2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.3《二次根式的加减》
一、单选题
1．计算 的结果是（ ）
A．6 B．4 C．2 +6 D．12
2．设a＞0，b＞0，则下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．估计 的运算结果应在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
4．若x﹣y= ，xy= ，则代数式（x﹣1）（y+1）的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
6．△ABC的两边的长分别为 ， ，则第三边的长度不可能为（ ）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
9．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．已知a+b=﹣8，ab=8，则式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．若三角形的三边分别是a，b，c，且 =0，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
12．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
13．计算|1﹣ |+| ﹣ |+| ﹣2|+|2﹣ |+…+| ﹣10|结果为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
14．估计代数式 的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
15．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10
二、填空题
16． = ．
17．已知a、b为有理数，m、n分别表示 的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．
18．计算（5+ ）（ ﹣ ）= ．
19．若m= ，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是 ．
20．设 ， ， ，…，
．设 … ，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
三、解答题
21．先化简，再求值： ，其中a= ．
22．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
23．若a，b为有理数，且 = ，求 的值.
24．一个三角形的三边长分别为 、 、 ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值
25．解不等式：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=2 ×（5 + －4 ）=2 ×2 =12，故答案为：D．
【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，再根据混合运算法则计算即可。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】选项B不符合二次根式的加减法运算法则，故答案为：B，其余的选项都是正确的.
【分析】二次根式的加减法运算，实质是合并同类二次根式，选项B不符合二次根式的加减法运算法则。
3．【答案】C
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式= + =2 +3 =5 = ，因为 < < ，所以7< <8，故答案为：C．
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简，再把化简后的数与和这个数接近的有理数比较即可得出范围。
4．【答案】B
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【解答】（x-1)(y+1)=xy+(x-y)-1= + －1－1=2 -2，故答案为：B．
【分析】按照多项式乘以多项式的法则将代数式（x﹣1）（y+1）化简，再将x﹣y 和xy的值代入计算即可。
5．【答案】A
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】因为a= = +2，b= = -2，所以 = = =5，故答案为：A。
【分析】按照分母有理化的法则先将a、b化简，再将a、b的值代入计算即可。
6．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；三角形三边关系
【解析】【解答】因为5 -2 =3 ，5 +2 =7 ，所以第三边在大于3 且小于7 ，故答案为：A。
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合二次根式的加减法则计算即可。
7．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故答案为：D．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
9．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + -2 =2 + -2 = ，故答案为：B．
【分析】首先根据二次根式的性质化简各式，再合并同类二次根式即可。
10．【答案】A
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】因为a+b=﹣8，ab=8，所以a<0，b<0，所以 + = + =－ =－ =－ =2 ，故答案为：A．
【分析】根据已知条件a+b=﹣8，ab=8可判断a，b的符号，再根据二次根式的性质化简代数式，然后整体代换计算即可。
11．【答案】D
【知识点】偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】由原式得a=2 ，b=2 -1，c=4，故此三角形的周长为2 +2 -1+4=4 +3，故答案为：D
【分析】根据绝对值、平方、二次根式的非负性可求a、b、c的值，则这个三角形的周长可求。
12．【答案】C
【知识点】算数平方根的非负性
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式=－x + =(1－x) ，故答案为：C．
【分析】根据二次根式的非负性可化简。
13．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= －1+ － + － +...+10－ =10－1=9，故选B．
【分析】根据绝对值的意义正确脱去绝对值的符号，然后进行抵消运算，最后得到正确答案．
