学案2 研究平抛运动的规律(一)
[学习目标定位] 1.知道什么是运动的合成与分解，理解合运动与分运动等有关物理量之间的关系.2.会确定互成角度的两分运动的合运动的运动性质.3.会分析小船渡河问题.4.会分析绳、杆连接的关联物体的速度问题．
一、运动合成与分解
1．合运动与分运动：把物体的实际运动叫做合运动，而把组成合运动的两个或几个运动叫做分运动．
2．运动的合成与分解：在研究比较复杂的运动时，通常把这个运动看作是由两个或几个比较简单的运动组成的，这就是运动的合成与分解．由分运动求合运动叫运动的合成，由合运动求分运动叫运动的分解．
3．运动的合成与分解的物理量：位移、速度、加速度等物理量．
4．运动的合成与分解遵循的法则：平行四边形定则．
二、船渡河的运动
船在渡河过程中的运动是由两个分运动合成的：船的匀速运动和水流推动船沿河岸方向的匀速运动.
一、运动的合成与分解
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
(2)实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间一定相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，分运动各自独立进行，互不影响．
(3)等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动的总运动效果可以相互替代．也就是说，合运动的位移s合、速度v合、加速度a合分别等于对应各分运动的位移s分、速度v分、加速度a分的矢量和．
3．运动的合成与分解应遵循平行四边形定则．
二、合运动运动性质的判断
[问题设计] 如图1所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮．红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管由静止水平向右做匀加速运动，则蜡块的轨迹可能是图中的哪条？
图1
答案 由平行四边形定则合成两方向上的初速度得，红蜡块的实际初速度竖直向上，再合成两方向上的加速度得合加速度水平向右，故合速度与合加速度不共线则小蜡块做曲线运动，且轨迹向水平向右的方向弯曲，所以蜡块的轨迹为曲线Q.
[要点提炼]
分析两个直线运动的合运动的运动性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断．
1．判断是否做匀变速运动
(1)若a＝0时，物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动．
(2)若a≠0且a恒定时，做匀变速运动．
(3)若a≠0且a变化时，做非匀变速运动．
2．判断轨迹的曲直
(1)若a与速度共线，则做直线运动．
(2)若a与速度不共线，则做曲线运动．
三、船渡河的运动
[问题设计]
已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，河水的流动速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行．试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？
答案 (1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短．设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示．河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t＝.
显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t最小，此时船身垂直于河岸，船头始终指向正对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示．
渡河的最短时间tmin＝＝ s＝25 s
船的位移为s＝tmin＝×25 m＝125 m
船渡过河时已在正对岸的下游A处，其顺水漂流的位移为
x＝v2tmin＝3×25 m＝75 m
(2)由于v1>v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短．设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，且与河岸成θ角，如图所示，则
cos θ＝＝，θ＝arccos .
船的实际速度为：v合＝＝ m/s＝ m/s
故渡河时间：t′＝＝ s＝ s
[要点提炼]
小船渡河问题一般有渡河时间最短和航程最短两类问题：
图2
1．关于最短时间，可根据运动等时性原理由船对静水的分运动时间来求解(如图2)，由于河宽一定，当船对静水速度v1垂直河岸时，垂直河岸方向的分速度最大，所以必有tmin＝.
2.关于最短航程，一般考察水流速度v2小于船对静水速度v1的情况较多(如图3)，此种情况船的最短航程就等于河宽d，此时船头指向应与上游河岸成θ角，且cos θ＝；若v2＞v1，则最短航程s＝d，此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
图3
四、关联物体速度的分解
[问题设计] 如图4所示，用绳子把小船拉向湖的岸边，若收绳的速度v恒定不变，试分析在靠岸过程中，船的速度怎样变化？
图4
答案 船的实际运动是沿直线水平向左运动，设船速为v船，则绳与船的连接点O的实际速度也是v船．它产生了两个效果：一个是O点沿绳子方向的运动，另一个是绕滑轮顺时针方向的转动，绳子在O点与水平方向的夹角α逐渐增大．因此，可将O点(船)的运动分解为一个沿绳方向的运动和一个绕滑轮转动而垂直于绳方向的运动．
根据平行四边形定则将v船沿绳方向和垂直绳方向进行分解，如图所示，沿绳方向的分速度为v，由图可知v船＝，因船逐渐靠岸的过程中，α逐渐增大，cos α逐渐减小，而v恒定不变，故由上式可知：船的速度逐渐增大．
[要点提炼]
绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两者的速度是有联系的(一般两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等)，我们称之为“关联”速度．解决此类问题的一般步骤如下：
第一步：先确定合运动，物体的实际运动就是合运动．
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向．
第三步：按平行四边形定则进行分解，作好运动矢量图．
第四步：根据沿绳或杆牵引方向的速度相等列方程．
一、合运动与分运动的关系
例1 关于运动的合成，下列说法中正确的是( )
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B．合运动的时间一定比每一个分运动的时间大
C．分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
D．合运动的速度可以比每个分运动的速度小
解析 根据平行四边形定则，知合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故A错误．分运动与合运动具有等时性，故B错误．
答案 CD
二、合运动性质的判断
例2 如图5所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向做匀速直线运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做( )
图5
A．速度大小不变的曲线运动
B．速度大小增大的曲线运动
C．加速度大小、方向均不变的曲线运动
D．加速度大小、方向均变化的曲线运动
解析 B物体在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上由d＝H－2t2得出做匀加速直线运动．B物体的实际运动是这两个分运动的合运动．对速度和加速度进行合成可知，加速度恒定且与速度不共线．所以应选B、C两项．
答案 BC
三、船渡河的运动
例3 在漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息．假设江岸是平直的，江水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，原来的地点离岸边最近处O的距离为d.若探险者想在最短时间内靠岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A. B．0
C. D.
解析 根据运动的独立性和等时性可知，当艇垂直河岸航行时，用时最短，最短时间t＝，在此条件下登陆处离O点的距离为：s＝v1t＝.
