人教新课标A版必修1数学1.3.1单调性与最大(小)值同步检测
一、选择题
1．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递增区间为（ ）
A．（0，1） B．（-∞，] C．[，1） D．（0，]
2．函数y=|x﹣3|的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．[3，+∞）
C．（﹣∞，3] D．[0，+∞）
3．已知函数y=f（x）的图象与函数y=x2（x≥0）的图象关于直线y=x对称，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．函数y=f（x）有最小值
B．函数y=f（x）过点（4，2）
C．函数y=f（x）是偶函数
D．函数y=f（x）在其定义域上是增函数
4．、函数 的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是 ，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
6．若函数f（x）= ，则该函数在（﹣∞，+∞）上是（ ）
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
7．函数y=（2k+1）x+b在实数集上是增函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．定义在R上的函数满足f（x）=f（x+2），且当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2则f（x）（ ）
A．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[5，6]上是增函数
B．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[5，6]上是减函数
C．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是增函数
D．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是减函数
9．函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）上不单调，则k的取值范围（ ）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，1）
C．（﹣1，1） D．（0，2）
10．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80） B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）
C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25） D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）
11．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（| |）＜f（1）的实数x的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
12．若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（0，1]
C．（0，1] D．（0，1）
13．对任意实数x规定y取4﹣x，x+1， （5﹣x）三个值中的最小值，则函数y（ ）
A．有最大值2，最小值1 B．有最大值2，无最小值
C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值
14．已知 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
15．函数y=x2+ 的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
二、填空题
16．设函数f（x）= ，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是 ．
17． 函数 ，（x＞0）单调减区间是 ．
18．若函数y=x2﹣2x+3，在（﹣∞，m）上单调递减，则m的取值范围 ．
19．已知非负实数x，y满足 ，则非负实数x+y满足的最大值为 ．
20．函数f（x）=|1﹣x|﹣|x﹣3|的最大值是 ，最小值是 ．
三、解答题
21．已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．
22．已知：f（x）=lg（ax﹣bx）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域内的单调性．
23．设f（x）=1﹣，求解：（1）f（x）的值域；（2）证明f（x）为R上的增函数． ．
（1）求f（x）的值域；
（2）证明f（x）为R上的增函数．
24．已知向量 ，将函数 的图象按向量 平移后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的表达式；
（2）若函数 上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
25．已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=﹣2x2+4x，
（1）求f（x）解析式；
（2）求当x∈[a，a+2]，时，f（x）最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】∵f（x）的定义域为：（0，1）
令z=x﹣x2，则原函数可以写为y=lnz，
∵y=lnz为增函数
∴原函数的增区间即是函数z=x﹣x2x∈（0，1）的增区间．