14．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + = = ， < < ，所以2< <3，故选B．
【分析】正确进行二次根式的加减法运算，会利用平方法估计代数式的取值范围是本节的学习重点和常考知识点．
15．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≧0，所以x≦10，即得A．
【分析】由同类二次根式的定义可得3a-8=17-2a，则a可求，再根据二次根式有意义的条件被开方式非负可得x的取值范围。
16．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】原式=4 ÷2 =2．
【分析】首先合并同类二次根式，再用二次根式的除法法则计算。
17．【答案】
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值
【解析】【解答】 < < ，所以2< <3，所以m=2，n=5- -2=3- ，所以由amn+bn2=1，得2（3- ）a+(3－ ) b=1，整理得（6a+16b)-(2a+6b) =1，因为a、b为有理数，所以得6a+16b=1，2a+6b=0，解得a= ，b=－ ，所以2a+b=2× － =
【分析】根据无理数的估算可知的整数部分是2，于是可得m、n的值，将m、n的值代入amn+bn2=1即可求得2a+b的值。
18．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=（5+ ）（ － ）= + - - = ．
【分析】快速准确的进行二次根式的加减混合运算是学生学习本节的一项基本要求．
19．【答案】0
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【解答】解：因为m= = +1，所以m5﹣2m4﹣2011m3=m (m -2m-2011)=m [( +1) －2( +1)－2011]=m ×0=0．
【分析】先将m化简，再将m的值代入所求代数式计算。
20．【答案】n+1－
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】
S =1+ + = = = = =1+ －
S=1+1－ +1+ － +1+ － +...+1+ － =n+1-
【分析】先将S n化简，再计算S的值即可。
21．【答案】解：原式= － = ，当a= +1时，原式=
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据同分母的分时加减法法则化简，再将a的值代入计算即可。
22．【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为14 1，所以它们不互为倒数；（2）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为x-y，根据倒数的意义可得x-y=1。
23．【答案】解： + + =2 +3 + = ，因为a、b都为有理数，所以a=0，b= ，所以b =1
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数及其分类；无理数的认识
【解析】【分析】根据二次根式的性质将已知等式的左边化简，再根据有理数和无理数的意义求出a、b的值，则可求。
24．【答案】（1）解：3 + + = + + × = + + =
（2）解：根式内取偶数的完全平方数，如3x=36时，x=12,此时三角形的周长C=15
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）把已知的三边相加，根据二次根式的性质化简后再合并同类二次根式即可；（2）根式内取偶数的完全平方数即可。
25．【答案】解：由题意： 2 ≤（2 + ）x，所以x≥ ，所以x≥
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式
【解析】【分析】首先按照解一元一次不等式的步骤求解，然后按照二次根式的混合运算法则化简即可。
1 / 12017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.3《二次根式的加减》
一、单选题
1．计算 的结果是（ ）
A．6 B．4 C．2 +6 D．12
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=2 ×（5 + －4 ）=2 ×2 =12，故答案为：D．
【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，再根据混合运算法则计算即可。
2．设a＞0，b＞0，则下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】选项B不符合二次根式的加减法运算法则，故答案为：B，其余的选项都是正确的.
【分析】二次根式的加减法运算，实质是合并同类二次根式，选项B不符合二次根式的加减法运算法则。
3．估计 的运算结果应在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
【答案】C
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式= + =2 +3 =5 = ，因为 < < ，所以7< <8，故答案为：C．
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简，再把化简后的数与和这个数接近的有理数比较即可得出范围。
4．若x﹣y= ，xy= ，则代数式（x﹣1）（y+1）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【解答】（x-1)(y+1)=xy+(x-y)-1= + －1－1=2 -2，故答案为：B．
【分析】按照多项式乘以多项式的法则将代数式（x﹣1）（y+1）化简，再将x﹣y 和xy的值代入计算即可。
5．已知 ， ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】因为a= = +2，b= = -2，所以 = = =5，故答案为：A。
【分析】按照分母有理化的法则先将a、b化简，再将a、b的值代入计算即可。
6．△ABC的两边的长分别为 ， ，则第三边的长度不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；三角形三边关系
【解析】【解答】因为5 -2 =3 ，5 +2 =7 ，所以第三边在大于3 且小于7 ，故答案为：A。
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合二次根式的加减法则计算即可。
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故答案为：D．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可。
