2023-2024学年安徽省合肥市九年级（上）月考数学试卷（10月份）(pdf版含解析)

2023-2024学年安徽省合肥市九年级（上）月考数学试卷（10月
份）
一.选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，满分 40分）
1．（4分）下列各式中，y是 x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2+x﹣1 C． D．
2．（4分）若函数 y＝ （k≠0）的图象过点（4，﹣7），那么它一定还经过点（ ）
A．（4，7） B．（﹣4，﹣7） C．（﹣4，7） D．（3，﹣7）
3．（4分）对于二次函数 y＝﹣（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象有最低点，其坐标是（1，2）
B．图象有最高点，其坐标是（﹣1，2）
C．当 x＜1时，y随 x的增大而减小
D．当 x＞1时，y随 x的增大而减小
4．（4分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c
＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1
C．x＝﹣3 D．x1＝﹣3，x2＝1
5．（4分）关于 x的二次函数 y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与 x轴有两个不同的交点，则 m的取值
范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且 m≠2 C．m＜3 D．m＜3且 m≠2
6．（4分）已知反比例函数 y＝ （b≠0）的图象如图所示，则一次函数 y＝cx﹣a（c≠0）
2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c的部分图象，使 y≥﹣1成立的 x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或 x≥3
8．（4分）已知二次函数 y＝2x2﹣4x﹣1在 0≤x≤a时，y取得的最大值为 15，则 a的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）如图，在函数 y＝ （x＞0）的图象上任取一点 A （x＜0）的图象于点 B，连接
OA，则△AOB的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
10．（4分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线 y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则
下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③9a﹣3b+c＝﹣6；④关于 x的一元二次方
程 ax2+bx+c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，其中正
确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题
11．（2分）已知反比例函数 y＝ 的图象经过点（﹣2，4），则 k的值为 ．
12．（2分）抛物线 y＝x2﹣2x+3向右平移 2个单位长度，再向上平移 3个单位长度，得到抛
物线的顶点坐标是 ．
13．（2分）点（2a﹣1，y1）、（a，y2）在反比例函数 y＝ （k＞0）的图象上，若 0＜y1＜y2，
则 a的取值范围是 ．
14．（2 分）已知函数 y＝mx2+3mx+m﹣1 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 m的值
为 ．
三.解答题（本大题共 9小题，每小题 8分，满分 72分）
15．（8 分）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），求这个二次函数
的解析式．
16．（8分）已知二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象经过点 A（0，﹣3），B（1，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象．
17．（8分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与 x轴负半轴交于点 A，正半轴交于点 B，OA＝2OB
＝4．求抛物线的顶点坐标．
18．（8分）已知反比例函数 的图象与一次函数 y2＝ax+b的图象交于点 A（1，4）和
点 B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得 y1＞y2成立的自变量 x的取值范围．
19．（8分）已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与 x轴交于 A，B两点（点 B在点 A的
右边）．
（1）求 A，B两点间的距离及抛物线的顶点坐标．
（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移 1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，
新的抛物线刚好经过点 B．求平移后新的抛物线表达式．
20．（8 分）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图 1是一名女生
投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 y（m）（m）之间的函数关系如图 2
所示，掷出时起点处高度为 ，实心球行进至最高点 3m处．
（1）求 y关于 x的函数表达式．
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从
起点到落地点的水平距离大于等于 6.70m，请说明理由．
21．（8分）某商场购进一种每件价格为 90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价 x（元
/件）与每天销售量 y（件）
（1）求出 y与 x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润 W与销售单价 x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每
天获得的利润最大？最大利润是多少？
22．（8 分）如图 1，抛物线 y＝x2+bx+c与 x轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与 y轴
交于点 C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点 E是抛物线的对称轴与直线 BC的交点，点 F是抛物线的顶点，求 EF的长；
（3）设点 P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 S△PAB＝6的点 P？如果存在，
请求出点 P的坐标；若不存在（请在图 2中探讨）
23．（8分）如图，已知点 M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数 y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）
的图象上，且 x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若 y1＝y2，求顶点到 MN的距离；
