2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.2 比例线段 同步练习
一、选择题
1.下列各组中得四条线段成比例的是( )
A.4cm、2cm、1cm、3cm B.1cm、2cm、3cm、5cm
C.3cm、4cm、5cm、6cm D.1cm、2cm、2cm、4cm
2.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB长为20米,一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处,则下列结论一定正确的是( )
①AB:AC=AC:BC;②AC≈6.18米;③AC=10( )米;④BC=10(3 )米或10( 1)米.
A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.④
3.若2a=3b=4c,且abc≠0,则 的值是( )
A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3
4.若 = ,则 的值为( )
A.1 B. C. D.
5.若3a=2b,则 的值为( )
A. B. C. D.
6.如果a=3,b=2,且b是a和c的比例中项,那么c=( )
A. B. C. D.
7.已知 ,那么下列等式中,不一定正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图,扇子的圆心角为x°,余下扇形的圆心角为y°,x与y的比通常按黄金比来设计,这样的扇子外形比较美观,若黄金比取0.6,则x为( )
A.144° B.135° C.136° D.108°
二、填空题
9.如果 = = =k(b+d+f≠0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k= .
10.(2015八下·扬州期中)已知==≠0,则的值为
11.已知线段a=2厘米,c=8厘米,则线段a和c的比例中项b是 厘米.
12.如图是百度地图的一部分(比例尺1:4000000).按图可估测杭州在嘉兴的南偏西 度方向上,杭州到嘉兴的图上距离约2cm,则杭州到嘉兴的实际距离约为 .
13.有一块三角形的草地,它的一条边长为25m.在图纸上,这条边的长为5cm,其他两条边的长都为4cm,则其他两边的实际长度都是 m.
14.已知线段AB=10cm,P、Q是线段AB的黄金分割点,则PQ=
15.已知 ,那么直线f(x)=tx+t一定通过第 象限.
三、解答题
16.已知 ,求 .
17.实践证明,节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好.如下图,假设线段AB为舞台前沿,你能为主持人找出一个最佳位置C吗?
18.在比例尺为1:10000的地图上,有甲、乙两个相似三角形区域,其周长分别为10cm和15cm.
(1)求它们的面积比;
(2)若在地图上量得甲的面积为 ,则乙所表示的实际区域的面积是多少平方米?
19.已知线段a、b、c满足 ,且 .
(1)求a、b、c的值;
| |
(2)若线段x是线段a、b的比例中项,求x的值.
20.若a、b、c是非零实数,且满足 ,直线y=kx+b经过点(4,0),求直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】A、从小到大排列,由于1×4≠2×3,所以不成比例,不符合题意;
B、从小到大排列,由于1×5≠2×3,所以不成比例,不符合题意;
C、从小到大排列,由于3×6≠4×5,所以不成比例,不符合题意;
D、从小到大排列,由于1×4=2×2,所以成比例,符合题意.
故选D.
【分析】四条线段成比例,根据线段的长短关系,从小到大排列,判断中间两项的积是否等于两边两项的积,相等即成比例.
2.【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解: AB的黄金分割点为点C处,若AC>BC,则AB:AC=AC:BC,所以①不一定正确;
AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20-12.36=7.64,所以②错误;
若AC为较长线段时,AC= AB=10( -1),BC=10(3- );
若BC为较长线段时,BC= AB=10( -1),AC=10(3- ),所以③不一定正确,④正确.
故答案为:D
【分析】根据黄金分割的定义和AC为较长线段或较短线段进行判断,可解答。
3.【答案】B
【知识点】代数式求值;比例的性质
【解析】【解答】解:设2a=3b=4c=12k(k≠0),
则a=6k,b=4k,c=3k,
所以, = = =﹣2.
故答案为:B
【分析】先设2a=3b=4c=12k(k≠0),然后用含k的式子表示a、b、c,再代入计算求值即可.
4.【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:∵ = ,
∴ = = .
故选D.
【分析】首先将变为,然后再将代入求值即可.
5.【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:由3a=2b,得出 于是可设a=2k,则b=3k,代入 = =
故答案为:A
【分析】将3a=2b转化为比例式,设a=2k,b=3k,然后代入求值。
6.【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:根据题意,可知
,
,
当a=3,b=2时
,
,
.
故答案为:C
【分析】由b是a和c的比例中项,可得出b2=ac,代入建立关于c的方程,解方程求出c的值。
7.【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解: ∵ ,
∴设 , ,
A、 ,k不一定等于1,则 不一定正确,故符合题意;
B、 ,一定成立,故不符合题意;
C、 ,一定成立,故不符合题意;
D、 ,一定成立,故不符合题意.