∴x∈（0，]
故选D．
【分析】将原函数分解成两个简单函数y=lnz，z=x﹣x2，再根据复合函数同增异减的性质即可求出．
2．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】解答：函数y=|x﹣3|的如图，
从图象可判断单调减区间为（﹣∞，3]，
故选C
分析：由图象来求函数的单调区间，图象上升为增区间，图象下降为减区间．要画函数y=|x﹣3|的图象，先画函数y=x的图象，把y=x的图象在x轴下方的图象翻折到x轴上方，就得到函数y=|x|的图象，再把y=|x|的图象向右平移3个单位长度，就得到函数y=|x﹣3|．
3．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】函数y=x2（x≥0）是一个单调递增函数，在[0，∞）有最小值0，
且过点（2，4），故A，B，D正确，单调递增的函数不可能是偶函数，
故C选项是不可能出现的，
故选C．
【分析】关于直线y=x对称的两个函数的单调性是一致，函数y=x2（x≥0）是增函数，在[0，∞）有最小值0，且过点（2，4），又函数不关于y轴对称，可以判断出选C
4．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】解答：∵f（x）的定义域为：[﹣3，2]
令z=﹣x2﹣x+6，则原函数可以写为y= ，
∵y= 为增函数
∴原函数的增区间即是函数z=6﹣x﹣x2在[﹣3，2]上的增区间．
∴x∈[﹣3，﹣ ]
故选C．
分析：将原函数分解成两个简单函数y= ，z=﹣x2﹣x+6，再根据复合函数同增异减的性质即可求出，注意定义域是前提．
5．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】解答：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时 ，每秒钟旋转 ，在t∈[0，1]上 ，在[7，12]上 ，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．
故选D．
分析：由动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0，12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】解答：令u（x）=2x+1，
则f（u）= ．
因为u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增且u（x）＞1，
而f（u）= 在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）= 在（﹣∞，+∞）上单调递减，且无限趋于0，故无最小值．
故选A
分析：利用复合函数求解，先令u（x）=2x+1，f（u）= ．u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增且u（x）＞1，f（u）= 在（1，+∞）上单调递减，再由“同增异减”得到结论．
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】解答：∵函数y=（2k+1）x+b在实数集上是增函数，
当2k+1=0时，y=b是常函数，不满足题意，
∴2k+1＞0，∴
故选A．
分析：先验证当2k+1=0时，函数y=（2k+1）x+b=1b为常函数不满足条件，然后根据一次函数是增函数时斜率必为大于0的数，从而可求出k的值，确定答案．
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】∵当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2，
则在区间[4，5]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
又由函数满足f（x）=f（x+2），
故函数f（x）是以2为周期的周期函数
则函数f（x）区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是增函数
故选C
【分析】由已知中定义在R上的函数满足f（x）=f（x+2），我们可得函数f（x）是以2为周期的周期函数，又由当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2，我们可以判断出函数在区间[3，5]上的单调性，进而结合函数的周期性，得到结论．
9．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】∵函数y=|2x﹣1|的图象可由函数y=2x的图象变换而来，
画出函数y=|2x﹣1|，其图象如图所示，由图象知，
函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）内不单调，
则：﹣2＜k﹣1＜0，
则k的取值范围是（﹣1，1）
故选C．
【分析】函数y=|2x﹣1|的图象可由函数y=2x的图象变换而来，画出函数y=|2x﹣1|的图象，根据图象结合单调增区间求得k的取值范围．
10．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】∵f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），
∴f（x﹣8）=f（x），
∴函数是以8为周期的周期函数，
则f（﹣25）=f（﹣1），f（80）=f（0），f（11）=f（3），
又∵f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，
得f（80）=f（0）=0，f（﹣25）=f（﹣1），
而由f（x﹣4）=﹣f（x）
得f（11）=f（3）=﹣f（﹣1）=f（1），
