成比例，可得出AE：AC=AD：AB=DE：BC=1：3．就可得出CE：AC、BD：AB的值，再根据DE∥MN，就可得出AN、AM的长，然后求出MN的长。
三、解答题
15．如图所示．在△ABC中，EF∥BC，且AE：EB=m，求证：AF：FC=m．
【答案】证明：∵EF∥BC，
∴AF：FC=AE：EB，
∵AE：EB=m，
AF：FC=m
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由EF∥BC，利用平行线分线段成比例，得出AF：FC=AE：EB，即可得证。
16．如图，已知在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC，求证： ．
【答案】证明：∵DE∥BC，∴ ，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DF=EC，∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，得出对应相等成比例，再证明四边形DFCE是平行四边形，得出DF=EC，即可证得结论。
17．如图四边形CDEF是Rt△ACB的内接正方形，AC=4，BC=6，求ED的长．
【答案】解：∵四边形CDEF是正方形，∴ED∥BC，∴设ED=x，而AC=4，BC=6，则 ，即ED=2.4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】利用正方形的性质，可得出DE=DC，ED∥BC，即可证得线段成比例，设ED=x，建立关于x的方程，即可解答。
18．一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．
求证： ．
【答案】解：证明．证明：过B作BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知 = ， = ，∴ × × = × × =1
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】过B作BG∥EF，交AC于G，利用平行线分线段成比例，可得出对应相等成比例，然后根据等量代换，可证得结论。
19．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥EF，
∴ ，
即 ，
解得EF=4cm
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由AB∥CD，可得出对应相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出对应边成比例，就可求出EF的长。
20．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）求证：AD=3DI．
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，∴AE=CE，
∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF，
∴△CDE≌△CDF，∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，
在△ABE与△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE=∠FAC，
∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AF⊥BE
（2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°∴四边形DECF是正方形，∴EC∥DF，EC=DF，
∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，
在△AEH与△FDH中 ，
∴△AEH≌△FDH（AAS），
∴EH=DH，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE，∵M是IC的中点，E是AC的中点，∴EM∥AI，∴ ，∴DI=IM，
∴CD=DI+IM+MC=3DI，
∴AD=3DI
【知识点】全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。
（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。
21．如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD= S△DEC= x，S△ACE= x+4x= x，又因为E是AB中点，所以S△ACE= S△ABC=20，∴ x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE= x=8，∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】首先取AD的中点G，并连接EG，由中位线定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，进而得到S△DFC：S△DFE的比值；设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x，根据AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE；然后结合三角形面积建立方程求得x值，即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。
1 / 12018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.3 比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2015九下·海盐期中）如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=，若AE=5，则EC的长度为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．（2017·七里河模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
3．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．6
4．（2017·黑龙江模拟）如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
5．如图，直线 ，直线AC分别交 ， ， 于点A，B，C，直线DF分别交 ， ， 于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2016九下·广州期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E．若=，AE=6，则EC的长为（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
8．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
二、填空题
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= ．
10．如图，在△ABC中，若DE∥BC， = ，DE=4，则BC的长是 ．
11．图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm．
12．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， = ，DE=6，则EF= ．
13．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为 ．
14．在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，过点A作平行于BC的直线分别交CD和BE的延长线于点M，N，若DE=2，BC=6，则MN= ．
三、解答题
15．如图所示．在△ABC中，EF∥BC，且AE：EB=m，求证：AF：FC=m．
16．如图，已知在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC，求证： ．
17．如图四边形CDEF是Rt△ACB的内接正方形，AC=4，BC=6，求ED的长．
18．一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．
求证： ．
19．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．
20．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）求证：AD=3DI．
21．如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴AC=15．
∴EC=AC﹣AE=15﹣5=10．
故选A．
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由DE∥BC得到，于是可计算出AC的长，然后利用EC=AC﹣AE进行计算即可．
2．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，
∴ = ，即 = ，解得DF=4.5．
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；求出DF的值即可.