8．若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
9．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + -2 =2 + -2 = ，故答案为：B．
【分析】首先根据二次根式的性质化简各式，再合并同类二次根式即可。
10．已知a+b=﹣8，ab=8，则式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】因为a+b=﹣8，ab=8，所以a<0，b<0，所以 + = + =－ =－ =－ =2 ，故答案为：A．
【分析】根据已知条件a+b=﹣8，ab=8可判断a，b的符号，再根据二次根式的性质化简代数式，然后整体代换计算即可。
11．若三角形的三边分别是a，b，c，且 =0，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】由原式得a=2 ，b=2 -1，c=4，故此三角形的周长为2 +2 -1+4=4 +3，故答案为：D
【分析】根据绝对值、平方、二次根式的非负性可求a、b、c的值，则这个三角形的周长可求。
12．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】算数平方根的非负性
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式=－x + =(1－x) ，故答案为：C．
【分析】根据二次根式的非负性可化简。
13．计算|1﹣ |+| ﹣ |+| ﹣2|+|2﹣ |+…+| ﹣10|结果为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= －1+ － + － +...+10－ =10－1=9，故选B．
【分析】根据绝对值的意义正确脱去绝对值的符号，然后进行抵消运算，最后得到正确答案．
14．估计代数式 的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + = = ， < < ，所以2< <3，故选B．
【分析】正确进行二次根式的加减法运算，会利用平方法估计代数式的取值范围是本节的学习重点和常考知识点．
15．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≧0，所以x≦10，即得A．
【分析】由同类二次根式的定义可得3a-8=17-2a，则a可求，再根据二次根式有意义的条件被开方式非负可得x的取值范围。
二、填空题
16． = ．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】原式=4 ÷2 =2．
【分析】首先合并同类二次根式，再用二次根式的除法法则计算。
17．已知a、b为有理数，m、n分别表示 的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．
【答案】
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值
【解析】【解答】 < < ，所以2< <3，所以m=2，n=5- -2=3- ，所以由amn+bn2=1，得2（3- ）a+(3－ ) b=1，整理得（6a+16b)-(2a+6b) =1，因为a、b为有理数，所以得6a+16b=1，2a+6b=0，解得a= ，b=－ ，所以2a+b=2× － =
【分析】根据无理数的估算可知的整数部分是2，于是可得m、n的值，将m、n的值代入amn+bn2=1即可求得2a+b的值。
18．计算（5+ ）（ ﹣ ）= ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=（5+ ）（ － ）= + - - = ．
【分析】快速准确的进行二次根式的加减混合运算是学生学习本节的一项基本要求．
19．若m= ，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是 ．
【答案】0
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【解答】解：因为m= = +1，所以m5﹣2m4﹣2011m3=m (m -2m-2011)=m [( +1) －2( +1)－2011]=m ×0=0．
【分析】先将m化简，再将m的值代入所求代数式计算。
20．设 ， ， ，…，
．设 … ，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】n+1－
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】
S =1+ + = = = = =1+ －
S=1+1－ +1+ － +1+ － +...+1+ － =n+1-
【分析】先将S n化简，再计算S的值即可。
三、解答题
21．先化简，再求值： ，其中a= ．
【答案】解：原式= － = ，当a= +1时，原式=
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据同分母的分时加减法法则化简，再将a的值代入计算即可。
22．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为14 1，所以它们不互为倒数；（2）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为x-y，根据倒数的意义可得x-y=1。
23．若a，b为有理数，且 = ，求 的值.
【答案】解： + + =2 +3 + = ，因为a、b都为有理数，所以a=0，b= ，所以b =1
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数及其分类；无理数的认识
【解析】【分析】根据二次根式的性质将已知等式的左边化简，再根据有理数和无理数的意义求出a、b的值，则可求。
24．一个三角形的三边长分别为 、 、 ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值
【答案】（1）解：3 + + = + + × = + + =
（2）解：根式内取偶数的完全平方数，如3x=36时，x=12,此时三角形的周长C=15
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）把已知的三边相加，根据二次根式的性质化简后再合并同类二次根式即可；（2）根式内取偶数的完全平方数即可。
25．解不等式：
【答案】解：由题意： 2 ≤（2 + ）x，所以x≥ ，所以x≥
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式
【解析】【分析】首先按照解一元一次不等式的步骤求解，然后按照二次根式的混合运算法则化简即可。
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