2008年上海市春季高考数学试题
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上海市实验学校杨晓 Email:qdyangxiao@
2008 年上海市春季高考数学试题
一、填空题（本大题满分 48 分,共有 12 题，只要求直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零
分）
1．已知集合 A x x 1或2 x 3 ，B x 2 x 4 ，则 A B = ．
3n 1
2．计算： lim = ．
n 3n 1 2n
x 2 x 6
3．函数 f x 的定义域是 ．
x 1
4．方程2cos x 1在区间 0, 内的解是 ．
4
5．已知数列 an 是公差不为零的等差数列，a1 1．若a1、a 2、a 5 成等比数列，则an = ．
6．化简：cos sin = ．
3 6
x 2 y 2
7．已知 P 是双曲线 1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0．设 F
2 1
、F2
a 9
分别为双曲线的左、右焦点．若 PF 3，则 PF ． 2 1
8．已知一个多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开图如右图所
示，该多面体的体积 V= ．
1
9．已知无穷数列 an 前 n 项和S n an 1，则数列 an 的各项和为 ．
3
10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水
克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 A 表示“排列中属性相克的两种物
质不相邻”，则事件 A 出现的概率是 （结果用数值表示）．
11．已知a y1,a2, ,an;b1,b2, , bn n是正整数 ，
令L1 b1 b2 bn , L2 b2 b3 bn ,
, Ln bn ．某人用右图分析得到恒等式：
an
a
a1b1 a2b2 anbn a1L1 c2L2 ck Lk cnLn ,
n-1
a3
则ck 2 k n ． a2a1
0 b1 b2 b3 bn-1 bn x
上海市实验学校杨晓 Email:qdyangxiao@
12．已知 A（1，２），B（3，4），直线 l : x 0,l : y 0和l : x 3y 1 0.设P是l i 1,2,3 上1 2 3 i i
与 A、 B 两点距离平方和最小的点，则 P1P2P3的面积是 ．
二、选择题（本大题满分 16 分，共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，
必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，否则一律得零分）
13．已知向量a 2, 3 ,b 3, ,若a b ，则λ 等于（ ）
2 9 2
A． B．-2 C． D．
3 2 3
x2 y2
14．已知椭圆 1，长轴上 y 轴上，若焦距为４，则 m 等于（ ）
10 m m 2
A．4 B．5 C．７ D．８
15．已知函数 f x 、g x 定义在 R 上，h x f x g x ，则 “ f x 、g x 均为奇函数”
是“h x 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．已知 z C,且 z 2 2i 1，i 为虚数单位，则 z 2 2i 的最小值是（ ）
A．２ B．３ C．４ D．５
三、解答题(本大题满分 86 分，共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
17．（本题满分 12 分）
2 2 cos
已知cos , , ,求 的值．
3 2 sin 2 sin
18．（本题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 分别是直线 x y 2 与 x、y 轴的交点，C 为 AB 的中点，若
抛物线 y2 2px p 0 过点 C，求焦点 F 到直线 AB 的距离．
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19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知函数 f x log x2 2 1 ．
（1）求证：函数 f x 在 , 内单调递增；
（ ）记 f 12 x 为函数 f x 的反函数．若关于 x 的方程 f 1 x m f x 在 1,2 上有解，求 m
的取值范围．
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示），凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管．考
虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为 30cm，②三根细钢管相交处
的节点 O 与凳面三角形 ABC 重心的连线垂直于凳面和地面．（1）若凳面是边长为 20cm 的正三角形，
三只凳脚与地面所成的角均为 45°，确定节点 O 分细钢管上下两段的比值（精确到 0.01）；
（2）若凳面是顶角为 120°的等腰三角形，腰长为 24cm，节点 O 分细钢管上下两段之比为２：３．确
定三根细钢管的长度（精确到 0.1 cm）．
A C
B
O
上海市实验学校杨晓 Email:qdyangxiao@
21．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分
8 分．
在平面直角坐标系 xOy 上的一列点 A1 1,a1 , A2 2,a2 , , An n,an , ,简记为 A ．若由n
b A A j构成的数列 b 满足bn 1 bn ,n 1,2, ,其中 j 为方向与 y 轴正方向相同的单位向n n n 1 n
量，则称 A 为 T 点列． n
1 1 1
（1） 判断 A1 1,1 , A2 2, , A3 3, , , An n, , , 是否为 T 点列，并说明理由；
2 3 n
（2） 若 A 为 T 点列，且点 A2 在点 A1的右上方．任取其中连续三点 Ak , Ak 1, An k 2 ，判断
Ak Ak 1Ak 2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3） 若 A 为 T 点列，正整数1 m n p q满足m q n p ， n
求证： A ． n Aq j AmAp j
上海市实验学校杨晓 Email:qdyangxiao@
22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分
8 分．
2
已知 z 是实系数方程 x 2bx c 0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为
P ． z Re z, Im z
2
（1） 若 b,c 在直线2x y 0上，求证：Pz在圆C1 : x 1 y
2 1上；
2
（2） 给定圆 ： x m y2 2C r m,r R,r 0 ，则存在唯一的线段 s 满足：①若
Pz在圆C 上，则 b,c 在线段 s 上；②若 b,c 是线段 s 上一点（非端点），则 Pz在圆C
上．写出线段 s 的表达式，并说明理由；
（3） 由（2）知线段 s 与圆 C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表
一（表中是 s1 （1）中圆的对应线段）．
表一
线段 s 与线段 s1 的关系 m、r 的取值或表达式
s 所在直线平行于 s1 所在直线
s 所在直线平分线段 s1