故答案为:A
【分析】根据题意,设x=3k,y=2k,由于k的值不一定是1,可对选项A作出判断;再将x、y的值分别代入B、C、D计算,可对选项C、B、D作出判断。
8.【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解:由扇子的圆心角为x°,余下扇形的圆心角为y°,黄金比为0.6,
根据题意得:x:y=0.6=3:5,
又∵x+y=360,
则x=360×=135.
故选B.
【分析】由题意得到x与y的比值应为黄金比,根据黄金比为0.6,得到x与y比值为0.6,即为3:5,又根据扇子的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角,即x与y之和为360,根据比例性质即可求出x的值.
9.【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:由等比性质,得k= = =3,
故答案为:3
【分析】根据等比的性质,可求出k的值。
10.【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由比例的性质,得
c=a,b=a.
故答案为:.
【分析】根据比例的性质,可用a表示b、c,根据分式的性质,可得答案.
11.【答案】4
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解: ∵线段b是a、c的比例中项,
∴ ,
解得b=±4,
又∵线段是正数,
∴b=4.
故答案为4
【分析】由线段b是a、c的比例中项,可得出b2=ac,代入可求出b的值。
12.【答案】45;80km
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解:测量可知杭州在嘉兴的南偏西45度方向上,
杭州到嘉兴的图上距离约2cm,
2×4000000=8000000cm=80km.
故答案为:45,80km
【分析】观察地图,可得出杭州在嘉兴的南偏西45度方向上,利用比例尺=图上距离:实际距离,可求得结果。
13.【答案】20
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解:设其他两边的实际长度分别为xm、ym,
由题意得, ,
解得x=y=20.
即其他两边的实际长度都是20m
【分析】设其他两边的实际长度分别为xm、ym,再根据相似三角形的对应边成比例,列式求解即可。
14.【答案】(10 -20)cm
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解:根据黄金分割点的概念,可知AQ=BP= ×10=(5 -5)cm.
则PQ=AQ+BP-AB=(5 -5)×2-10=(10 5-20)cm.
故本题答案为:(10 -20)cm
【分析】根据黄金分割的定义,求出AQ的长,再根据PQ=AQ+BP-AB,计算可求解。
15.【答案】二、三
【知识点】比例的性质;一次函数的性质
【解析】【解答】解: ①当a+b+c=0时,
b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c,
∴t为其中任何一个比值,即t= =-1,此时直线f(x)=tx+t通过二、三、四象限;
②a+b+c≠0时,
t= =2,此时直线f(x)=tx+t通过一、二、三象限;
∴直线f(x)=tx+t一定通过第 二、三象限,
故答案为:二、三
【分析】分两种情况讨论:①当a+b+c=0时,可求出t的值;就可得出函数图象经过的象限;②a+b+c≠0时,可得出t的值,可得出函数图象经过的象限,继而可得出直线f(x)=tx+t一定通过的象限。
16.【答案】解:令 ,
∴ , , ,
∴原式
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据已知条件,设x=2k,y=3k,z=4k,再代入代数式计算可解答。
17.【答案】解:距点A至少是1- ≈0.4或距点B至少是1- ≈0.4,故最佳位置C在距A点或B点 AB处,如图所示:
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】利用黄金分割的定义解答即可。
18.【答案】(1)解:
(2)解:∵ , ,
∴ ,
又∵比例尺是1:1000,
∴
【知识点】相似三角形的性质;比例尺应用题
【解析】【分析】(1)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求解。
(2)先求出乙的面积,再利用比例尺求出乙所表示的实际区域的面积。
19.【答案】(1)解:∵ ,
∴设 , , ,
又∵ ,
∴ ,解得 ,
∴ , ,
(2)解:∵x是a、b的比例中项,
∴ ,
∴ ,
∴ 或 (舍去),
即x的值为
【知识点】比例的性质;黄金分割
【解析】【分析】(1)根据已知条件,可设a=3k,b=2k,c=6k,然后代入方程建立关于k的方程,解方程求出k的值,就可求出a、b、c的值。
(2)利用线段x是线段a、b的比例中项,可得出x2=ab,再将a、b的值代入求出x的值。
20.【答案】解:∵∴a=(b+c)k,b=(a+c)k,c=(a+b)k,∴a+b+c=2(a+b+c)k,∴①当a+b+c≠0时,k= ,∴y=kx+b变为:y= x+b,∵经过点(4,0),∴ ×4+b=0,b=-2,∴y= x-2,图象如图:S△ABO= ×AO×BO= ×2×4=4.②当a+b+c=0时,a=-(b+c),k= =-1同法可请求:y=-x+4,S△ADO=8,即直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是4或8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;比例的性质;一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】根据已知可得出a=(b+c)k,b=(a+c)k,c=(a+b)k,就可得出a+b+c=2(a+b+c)k,再根据a+b+c=0和a+b+c≠0,可得出y=kx+b中的k的值,将(4,0)代入函数解析式求出b的值,从而可得到函数解析式,然后分别求出函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。
1 / 12018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.2 比例线段 同步练习
一、选择题
1.下列各组中得四条线段成比例的是( )
A.4cm、2cm、1cm、3cm B.1cm、2cm、3cm、5cm
C.3cm、4cm、5cm、6cm D.1cm、2cm、2cm、4cm
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】A、从小到大排列,由于1×4≠2×3,所以不成比例,不符合题意;
B、从小到大排列,由于1×5≠2×3,所以不成比例,不符合题意;
C、从小到大排列,由于3×6≠4×5,所以不成比例,不符合题意;
D、从小到大排列,由于1×4=2×2,所以成比例,符合题意.