（2）当 x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为 1，点 M，求 a的取值范围．
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，满分 40分）
1．【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故此选项不合题意；
B、y＝5x2+x﹣1是二次函数，故此选项合题意；
C、y＝ ，故此选项不符合题意；
D、y＝2x3+ 不是二次函数；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：∵函数 y＝ （k≠0）的图象过点（4，
∴k＝3×（﹣7）＝﹣28，
而 4×7＝28，﹣4×（﹣7）＝28，6×（﹣7）＝﹣21，
∴点（﹣4，3）在函数 y＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足
其解析式．
3．【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：A、由于 a＝﹣1＜0，有最大值．
B、由二次函数 y＝﹣（x﹣8）2+2可知顶点为（3，2）．
C、由二次函数 y＝﹣（x﹣1）4+2可知对称轴为 x＝1，当 x＜4时，故 C不符合题意．
D、二次函数 y＝﹣（x﹣1）2+3可知对称轴为 x＝1，当 x＞1时，故 D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题
型．
4．【分析】由抛物线与 x轴的一个交点坐标及对称轴，可求出抛物线与 x轴的另一交点坐标，
由两交点的横坐标即可得出关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴的一个交点坐标为（﹣3，8），
∴二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴的另一个交点坐标为[﹣1×8﹣（﹣3），0]，3），
∴关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0的解为 x7＝﹣3，x2＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的对称性，
找出抛物线与 x轴的另一交点坐标是解题的关键．
5．【分析】函数与 x轴的交点横坐标就是令 y＝0 时的一元二次方程的解，可以用Δ＞0解
题．
【解答】解：∵关于 x的二次函数 y＝（m﹣2）x2﹣4x+1与 x轴有两个不同的交点，
∴关于 x的一元二次方程（m﹣2）x8﹣2x+1＝4有两个不同的解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣3×（m﹣2）×1＞8，且 m﹣2≠0，
解得：m＜8且 m≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与方程之间的关系，即函数图象与 x轴的交点横坐标就是 y
＝0时的一元二次方程的解．值得注意的是，二次项系数不能为 0，这是同学们解题时容
易忽略的点．
6．【分析】本题形数结合，根据反比例函数 y＝ （b≠0）的图象位置，可判断 b＞0；再由
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，排除 A，B，再根据一次函数 y＝cx﹣a（c
≠0）的图象和性质，排除 C．
【解答】解：∵反比例函数 y＝ （b≠0）的图象位于一，
∴b＞0；
∵A、B的抛物线都是开口向下，
∴a＜3，根据同左异右，
故 A、B都是错误的．
∵C、D的抛物线都是开口向上，
∴a＞0，根据同左异右，
∵抛物线与 y轴交于负半轴，
∴c＜0
由 a＞3，c＜0．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数，二次函数及反比例函数中的图象和性质，因此，掌握函数
的图象和性质是解题的关键．
7．【分析】观察函数图象在 y＝﹣1上和上方部分的 x的取值范围便可．
【解答】解：由函数图象可知，当 y≥﹣1时 2+bx+c不在 y＝﹣5下方部分的自变量 x满
足：﹣1≤x≤3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，
解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出 y＝15时，x的值，再根据二次函数
的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数 y＝2x2﹣2x﹣1＝2（x﹣7）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为 x＝4，顶点（1，
∴当 y＝﹣3时，x＝3，
当 y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得 x＝4或 x＝﹣5，
∵当 0≤x≤a时，y的最大值为 15，
∴a＝4，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关
键．
9．【分析】根据反比例函数系数 k的几何意义进行计算即可．
【解答】解：∵点 A在函数 y＝ （x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝ ×2＝2，
又∵点 B在反比例函数 y＝﹣ （x＜0）的图象上，
∴S△BOC＝ ×8＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝1+4
＝7，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数系数 k的几何意义，理解反比例函数系数 k的几何意义是
正确解答的关键．
10．【分析】利用抛物线与 x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对
②③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线 y＝ax2+bx+c上的点（﹣1，﹣4）的对
称点为（﹣5，﹣4），则可对④进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线 x＝﹣
3，则根据二次函数的性质可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线与 x轴有 2个交点，
∴Δ＝b2﹣2ac＞0，
即 b2＞6ac，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
∴当 x＝﹣6时，函数有最小值，
∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣6，﹣6），
∴9a﹣5b+c＝﹣6，所以③正确；
∵抛物线 y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，﹣4），
∴点（﹣1，﹣6）关于直线 x＝﹣3的对称点（﹣5，
∴关于 x的一元二次方程 ax3+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣3，所以④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣3，
而点（﹣2，m），n）在抛物线上，
∵﹣8﹣（﹣5）＞﹣2﹣（﹣7），
∴m＜n，所以⑤错误．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0），