又∵f（x）在区间[0，2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数
∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数
∴f（1）＞f（0）＞f（﹣1），
即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），
故选D
【分析】由f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x）可变形为f（x﹣8）=f（x），得到函数是以8为周期的周期函数，则有f（﹣25）=f（﹣1），f（80）=f（0），f（11）=f（3），再由f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，得到f（80）=f（0）=0，f（﹣25）=f（﹣1），再由f（x）在区间[0，2]上是增函数，以及奇函数的性质，推出函数在[﹣2，2]上的单调性，即可得到结论．
11．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】解答：由已知得 解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，
故选C
分析：由函数的单调性可得| |与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．
12．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，故对称轴x=a≤1；
g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数，只需a+1＞1，即a＞0，综上可得0＜a≤1．
故选C
【分析】f（x）为二次函数，单调性结合图象解决，而g（x）为指数型函数，单调性只需看底数与1的大小即可．
13．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】解答：根据题意：y=
∴当x≤1时，y≤2
当1＜x＜3时，1＜y＜2
当x≥3时，y≤1
∴有最大值2，无最小值
故选B
分析：根据题目条件先得到函数y= ，然后按照每一段求其值域，从而得到结论．
14．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】解答： ≥1
当且仅当x=3时取等号，
故选D．
分析：先对函数f（x）进行化简变形，然后利用均值不等式求出最值，注意条件：“一正二定三相等”
15．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】设 =t≥0，则x2=t2+1
∴y=t2+1+t=（t+ ）2+
∵y=t2+1+t=（t+ ）2+ 在[0，+∞）上单调递增
∴当t=0时取最小值，最小值为1
故选C．
【分析】设 =t≥0，然后将函数转化成y=t2+1+t=（t+ ）2+ ，根据函数的单调性可求出函数的最值．
16．【答案】（0，1）
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】依题意有g（x）=x2f（x﹣1）= ，
所以g（x）的递减区间是（0，1）．
故答案为：（0，1）
【分析】因为f（x）从0处分段，故f（x﹣1）应从1处分段，写出g（x）的解析式，再判断单调区间即可．
17．【答案】（0，1）
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】∵函数 ，（x＞0）
∴ ，（x＞0）
令y′＞0，即 ＜0
解得0＜x＜1
故函数 ，（x＞0）单调减区间是（0，1）
故答案为：（0，1）
【分析】由已知中函数的解析式，我们可以求出其导函数的解析式，根据导函数在函数的单调递减区间上函数值小于0，我们可以构造一个关于x的不等式，解不等式，即可求出满足条件的x的取值范围，得到答案．
18．【答案】（﹣∞，1]
【知识点】函数单调性的性质
【解析】解答∵函数f（x）=x2﹣2x+3的图象是开口方向朝上，
以直线x=1为对称轴的抛物线，
若函数f（x）在（﹣∞，m）上单调递减，
则1≥m
即m≤1
故答案为：（﹣∞，1]．
【分析】由函数f（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，我们可以判断出函数图象的形状及单调区间，再由函数f（x）在（﹣∞，m）上单调递减，我们易构造一个关于m的不等式，解不等式即可得到结论．
19．【答案】9
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】∵非负实数x，y满足 ，
∴非负实数x+y=（x+y） = ≥5+ =9．
∴非负实数x+y满足的最大值为9．
【分析】借助均值不等式进行求解．
20．【答案】2；﹣2
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】f（x）=|1﹣x|﹣|x﹣3|=
画出上述函数图象，
分析可得最大值2，最小值﹣2；
故答案为2，﹣2．
【分析】先通过讨论去掉绝对值，得到分段函数，画出函数图象，结论很快得到．
21．【答案】解： ∵f（x）=8+2x﹣x2∴g（x）=f（2﹣x2）=﹣x4+2x2+8 g'（x）=﹣4x3+4x 当g'（x）＞0 时，﹣1＜x＜0或x＞1 当g'（x）＜0时，x＜﹣1或0＜x＜1 故函数g（x）的增区间为：（﹣1，0）和（1，+∞） 减区间为：（﹣∞，﹣1）和（0，1）
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】 【分析】先求出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，当导数大于0时为单调增区间，当导数小于0时单调递减．
22．【答案】（1）解：要使函数有意义，则ax﹣bx＞0，∴ ，