故选D.
【分析】四条线段成比例,根据线段的长短关系,从小到大排列,判断中间两项的积是否等于两边两项的积,相等即成比例.
2.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB长为20米,一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处,则下列结论一定正确的是( )
①AB:AC=AC:BC;②AC≈6.18米;③AC=10( )米;④BC=10(3 )米或10( 1)米.
A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.④
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解: AB的黄金分割点为点C处,若AC>BC,则AB:AC=AC:BC,所以①不一定正确;
AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20-12.36=7.64,所以②错误;
若AC为较长线段时,AC= AB=10( -1),BC=10(3- );
若BC为较长线段时,BC= AB=10( -1),AC=10(3- ),所以③不一定正确,④正确.
故答案为:D
【分析】根据黄金分割的定义和AC为较长线段或较短线段进行判断,可解答。
3.若2a=3b=4c,且abc≠0,则 的值是( )
A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3
【答案】B
【知识点】代数式求值;比例的性质
【解析】【解答】解:设2a=3b=4c=12k(k≠0),
则a=6k,b=4k,c=3k,
所以, = = =﹣2.
故答案为:B
【分析】先设2a=3b=4c=12k(k≠0),然后用含k的式子表示a、b、c,再代入计算求值即可.
4.若 = ,则 的值为( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:∵ = ,
∴ = = .
故选D.
【分析】首先将变为,然后再将代入求值即可.
5.若3a=2b,则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:由3a=2b,得出 于是可设a=2k,则b=3k,代入 = =
故答案为:A
【分析】将3a=2b转化为比例式,设a=2k,b=3k,然后代入求值。
6.如果a=3,b=2,且b是a和c的比例中项,那么c=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:根据题意,可知
,
,
当a=3,b=2时
,
,
.
故答案为:C
【分析】由b是a和c的比例中项,可得出b2=ac,代入建立关于c的方程,解方程求出c的值。
7.已知 ,那么下列等式中,不一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解: ∵ ,
∴设 , ,
A、 ,k不一定等于1,则 不一定正确,故符合题意;
B、 ,一定成立,故不符合题意;
C、 ,一定成立,故不符合题意;
D、 ,一定成立,故不符合题意.
故答案为:A
【分析】根据题意,设x=3k,y=2k,由于k的值不一定是1,可对选项A作出判断;再将x、y的值分别代入B、C、D计算,可对选项C、B、D作出判断。
8.如图,扇子的圆心角为x°,余下扇形的圆心角为y°,x与y的比通常按黄金比来设计,这样的扇子外形比较美观,若黄金比取0.6,则x为( )
A.144° B.135° C.136° D.108°
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解:由扇子的圆心角为x°,余下扇形的圆心角为y°,黄金比为0.6,
根据题意得:x:y=0.6=3:5,
又∵x+y=360,
则x=360×=135.
故选B.
【分析】由题意得到x与y的比值应为黄金比,根据黄金比为0.6,得到x与y比值为0.6,即为3:5,又根据扇子的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角,即x与y之和为360,根据比例性质即可求出x的值.
二、填空题
9.如果 = = =k(b+d+f≠0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k= .
【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解:由等比性质,得k= = =3,
故答案为:3
【分析】根据等比的性质,可求出k的值。
10.(2015八下·扬州期中)已知==≠0,则的值为
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由比例的性质,得
c=a,b=a.
故答案为:.
【分析】根据比例的性质,可用a表示b、c,根据分式的性质,可得答案.
11.已知线段a=2厘米,c=8厘米,则线段a和c的比例中项b是 厘米.
【答案】4
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解: ∵线段b是a、c的比例中项,
∴ ,
解得b=±4,
又∵线段是正数,
∴b=4.
故答案为4
【分析】由线段b是a、c的比例中项,可得出b2=ac,代入可求出b的值。
12.如图是百度地图的一部分(比例尺1:4000000).按图可估测杭州在嘉兴的南偏西 度方向上,杭州到嘉兴的图上距离约2cm,则杭州到嘉兴的实际距离约为 .