线段 s 与线段 s1 长度相等
2008 年上海市春季高考数学试题
一、填空题（本大题满分 48 分,共有 12 题，只要求直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零
分）
1．已知集合 A x x 1或2 x 3 ，B x 2 x 4 ，则 A B = ．
3n 1
2．计算： lim = ．
n 3n 1 2n
x 2 x 6
3．函数 f x 的定义域是 ．
x 1
4．方程2cos x 1在区间 0, 内的解是 ．
4
5．已知数列 an 是公差不为零的等差数列，a1 1．若a1、a 2、a 5 成等比数列，则an = ．
6．化简：cos sin = ．
3 6
x 2 y 2
7．已知 P 是双曲线 1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0．设 F
2 1
、F2
a 9
分别为双曲线的左、右焦点．若 PF 3，则 PF ． 2 1
8．已知一个多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开图如右图所
示，该多面体的体积 V= ．
1
9．已知无穷数列 an 前 n 项和S n an 1，则数列 an 的各项和为 ．
3
10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水
克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 A 表示“排列中属性相克的两种物
质不相邻”，则事件 A 出现的概率是 （结果用数值表示）．
11．已知a y1,a2, ,an;b1,b2, , bn n是正整数 ，
令L1 b1 b2 bn , L2 b2 b3 bn ,
, Ln bn ．某人用右图分析得到恒等式：
an
a
a1b1 a2b2 anbn a1L1 c2L2 ck Lk cnLn ,
n-1
a3
则ck 2 k n ． a2a1
0 b1 b2 b3 bn-1 bn x
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12．已知 A（1，２），B（3，4），直线 l : x 0,l : y 0和l : x 3y 1 0.设P是l i 1,2,3 上1 2 3 i i
与 A、 B 两点距离平方和最小的点，则 P1P2P3的面积是 ．
二、选择题（本大题满分 16 分，共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，
必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，否则一律得零分）
13．已知向量a 2, 3 ,b 3, ,若a b ，则λ 等于（ ）
2 9 2
A． B．-2 C． D．
3 2 3
x2 y2
14．已知椭圆 1，长轴上 y 轴上，若焦距为４，则 m 等于（ ）
10 m m 2
A．4 B．5 C．７ D．８
15．已知函数 f x 、g x 定义在 R 上，h x f x g x ，则 “ f x 、g x 均为奇函数”
是“h x 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．已知 z C,且 z 2 2i 1，i 为虚数单位，则 z 2 2i 的最小值是（ ）
A．２ B．３ C．４ D．５
三、解答题(本大题满分 86 分，共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
17．（本题满分 12 分）
2 2 cos
已知cos , , ,求 的值．
3 2 sin 2 sin
18．（本题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 分别是直线 x y 2 与 x、y 轴的交点，C 为 AB 的中点，若
抛物线 y2 2px p 0 过点 C，求焦点 F 到直线 AB 的距离．
上海市实验学校杨晓 Email:qdyangxiao@
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知函数 f x log x2 2 1 ．
（1）求证：函数 f x 在 , 内单调递增；
（ ）记 f 12 x 为函数 f x 的反函数．若关于 x 的方程 f 1 x m f x 在 1,2 上有解，求 m
的取值范围．
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示），凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管．考
虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为 30cm，②三根细钢管相交处
的节点 O 与凳面三角形 ABC 重心的连线垂直于凳面和地面．（1）若凳面是边长为 20cm 的正三角形，
三只凳脚与地面所成的角均为 45°，确定节点 O 分细钢管上下两段的比值（精确到 0.01）；
（2）若凳面是顶角为 120°的等腰三角形，腰长为 24cm，节点 O 分细钢管上下两段之比为２：３．确
定三根细钢管的长度（精确到 0.1 cm）．
A C
B
O
上海市实验学校杨晓 Email:qdyangxiao@
21．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分
8 分．
在平面直角坐标系 xOy 上的一列点 A1 1,a1 , A2 2,a2 , , An n,an , ,简记为 A ．若由n
b A A j构成的数列 b 满足bn 1 bn ,n 1,2, ,其中 j 为方向与 y 轴正方向相同的单位向n n n 1 n
量，则称 A 为 T 点列． n
1 1 1
（1） 判断 A1 1,1 , A2 2, , A3 3, , , An n, , , 是否为 T 点列，并说明理由；
2 3 n
（2） 若 A 为 T 点列，且点 A2 在点 A1的右上方．任取其中连续三点 Ak , Ak 1, An k 2 ，判断
Ak Ak 1Ak 2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3） 若 A 为 T 点列，正整数1 m n p q满足m q n p ， n
求证： A ． n Aq j AmAp j
上海市实验学校杨晓 Email:qdyangxiao@
22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分
8 分．
2
已知 z 是实系数方程 x 2bx c 0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为
P ． z Re z, Im z
2
（1） 若 b,c 在直线2x y 0上，求证：Pz在圆C1 : x 1 y
2 1上；
2
（2） 给定圆 ： x m y2 2C r m,r R,r 0 ，则存在唯一的线段 s 满足：①若
Pz在圆C 上，则 b,c 在线段 s 上；②若 b,c 是线段 s 上一点（非端点），则 Pz在圆C
上．写出线段 s 的表达式，并说明理由；
（3） 由（2）知线段 s 与圆 C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表
一（表中是 s1 （1）中圆的对应线段）．
表一
线段 s 与线段 s1 的关系 m、r 的取值或表达式
s 所在直线平行于 s1 所在直线
s 所在直线平分线段 s1
线段 s 与线段 s1 长度相等
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