∵ ，∴x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）解：设x2＞x1＞0，∵a＞1＞b＞0， ∴ ， ，则 ， ∴ ，∴ ．
∵函数y=lgx在定义域上是增函数，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数．
【知识点】函数单调性的性质
【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于零得，ax﹣bx＞0，再由a＞1＞b＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域；（2）先在定义域任取两个自变量，即x2＞x1＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx在定义域上是增函数，得出f（x2）与f（x1）的大小，判断出此函数的单调性；
23．【答案】（1）解：因为2x＞0，所以 ，所以﹣1＜1﹣ ＜1，
即f（x）的值域为（﹣1，1）；
（2）解：任取x1、x2，且x1＜x2．
则f（x2）﹣f（x1）= = ＞0
所以f（x2）＞f（x1）
所以f（x）为R上的增函数
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】分析：（1）因为2x＞0，由不等式的性质即可求出1﹣ 的范围，即f（x）的值域．（2）由怎函数的哦定义，只要任取两个自变量，由做差法比较他们对应函数值的大小即可．
24．【答案】（1）解：设P（x，y）是函数y=f（x）图象上的任意一点，它在函数y=g（x）图象上的对应点P'（x'，y'），则由平移公式，得 ∴ 代入函数 中， 得
∴函数y=g（x）的表达式为
（2）解：函数g（x）的对称轴为
①当 即 时，函数g（x）在[ ]上为增函数，
∴ ； ②当 即 时， ∴ 当且仅当 时取等号；
③当 即 时，函数g（x）在[ ]上为减函数，
∴ 综上可知， ∴当 时，函数h（a）的最大值为
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】 【分析】（1）利用图象平移的知识，根据向量平移的公式建立平移之后的图象上点的坐标与平移之前图象上点的坐标之间的关系是解决本题的关键；（2）利用（1）中得到的函数关系式，确定该函数是二次函数类型，根据对称轴与函数定义区间的关系，结合分类讨论思想求出函数的最小值的表达式是解决本题的关键．
25．【答案】（1）解：设f（x）=ax2+bx+c，
a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=﹣2x2+4x，
2ax2+2bx+2a+2c=﹣2x2+4x，
（2）解：f（x）=﹣（x﹣1）2+2，
①a+2＜﹣1即a＜﹣1，当x=a+2，f（x）max=﹣a2﹣2a+1；
②a≤1≤a+2即﹣1≤a≤1，当x=1，f（x）max=2；
③a＞1，当x=a，f（x）max=﹣a2+2a+1；
故
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）因为函数为二次函数，设出解析式代入到f（x+1）+f（x﹣1）=﹣2x2+4x，求出f（x）的解析式即可；（2）因为此二次函数为开口向下的抛物线，讨论区间[a，a+2]在二次函数对称轴左边右边和之间三种情况得到函数的最大值即可．
1 / 1人教新课标A版必修1数学1.3.1单调性与最大(小)值同步检测
一、选择题
1．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递增区间为（ ）
A．（0，1） B．（-∞，] C．[，1） D．（0，]
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】∵f（x）的定义域为：（0，1）
令z=x﹣x2，则原函数可以写为y=lnz，
∵y=lnz为增函数
∴原函数的增区间即是函数z=x﹣x2x∈（0，1）的增区间．
∴x∈（0，]
故选D．
【分析】将原函数分解成两个简单函数y=lnz，z=x﹣x2，再根据复合函数同增异减的性质即可求出．
2．函数y=|x﹣3|的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．[3，+∞）
C．（﹣∞，3] D．[0，+∞）
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】解答：函数y=|x﹣3|的如图，
从图象可判断单调减区间为（﹣∞，3]，
故选C
分析：由图象来求函数的单调区间，图象上升为增区间，图象下降为减区间．要画函数y=|x﹣3|的图象，先画函数y=x的图象，把y=x的图象在x轴下方的图象翻折到x轴上方，就得到函数y=|x|的图象，再把y=|x|的图象向右平移3个单位长度，就得到函数y=|x﹣3|．
3．已知函数y=f（x）的图象与函数y=x2（x≥0）的图象关于直线y=x对称，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．函数y=f（x）有最小值
B．函数y=f（x）过点（4，2）
C．函数y=f（x）是偶函数
D．函数y=f（x）在其定义域上是增函数
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】函数y=x2（x≥0）是一个单调递增函数，在[0，∞）有最小值0，
且过点（2，4），故A，B，D正确，单调递增的函数不可能是偶函数，
故C选项是不可能出现的，
故选C．
【分析】关于直线y=x对称的两个函数的单调性是一致，函数y=x2（x≥0）是增函数，在[0，∞）有最小值0，且过点（2，4），又函数不关于y轴对称，可以判断出选C
4．、函数 的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】解答：∵f（x）的定义域为：[﹣3，2]
令z=﹣x2﹣x+6，则原函数可以写为y= ，