【答案】45;80km
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解:测量可知杭州在嘉兴的南偏西45度方向上,
杭州到嘉兴的图上距离约2cm,
2×4000000=8000000cm=80km.
故答案为:45,80km
【分析】观察地图,可得出杭州在嘉兴的南偏西45度方向上,利用比例尺=图上距离:实际距离,可求得结果。
13.有一块三角形的草地,它的一条边长为25m.在图纸上,这条边的长为5cm,其他两条边的长都为4cm,则其他两边的实际长度都是 m.
【答案】20
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解:设其他两边的实际长度分别为xm、ym,
由题意得, ,
解得x=y=20.
即其他两边的实际长度都是20m
【分析】设其他两边的实际长度分别为xm、ym,再根据相似三角形的对应边成比例,列式求解即可。
14.已知线段AB=10cm,P、Q是线段AB的黄金分割点,则PQ=
【答案】(10 -20)cm
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解:根据黄金分割点的概念,可知AQ=BP= ×10=(5 -5)cm.
则PQ=AQ+BP-AB=(5 -5)×2-10=(10 5-20)cm.
故本题答案为:(10 -20)cm
【分析】根据黄金分割的定义,求出AQ的长,再根据PQ=AQ+BP-AB,计算可求解。
15.已知 ,那么直线f(x)=tx+t一定通过第 象限.
【答案】二、三
【知识点】比例的性质;一次函数的性质
【解析】【解答】解: ①当a+b+c=0时,
b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c,
∴t为其中任何一个比值,即t= =-1,此时直线f(x)=tx+t通过二、三、四象限;
②a+b+c≠0时,
t= =2,此时直线f(x)=tx+t通过一、二、三象限;
∴直线f(x)=tx+t一定通过第 二、三象限,
故答案为:二、三
【分析】分两种情况讨论:①当a+b+c=0时,可求出t的值;就可得出函数图象经过的象限;②a+b+c≠0时,可得出t的值,可得出函数图象经过的象限,继而可得出直线f(x)=tx+t一定通过的象限。
三、解答题
16.已知 ,求 .
【答案】解:令 ,
∴ , , ,
∴原式
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据已知条件,设x=2k,y=3k,z=4k,再代入代数式计算可解答。
17.实践证明,节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好.如下图,假设线段AB为舞台前沿,你能为主持人找出一个最佳位置C吗?
【答案】解:距点A至少是1- ≈0.4或距点B至少是1- ≈0.4,故最佳位置C在距A点或B点 AB处,如图所示:
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】利用黄金分割的定义解答即可。
18.在比例尺为1:10000的地图上,有甲、乙两个相似三角形区域,其周长分别为10cm和15cm.
(1)求它们的面积比;
(2)若在地图上量得甲的面积为 ,则乙所表示的实际区域的面积是多少平方米?
【答案】(1)解:
(2)解:∵ , ,
∴ ,
又∵比例尺是1:1000,
∴
【知识点】相似三角形的性质;比例尺应用题
【解析】【分析】(1)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求解。
(2)先求出乙的面积,再利用比例尺求出乙所表示的实际区域的面积。
19.已知线段a、b、c满足 ,且 .
(1)求a、b、c的值;
| |
(2)若线段x是线段a、b的比例中项,求x的值.
【答案】(1)解:∵ ,
∴设 , , ,
又∵ ,
∴ ,解得 ,
∴ , ,
(2)解:∵x是a、b的比例中项,
∴ ,
∴ ,
∴ 或 (舍去),
即x的值为
【知识点】比例的性质;黄金分割
【解析】【分析】(1)根据已知条件,可设a=3k,b=2k,c=6k,然后代入方程建立关于k的方程,解方程求出k的值,就可求出a、b、c的值。
(2)利用线段x是线段a、b的比例中项,可得出x2=ab,再将a、b的值代入求出x的值。
20.若a、b、c是非零实数,且满足 ,直线y=kx+b经过点(4,0),求直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【答案】解:∵∴a=(b+c)k,b=(a+c)k,c=(a+b)k,∴a+b+c=2(a+b+c)k,∴①当a+b+c≠0时,k= ,∴y=kx+b变为:y= x+b,∵经过点(4,0),∴ ×4+b=0,b=-2,∴y= x-2,图象如图:S△ABO= ×AO×BO= ×2×4=4.②当a+b+c=0时,a=-(b+c),k= =-1同法可请求:y=-x+4,S△ADO=8,即直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是4或8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;比例的性质;一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】根据已知可得出a=(b+c)k,b=(a+c)k,c=(a+b)k,就可得出a+b+c=2(a+b+c)k,再根据a+b+c=0和a+b+c≠0,可得出y=kx+b中的k的值,将(4,0)代入函数解析式求出b的值,从而可得到函数解析式,然后分别求出函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。
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