3．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴，
而AD：DF：FB=3：2：1，
∴，
∴，
∴EC=9．
故选A．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，再利用比例性质由AD：DF：FB=3：2：1得，则，然后把AG=15代入计算即可．
4．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC交GA于点E，
∴ ， ， ，
A，B，D正确，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例），得到比例，判断即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AG=2，GB=1，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
故答案为：D
【分析】先求出AB的长，再根据平行线分线段成比例，可得出DE：EF=AB：BC，即可解答。
6．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故选：B．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．
7．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
∵DE∥BC，
∴，
∵，AE=6，
∴EC=9．
故选B．
【分析】如图，直接运用平行线分线段成比例定理列出比例式，借助已知条件求出EC，即可解决问题．
8．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处
∴AM=A′M，
又∵A′为MN的中点，
∴AM=A′M=A′N，
∵DE∥AC，
∴ = ，
∵△ABC是等边三角形，BC=6，
∴BC=AC，
∴ =
∴AE=2，
∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，
∴∠MAE=30°，
∴AM= ，ME=1，
∴DE=2，
∴△ADE的面积= DE AM= × ×2= ，
故答案为：A
【分析】利用折叠的性质，可得出AM=A′M，再由DE∥AC，可得出AM：AN=AE：AC，求出AE、AM、ME的长，然后利用△ADE的面积= DE AM，可求解。
9．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例，可求出EC的长，再由AC=AE+EC，即可解答。
10．【答案】10cm
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
又∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴BC=10cm．
故答案为：10cm
【分析】利用平行线分线段成比例，的长对应线段成比例，结合已知可求出BC的长。
11．【答案】12
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴ ，
即 ，
∴BC=12cm．
故答案为：12
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，利用平行线分线段成比例，可得出AB：BC=AD：DE，代入计算可求出BC的长。
12．【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ = ，即 = ，
∴EF=9．
故答案为9
【分析】根据已知AD∥BE∥CF，可得出AB、BC、DE、EF四条线段成比例，代入计算可求出EF的长。
13．【答案】2+
【知识点】平行线分线段成比例；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，
∵D'C=4，
∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，
∵DE∥AC，
∴ = ，即 = ，
解得BC=2+ （负值已舍去），
即BC的长为2+ ．
故答案为：2+ ．
【分析】利用旋转的性质，可得出BE=BE'=5，BD=BD'，再根据平行线分线段成比例，得出对应相等成比例，然后代入计算可求出BC的长。
14．【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，DE=2，BC=6，
∴AE：AC=AD：AB=DE：BC=1：3．
∴CE：AC=2：3，BD：AB=2：3，
∵DE∥MN，
∴AN=3，AM=3，
∴MN=AN+AM=6．
故答案为：6
【分析】利用平行线分线段成比例，可得出AE：AC=AD：AB=DE：BC=1：3．就可得出CE：AC、BD：AB的值，再根据DE∥MN，就可得出AN、AM的长，然后求出MN的长。
15．【答案】证明：∵EF∥BC，
∴AF：FC=AE：EB，
∵AE：EB=m，
AF：FC=m
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由EF∥BC，利用平行线分线段成比例，得出AF：FC=AE：EB，即可得证。
16．【答案】证明：∵DE∥BC，∴ ，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DF=EC，∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，得出对应相等成比例，再证明四边形DFCE是平行四边形，得出DF=EC，即可证得结论。
17．【答案】解：∵四边形CDEF是正方形，∴ED∥BC，∴设ED=x，而AC=4，BC=6，则 ，即ED=2.4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】利用正方形的性质，可得出DE=DC，ED∥BC，即可证得线段成比例，设ED=x，建立关于x的方程，即可解答。
18．【答案】解：证明．证明：过B作BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知 = ， = ，∴ × × = × × =1
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】过B作BG∥EF，交AC于G，利用平行线分线段成比例，可得出对应相等成比例，然后根据等量代换，可证得结论。
19．【答案】解：∵AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥EF，
∴ ，
即 ，
解得EF=4cm
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由AB∥CD，可得出对应相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出对应边成比例，就可求出EF的长。
20．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，∴AE=CE，
∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF，
∴△CDE≌△CDF，∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，
在△ABE与△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE=∠FAC，
∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AF⊥BE
（2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°∴四边形DECF是正方形，∴EC∥DF，EC=DF，
∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，
在△AEH与△FDH中 ，
∴△AEH≌△FDH（AAS），
∴EH=DH，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE，∵M是IC的中点，E是AC的中点，∴EM∥AI，∴ ，∴DI=IM，
∴CD=DI+IM+MC=3DI，
∴AD=3DI
【知识点】全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。
（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。
21．【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD= S△DEC= x，S△ACE= x+4x= x，又因为E是AB中点，所以S△ACE= S△ABC=20，∴ x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE= x=8，∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】首先取AD的中点G，并连接EG，由中位线定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，进而得到S△DFC：S△DFE的比值；设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x，根据AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE；然后结合三角形面积建立方程求得x值，即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。
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