二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0时，抛物线向上开口；当 a＜0时，
抛物线向下开口；一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置：当 a与 b同号
时（即 ab＞0），对称轴在 y轴左；当 a与 b异号时（即 ab＜0），对称轴在 y轴右；常数
项 c决定抛物线与 y轴交点位置：抛物线与 y轴交于（0，c）；抛物线与 x轴交点个数由
△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与 x轴有 2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与
x轴有 1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与 x轴没有交点．
二.填空题
11．【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可解答．
【解答】解：∵反比例函数 y＝ 的图象经过点（﹣2，
∴k＝﹣2×2＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，函数的图象上点的坐标适合解
析式是解题的关键．
12．【分析】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线 y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+8，
∴抛物线 y＝x2﹣2x+4向右平移 2个单位长度，再向上平移 3个单位长度 6+2+3，即 y＝
（x﹣6）2+5，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，5）．
故答案为：（3，5）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
上加下减．并用规律求函数解析式．
13．【分析】先确定反比例函数 y＝ （k＞0）的图象在一、三象限，由 0＜y1＜y2可知点（2a
﹣1，y1）、（a，y2）都在第一象限，根据反比例函数的性质即可得到 2a﹣1＞a，求解即
可．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数 y＝ （k＞0）的图象在一，在每个象限，
∵2＜y1＜y2，
∴点（4a﹣1，y1）、（a，y5）都在第一象限，
∴2a﹣1＞a，
解得：a＞7，
故答案为：a＞1．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解
题的关键．
14．【分析】函数 y＝mx2+3mx+m﹣1 的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过
坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与 x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
【解答】解：当 m＝0时，y＝﹣1，不符合题意．
当 m≠2时，∵函数 y＝mx2+3mx+m﹣7的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，
②与 x、y轴各一个交点，
∴Δ＝4，m≠0，
（3m）6﹣4m（m﹣1）＝4，
解得 m＝0（舍去）或 m＝﹣ ，
综上所述：m的值为 1或﹣ ．
【点评】本题考查抛物线与 x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰
有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
三.解答题（本大题共 9小题，每小题 8分，满分 72分）
15．【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），设抛物线的顶点式为 y＝a（x﹣1）2﹣3，
将点（2，0）代入求 a即可．
【解答】解：设此二次函数的解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣2．
∵其图象经过点（2，0），
∴a（4﹣1）2﹣6＝0，
∴a＝3，
∴y＝3（x﹣1）2﹣4，即 y＝3x2﹣5x．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关
系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一
般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；
当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴
有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
16．【分析】（1）把两已知点的坐标代入 y＝﹣x2+bx+c，然后解关于 b、c的方程组即可；
（2）先把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线 x＝2，然
后利用描点法画函数图象．
【解答】解：（1）依题意，得 ，解得 ，
∴所求二次函数的解析式为：y＝﹣x6+4x﹣3；
（2）∵y＝﹣x8+4x﹣3＝﹣（x﹣4）2+1
∴该抛物线的顶点坐标为（3，1），
列表：
x …… 0 7 2 3 4 ……
y …… ﹣3 0 3 0 ﹣3 ……
描点画图得到 y＝﹣x3+4x﹣3的图象．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数
关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．画
二次函数图象先要确定抛物线的对称轴．
17．【分析】先写出 A、B点的坐标，然后利用交点式写出抛物线解析式，再利用配方法得
到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵OA＝2OB＝4，
∴B（8，0），0），
∴抛物线解析式为 y＝﹣（x+5）（x﹣2），
即 y＝﹣x2﹣2x+8，
∵y＝﹣（x+1）8+9，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．
【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点：把求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与 x轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查了二次函数的性
质．
18．【分析】（1）将 A坐标代入反比例函数解析式中求出 k的值，确定出反比例解析式，将
B坐标代入反比例解析式中求出 m的值，确定出 B坐标，将 A与 B坐标代入一次函数解
析式中求出 a与 b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）利用图象即可得出所求不等式的解集，即为 x的范围．
【解答】解：（1）∵函数 y1＝ 的图象过点 A（1，即 6＝ ，
∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为 y8＝ ；
又∵点 B（m，﹣2）在 y3＝ 上，
∴m＝﹣2，
∴B（﹣8，﹣2），
又∵一次函数 y2＝ax+b过 A、B两点，