∵y= 为增函数
∴原函数的增区间即是函数z=6﹣x﹣x2在[﹣3，2]上的增区间．
∴x∈[﹣3，﹣ ]
故选C．
分析：将原函数分解成两个简单函数y= ，z=﹣x2﹣x+6，再根据复合函数同增异减的性质即可求出，注意定义域是前提．
5．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是 ，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】解答：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时 ，每秒钟旋转 ，在t∈[0，1]上 ，在[7，12]上 ，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．
故选D．
分析：由动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0，12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．
6．若函数f（x）= ，则该函数在（﹣∞，+∞）上是（ ）
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】解答：令u（x）=2x+1，
则f（u）= ．
因为u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增且u（x）＞1，
而f（u）= 在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）= 在（﹣∞，+∞）上单调递减，且无限趋于0，故无最小值．
故选A
分析：利用复合函数求解，先令u（x）=2x+1，f（u）= ．u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增且u（x）＞1，f（u）= 在（1，+∞）上单调递减，再由“同增异减”得到结论．
7．函数y=（2k+1）x+b在实数集上是增函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】解答：∵函数y=（2k+1）x+b在实数集上是增函数，
当2k+1=0时，y=b是常函数，不满足题意，
∴2k+1＞0，∴
故选A．
分析：先验证当2k+1=0时，函数y=（2k+1）x+b=1b为常函数不满足条件，然后根据一次函数是增函数时斜率必为大于0的数，从而可求出k的值，确定答案．
8．定义在R上的函数满足f（x）=f（x+2），且当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2则f（x）（ ）
A．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[5，6]上是增函数
B．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[5，6]上是减函数
C．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是增函数
D．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是减函数
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】∵当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2，
则在区间[4，5]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
又由函数满足f（x）=f（x+2），
故函数f（x）是以2为周期的周期函数
则函数f（x）区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是增函数
故选C
【分析】由已知中定义在R上的函数满足f（x）=f（x+2），我们可得函数f（x）是以2为周期的周期函数，又由当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2，我们可以判断出函数在区间[3，5]上的单调性，进而结合函数的周期性，得到结论．
9．函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）上不单调，则k的取值范围（ ）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，1）
C．（﹣1，1） D．（0，2）
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】∵函数y=|2x﹣1|的图象可由函数y=2x的图象变换而来，
画出函数y=|2x﹣1|，其图象如图所示，由图象知，
函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）内不单调，
则：﹣2＜k﹣1＜0，
则k的取值范围是（﹣1，1）
故选C．
【分析】函数y=|2x﹣1|的图象可由函数y=2x的图象变换而来，画出函数y=|2x﹣1|的图象，根据图象结合单调增区间求得k的取值范围．
10．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80） B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）
C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25） D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】∵f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），
∴f（x﹣8）=f（x），
∴函数是以8为周期的周期函数，
