初中数学人教版八年级下学期期末考试复习专题：02二次根式的乘除
一、单选题
1．（2021八下·武汉月考）下列二次根式中： 、 、 、 ， ，最简二次根式的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 、 、 ，
是最简二次根式，共1个
故答案为：B.
【分析】 最简二次根式就是被开方数不含分母，并且不含有开方开的尽的因数或因式的二次根式，根据以上条件即可判断．
2．（2020八下·八步期末）已知 ，用含 的代数式表示 ，这个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知 正好是 和 的积，因此可得 .
3．（2020八下·龙口期中）化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，则－a3≥0，即a≤0，
∴原式 .
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质化简即可。
4．（2020八下·射阳期中）已知 ， ，则a与b的关系为（ ）.
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：因为b= ，所以a=b，
故答案为：A.
【分析】利用分母有理化，可求出b=+1，然后与a比较即可.
5．下列根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式 .只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故答案应选择D.
【分析】理解最简二次根式的概念，并能够用于分析具体的题型，是学习数学的一个直接方法．
6．化简：=（ ）
A．xy B．y C．x D．x
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式==xy．
故选A．
【分析】根据二次根式的乘法法则求解．
二、填空题
7．（2020八上·大田期中）最简二次根式 与 可以合并，则m= ．
【答案】-1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：因为最简二次根式 与 可以合并，
可得：1-2m=3，
解得：m=-1．
【分析】根据最简二次根式的定义可知：被开方数相等，即：1-2m=3，求解即可。
8．（2020八下·扬州期中）若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为 .
【答案】12
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵长方体的长为 ，宽为 ，高为
∴长方体的体积= .
故答案为：12.
【分析】直接根据长方体体积=长×宽×高列出算式，进而根据二次根式的乘法法则即可算出答案.
9．（2020八下·杭州期中）若a= ，则a3-a+1= 。
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
两边平方得：4a2+4a=4
∴a2+a=1即a2=1-a，
∴原式=a2·a-a+1=a（1-a）-a+1=-a2+1
=.
故答案为：.
【分析】将等式转化为a2=1-a，再将代数式转化为a2·a-a+1，然后代入可得到-a2+1，再将a的值代入计算可求值。
10．（2020八上·青白江期末）若M＝（ ） ，其中a＝3，b＝2，则M的值为 ．
【答案】-2
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】M＝（ ） ，
＝1﹣
＝1﹣a，
当a＝3时，原式＝1﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减，最后将a、b的值代入求值即可。
11．观察下列等式：
第1个等式：a1= = ﹣1，
第2个等式：a2= = ﹣ ，
第3个等式：a3= =2﹣ ，
第4个等式：a4= = ﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
【答案】（1）
（2） ﹣1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：a1= = ﹣1，
第2个等式：a2= = ﹣ ，
第3个等式：a3= =2﹣ ，
第4个等式：a4= = ﹣2，
∴第n个等式：an= = ﹣ ；
（ 2 ）a1+a2+a3+…+an
=（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ）
= ﹣1．
故答案为 = ； ﹣1．
【分析】根据分母有理化的意义求出有规律的根式；再根据结果求出a1+a2+a3+···的值.
三、计算题
12．（2020八下·新疆月考）计算:
【答案】解：
=
= .
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】先化简二次根式和将除法变成乘法，再相乘即可.
13．
【答案】解：原式=
=﹣3××2×
=﹣
=﹣×10
=﹣．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．
14．化简：4x2
【答案】解：4x2
=4x2÷12×3
=x2
=xy．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
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一、单选题
1．（2021八下·武汉月考）下列二次根式中： 、 、 、 ， ，最简二次根式的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2020八下·八步期末）已知 ，用含 的代数式表示 ，这个代数式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·龙口期中）化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八下·射阳期中）已知 ， ，则a与b的关系为（ ）.
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
5．下列根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
6．化简：=（ ）
A．xy B．y C．x D．x
二、填空题
7．（2020八上·大田期中）最简二次根式 与 可以合并，则m= ．
8．（2020八下·扬州期中）若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为 .
9．（2020八下·杭州期中）若a= ，则a3-a+1= 。
10．（2020八上·青白江期末）若M＝（ ） ，其中a＝3，b＝2，则M的值为 ．
11．观察下列等式：
第1个等式：a1= = ﹣1，
第2个等式：a2= = ﹣ ，
第3个等式：a3= =2﹣ ，
第4个等式：a4= = ﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
三、计算题
12．（2020八下·新疆月考）计算:
13．
14．化简：4x2
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 、 、 ，
是最简二次根式，共1个
故答案为：B.
【分析】 最简二次根式就是被开方数不含分母，并且不含有开方开的尽的因数或因式的二次根式，根据以上条件即可判断．
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知 正好是 和 的积，因此可得 .
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，则－a3≥0，即a≤0，
∴原式 .
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质化简即可。
4．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：因为b= ，所以a=b，
故答案为：A.
【分析】利用分母有理化，可求出b=+1，然后与a比较即可.
5．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式 .只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故答案应选择D.
【分析】理解最简二次根式的概念，并能够用于分析具体的题型，是学习数学的一个直接方法．
6．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式==xy．
故选A．
【分析】根据二次根式的乘法法则求解．
7．【答案】-1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：因为最简二次根式 与 可以合并，
可得：1-2m=3，
解得：m=-1．
【分析】根据最简二次根式的定义可知：被开方数相等，即：1-2m=3，求解即可。
8．【答案】12
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵长方体的长为 ，宽为 ，高为
∴长方体的体积= .
故答案为：12.
【分析】直接根据长方体体积=长×宽×高列出算式，进而根据二次根式的乘法法则即可算出答案.
9．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
两边平方得：4a2+4a=4
∴a2+a=1即a2=1-a，
∴原式=a2·a-a+1=a（1-a）-a+1=-a2+1
=.
故答案为：.
【分析】将等式转化为a2=1-a，再将代数式转化为a2·a-a+1，然后代入可得到-a2+1，再将a的值代入计算可求值。
10．【答案】-2
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】M＝（ ） ，
＝1﹣
＝1﹣a，
当a＝3时，原式＝1﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减，最后将a、b的值代入求值即可。
11．【答案】（1）
（2） ﹣1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：a1= = ﹣1，
第2个等式：a2= = ﹣ ，
第3个等式：a3= =2﹣ ，
第4个等式：a4= = ﹣2，
∴第n个等式：an= = ﹣ ；
（ 2 ）a1+a2+a3+…+an
=（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ）
= ﹣1．
故答案为 = ； ﹣1．
【分析】根据分母有理化的意义求出有规律的根式；再根据结果求出a1+a2+a3+···的值.
12．【答案】解：
=
= .
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】先化简二次根式和将除法变成乘法，再相乘即可.
13．【答案】解：原式=
=﹣3××2×
=﹣
=﹣×10
=﹣．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．
14．【答案】解：4x2
=4x2÷12×3
=x2
=xy．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
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