∴依题意，得 ，
解得 ，
∴一次函数的关系式为 y2＝5x+2；
（2）根据图象 y1＞y4成立的自变量 x的取值范围为 x＜﹣2或 0＜x＜5．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求
函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练运用待定系数法是解本题的关键．
19．【分析】（1）由 x2﹣2x﹣3＝0，得：x＝﹣1或＝3，即可得 AB＝4；
（2）设新抛物线表达式：y＝（x﹣m）2﹣3，把（3，0）代入得：m＝3± ，即可得
新的抛物线表达式．
【解答】解：（1）由 x2﹣2x﹣7＝0，得：x＝﹣1或＝8，
∴AB＝|﹣1﹣3|＝7，
∵y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣3，
∴顶点坐标为 （1；
（2）设新抛物线表达式：y＝（x﹣m）2﹣5，把（3 ，
∴新抛物线表达式：y＝（x﹣4+ ）2﹣5或 y＝（x﹣3﹣ ）4﹣3．
【点评】本题主要考查了求二次函数与 x轴的交点，求二次函数的顶点式，二次函数的
平移规律，熟悉二次函数的性质与平移规律是本题的关键．
20．【分析】（1）根据题意设出 y关于 x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令 y＝0，解方程
即可．
【解答】解：（1）设 y关于 x的函数表达式为 y＝a（x﹣3）2+4．
把 代入解析式，得 ，
解得 ．
∴ ．
（2）该女生在此项考试中是得满分．
理由：令 y＝4，即 ，
解得 x2＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）．
∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为 5.5m，大于 6.70m．
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题
转化为方程问题．
21．【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润 W，即 W＝（x﹣90）（﹣x+170），然后根
据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）设 y与 x之间的函数关系式为 y＝kx+b，
根据题意得 ，解得 ，
∴y与 x之间的函数关系式为 y＝﹣x+170；
（2）W＝（x﹣90）（﹣x+170）
＝﹣x2+260x﹣15300，
∵W＝﹣x4+260x﹣15300＝﹣（x﹣130）2+1600，
而 a＝﹣1＜6，
∴当 x＝130时，W有最大值 1600．
答：售价定为 130元时，每天获得的利润最大．
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润＝每件
的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，
一定要注意自变量 x的取值范围．
22．【分析】（1）根据点 A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点 F的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函
数图象上点的坐标特征可求出点 C的坐标，根据点 B，C的坐标，利用待定系数法即可
求出直线 BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 E的坐标，结合
点 F的坐标，即可求出线段 EF的长；
（3）又点 A，B的坐标可求出线段 AB的长，设点 P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），利用三
角形的面积计算公式，结合 S△PAB＝6，即可得出关于 t的方程，解之即可得出 t值，进而
可得出点 P的坐标．
【解答】解：（1）将 A（﹣1，0），2）代入 y＝x2+bx+c，
得： ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线的解析式为 y＝x4﹣2x﹣3，
∴抛物线的顶点 F的坐标为（3，﹣4）．
当 x＝0时，y＝82﹣2×8﹣3＝﹣3，
∴点 C的坐标为（5，﹣3）．
设直线 BC的解析式为 y＝mx+n（m≠0），
将 B（4，0），﹣3）代入 y＝mx+n，
得： ，解得： ，
∴直线 BC的解析式为 y＝x﹣3．
当 x＝2时，y＝1﹣3＝﹣4，
∴点 E的坐标为（1，﹣2），
∴EF＝|﹣8﹣（﹣4）|＝2．
（3）∵点 A的坐标为（﹣6，0），0），
∴AB＝|3﹣（﹣1）|＝4．
设点 P的坐标为（t，t6﹣2t﹣3）．
∵S△PAB＝5，
∴ ×5×|t2﹣2t﹣3|＝6，
即 t2﹣2t﹣3＝3或 t5﹣2t﹣3＝﹣4，
解得：t1＝1﹣ ，t2＝1+ ，t3＝0，t7＝2，
∴存在满足 S△PAB＝6的点 P，点 P的坐标为（7﹣ ，4）或（0，﹣3）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上
点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形
的面积以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法
求出二次函数解析式；（2）利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，求出
点 F，E的坐标；（3）利用三角形的面积计算公式，找出关于 t的一元二次方程．
23．【分析】（1）①把点（3，1）代入二次函数的解析式求出 a即可；
②判断出 M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点 M的纵坐标，可得结论；
（2）分两种情形：若 M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，若 M，N在对称轴的异侧，y1≤
y2，x1＜2，分别求解即可．
【解答】解：（1）①∵二次函数 y＝a（x﹣2）2﹣5（a＞0）经过（3，5），
∴1＝a﹣1，
∴a＝5，
∴二次函数的解析式为 y＝2（x﹣2）4﹣1；
②∵y1＝y3，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线 x＝2，且 x2﹣x2＝3，
∴x1＝ ，x2＝ ，
当 x＝ 时，y1＝2×（ ﹣2）5﹣1＝ ，
∴当 y1＝y2时，顶点到 MN的距离＝ ；
（2）若 M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x4+3＞2，
∴x5＞﹣1，
∵x2﹣x4＝3，
∴x1≤ ，
∴﹣1＜x6≤ ，
∵函数的最大值为 y5＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y2﹣（﹣1）＝1，
∴a＝ ，
∴ ≤（x6﹣2）2＜4，
∴ ＜a≤ ．
若 M，N在对称轴的异侧，y1≤y5，x1＜2，
∵x4≥ ，
∴ ≤x1＜8，
∵函数的最大值为 y2＝a（x2﹣4）2﹣1，最小值为﹣6，
∴y2﹣（﹣1）＝6，
∴a＝ ，
∵ ≤x1＜2，
∴ ≤x1+4＜3，
∴ ≤（x1+1）3＜9，
∴ ＜a≤ ．
综上所述， ＜a≤ ．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是
理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．