则f（﹣25）=f（﹣1），f（80）=f（0），f（11）=f（3），
又∵f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，
得f（80）=f（0）=0，f（﹣25）=f（﹣1），
而由f（x﹣4）=﹣f（x）
得f（11）=f（3）=﹣f（﹣1）=f（1），
又∵f（x）在区间[0，2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数
∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数
∴f（1）＞f（0）＞f（﹣1），
即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），
故选D
【分析】由f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x）可变形为f（x﹣8）=f（x），得到函数是以8为周期的周期函数，则有f（﹣25）=f（﹣1），f（80）=f（0），f（11）=f（3），再由f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，得到f（80）=f（0）=0，f（﹣25）=f（﹣1），再由f（x）在区间[0，2]上是增函数，以及奇函数的性质，推出函数在[﹣2，2]上的单调性，即可得到结论．
11．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（| |）＜f（1）的实数x的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】解答：由已知得 解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，
故选C
分析：由函数的单调性可得| |与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．
12．若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（0，1]
C．（0，1] D．（0，1）
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，故对称轴x=a≤1；
g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数，只需a+1＞1，即a＞0，综上可得0＜a≤1．
故选C
【分析】f（x）为二次函数，单调性结合图象解决，而g（x）为指数型函数，单调性只需看底数与1的大小即可．
13．对任意实数x规定y取4﹣x，x+1， （5﹣x）三个值中的最小值，则函数y（ ）
A．有最大值2，最小值1 B．有最大值2，无最小值
C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】解答：根据题意：y=
∴当x≤1时，y≤2
当1＜x＜3时，1＜y＜2
当x≥3时，y≤1
∴有最大值2，无最小值
故选B
分析：根据题目条件先得到函数y= ，然后按照每一段求其值域，从而得到结论．
14．已知 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】解答： ≥1
当且仅当x=3时取等号，
故选D．
分析：先对函数f（x）进行化简变形，然后利用均值不等式求出最值，注意条件：“一正二定三相等”
15．函数y=x2+ 的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】设 =t≥0，则x2=t2+1
∴y=t2+1+t=（t+ ）2+
∵y=t2+1+t=（t+ ）2+ 在[0，+∞）上单调递增
∴当t=0时取最小值，最小值为1
故选C．
【分析】设 =t≥0，然后将函数转化成y=t2+1+t=（t+ ）2+ ，根据函数的单调性可求出函数的最值．
二、填空题
16．设函数f（x）= ，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是 ．
【答案】（0，1）
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】依题意有g（x）=x2f（x﹣1）= ，
所以g（x）的递减区间是（0，1）．
故答案为：（0，1）
【分析】因为f（x）从0处分段，故f（x﹣1）应从1处分段，写出g（x）的解析式，再判断单调区间即可．
17． 函数 ，（x＞0）单调减区间是 ．
【答案】（0，1）
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】∵函数 ，（x＞0）
∴ ，（x＞0）
令y′＞0，即 ＜0
解得0＜x＜1
故函数 ，（x＞0）单调减区间是（0，1）
故答案为：（0，1）
【分析】由已知中函数的解析式，我们可以求出其导函数的解析式，根据导函数在函数的单调递减区间上函数值小于0，我们可以构造一个关于x的不等式，解不等式，即可求出满足条件的x的取值范围，得到答案．
18．若函数y=x2﹣2x+3，在（﹣∞，m）上单调递减，则m的取值范围 ．
【答案】（﹣∞，1]
【知识点】函数单调性的性质
【解析】解答∵函数f（x）=x2﹣2x+3的图象是开口方向朝上，
以直线x=1为对称轴的抛物线，
若函数f（x）在（﹣∞，m）上单调递减，
则1≥m
即m≤1
故答案为：（﹣∞，1]．
【分析】由函数f（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，我们可以判断出函数图象的形状及单调区间，再由函数f（x）在（﹣∞，m）上单调递减，我们易构造一个关于m的不等式，解不等式即可得到结论．
19．已知非负实数x，y满足 ，则非负实数x+y满足的最大值为 ．
【答案】9
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】∵非负实数x，y满足 ，
∴非负实数x+y=（x+y） = ≥5+ =9．
∴非负实数x+y满足的最大值为9．
【分析】借助均值不等式进行求解．
20．函数f（x）=|1﹣x|﹣|x﹣3|的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】2；﹣2
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】f（x）=|1﹣x|﹣|x﹣3|=
画出上述函数图象，
分析可得最大值2，最小值﹣2；
故答案为2，﹣2．
【分析】先通过讨论去掉绝对值，得到分段函数，画出函数图象，结论很快得到．
三、解答题
21．已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．
【答案】解： ∵f（x）=8+2x﹣x2∴g（x）=f（2﹣x2）=﹣x4+2x2+8 g'（x）=﹣4x3+4x 当g'（x）＞0 时，﹣1＜x＜0或x＞1 当g'（x）＜0时，x＜﹣1或0＜x＜1 故函数g（x）的增区间为：（﹣1，0）和（1，+∞） 减区间为：（﹣∞，﹣1）和（0，1）
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】 【分析】先求出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，当导数大于0时为单调增区间，当导数小于0时单调递减．
22．已知：f（x）=lg（ax﹣bx）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域内的单调性．
【答案】（1）解：要使函数有意义，则ax﹣bx＞0，∴ ，
∵ ，∴x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）解：设x2＞x1＞0，∵a＞1＞b＞0， ∴ ， ，则 ， ∴ ，∴ ．
∵函数y=lgx在定义域上是增函数，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数．
【知识点】函数单调性的性质
【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于零得，ax﹣bx＞0，再由a＞1＞b＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域；（2）先在定义域任取两个自变量，即x2＞x1＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx在定义域上是增函数，得出f（x2）与f（x1）的大小，判断出此函数的单调性；
23．设f（x）=1﹣，求解：（1）f（x）的值域；（2）证明f（x）为R上的增函数． ．
（1）求f（x）的值域；
（2）证明f（x）为R上的增函数．
【答案】（1）解：因为2x＞0，所以 ，所以﹣1＜1﹣ ＜1，
即f（x）的值域为（﹣1，1）；
（2）解：任取x1、x2，且x1＜x2．
则f（x2）﹣f（x1）= = ＞0
所以f（x2）＞f（x1）
所以f（x）为R上的增函数
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】分析：（1）因为2x＞0，由不等式的性质即可求出1﹣ 的范围，即f（x）的值域．（2）由怎函数的哦定义，只要任取两个自变量，由做差法比较他们对应函数值的大小即可．
24．已知向量 ，将函数 的图象按向量 平移后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的表达式；
（2）若函数 上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
【答案】（1）解：设P（x，y）是函数y=f（x）图象上的任意一点，它在函数y=g（x）图象上的对应点P'（x'，y'），则由平移公式，得 ∴ 代入函数 中， 得
∴函数y=g（x）的表达式为
（2）解：函数g（x）的对称轴为
①当 即 时，函数g（x）在[ ]上为增函数，
∴ ； ②当 即 时， ∴ 当且仅当 时取等号；
③当 即 时，函数g（x）在[ ]上为减函数，
∴ 综上可知， ∴当 时，函数h（a）的最大值为
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】 【分析】（1）利用图象平移的知识，根据向量平移的公式建立平移之后的图象上点的坐标与平移之前图象上点的坐标之间的关系是解决本题的关键；（2）利用（1）中得到的函数关系式，确定该函数是二次函数类型，根据对称轴与函数定义区间的关系，结合分类讨论思想求出函数的最小值的表达式是解决本题的关键．
25．已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=﹣2x2+4x，
（1）求f（x）解析式；
（2）求当x∈[a，a+2]，时，f（x）最大值．
【答案】（1）解：设f（x）=ax2+bx+c，
a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=﹣2x2+4x，
2ax2+2bx+2a+2c=﹣2x2+4x，
（2）解：f（x）=﹣（x﹣1）2+2，
①a+2＜﹣1即a＜﹣1，当x=a+2，f（x）max=﹣a2﹣2a+1；
②a≤1≤a+2即﹣1≤a≤1，当x=1，f（x）max=2；
③a＞1，当x=a，f（x）max=﹣a2+2a+1；
故
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）因为函数为二次函数，设出解析式代入到f（x+1）+f（x﹣1）=﹣2x2+4x，求出f（x）的解析式即可；（2）因为此二次函数为开口向下的抛物线，讨论区间[a，a+2]在二次函数对称轴左边右边和之间三种情况得到函数的最大值即可．
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