答案 C
四、关联物体速度的分解
例4 如图6所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度的大小分别为vB、vA，则( )
图6
A．vA＝vB B．vA＜vB
C．vA＞vB D．重物B的速度逐渐增大
解析 如图所示，汽车的实际运动是水平向左的运动，它的速度vA可以产生两个运动效果：一是使绳子伸长；二是使绳子与竖直方向的夹角增大，使绳子与水平方向的夹角减小，所以车的速度vA应有沿绳方向的分速度v0和垂直绳的分速度v1，由运动的分解可得v0＝vAcos α；又由于vB＝v0，所以vA＞vB，故C正确．因为随着汽车向左行驶，α角逐渐减小，所以vB逐渐增大，故D正确．
答案 CD
1．运动的合成与分解
2.小船渡河问题
3．关联物体速度的分解：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向分解实际速度，关联物体沿绳或杆方向的分速度大小相等．
1．(合运动与分运动的关系)对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是( )
A．合运动的速度大小等于两个分运动的速度大小之和
B．合运动的速度一定大于某一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
答案 C
解析 根据平行四边形定则，邻边表示两个分运动的速度，合运动的速度的大小和方向可由对角线表示，由几何关系知，两邻边和对角线的长短关系因两邻边的夹角不同而不同，当两邻边长短不变，而夹角改变时，对角线的长短也将发生改变，即合速度也将变化，故A、B、D错，C正确．
2．(合运动运动性质的判断)关于运动的合成，下列说法中正确的是( )
A．两个直线运动的合运动，一定是直线运动
B．两个直线运动的合运动，可能是曲线运动
C．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动
D．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动
答案 BC
解析 两个匀速直线运动的合成，就是其速度的合成，其合速度是确定的，等于两个分速度的矢量和，加速度为零，即合力为零，故合运动一定是匀速直线运动，C对；两个分运动的合加速度方向与合速度的方向不一定在同一直线上，既有可能是曲线运动，也有可能是直线运动，不是“一定”，而是“可能”，故A、D错，B对．
3. (关联物体速度的分解)如图7所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过滑轮用不可伸长的轻绳将物体拉着匀速向上运动．则关于拉力F及拉力作用点的移动速度v的下列说法正确的是( )
图7
A．F不变、v不变 B．F增大、v不变
C．F增大、v增大 D．F增大、v减小
答案 D
解析 设绳子与竖直方向的夹角为θ，因为物块A做匀速直线运动，在竖直方向上合力为零，有：Fcos θ＝mg，因为θ增大，则F增大．拉力作用点的移动速度v与物块A沿绳子方向的分速度v′相等，物块A沿绳子方向的分速度v′＝v＝v物cos θ，因为θ增大，v物不变，则v减小．D正确．
4．(小船渡河问题)小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝ s＝
50 s.
(2)如图乙所示，因小船的静水航速大于水流速度，故最短航程为河宽d，即应使v合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有
cos α＝＝＝，解得α＝60°.
1.2 研究平抛运动的规律（一）
题组一 合运动与分运动的关系、合运动运动性质的判断
1．关于运动的合成与分解，以下说法正确的是( )
A．合运动的位移为分运动位移的矢量和
B．物体的两个分运动若是直线运动，则它的合运动一定是直线运动
C．合运动和分运动具有等时性
D．若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动
答案 AC
解析 位移是矢量，其运算满足平行四边形定则，A正确；两个直线运动的合运动也有可能是曲线运动，B、D项错；合运动与分运动具有等时性，C项正确．
2．关于互成角度的两个初速度不为零的匀速直线运动的合运动，下列说法正确的是( )
A．一定是直线运动
B．一定是曲线运动
C．可能是直线运动，也可能是曲线运动
D．以上都不对
答案 A
解析 两个运动都是匀速直线运动，所以加速度都为零，所以合运动的加速度也一定为零．两个互成角度的运动的初速度不为零，所以合运动的初速度不为零．所以合运动是初速度不为零，加速度为零的运动，即匀速直线运动．
3．如图1甲所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现假使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的有( )
图1
A．笔尖留下的痕迹可以是一条如图乙所示的抛物线
B．笔尖留下的痕迹可以是一条倾斜的直线
C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变
答案 D
解析 由题可知，铅笔尖既随三角板向右做匀速运动，又沿三角板直角边向上做匀加速运动，其运动轨迹是向上弯曲的抛物线．故A、B错误．在运动过程中，笔尖运动的速度方向是轨迹的切线方向，时刻在变化．故C错误．笔尖水平方向的加速度为零，竖直方向加速度的方向向上，则根据运动的合成规律可知，笔尖运动的加速度方向始终竖直向上，保持不变．故D正确．
4.在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图2所示．关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )
图2
A．相对地面的运动轨迹为直线
B．相对地面做变加速曲线运动
C．t时刻猴子对地的速度大小为v0＋at
D．t时间内猴子对地的位移大小为
答案 D
解析 猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子的实际运动轨迹为曲线；因为猴子加速度恒定，所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动；t时刻猴子对地的速度大小为vt＝ ；t时间内猴子对地的位移大小为s＝ .
题组二 关联物体的速度分解问题
5．如图3所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为( )
图3
A．v B．vcos θ
C. D．vcos2 θ
答案 B
解析 如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于物体P的速度，根据平行四边形定则得，vP＝vcos θ.故B正确，A、C、D错误．
6．如图4所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，小船水平向左运动，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船的速度vx为( )
图4
A．小船做变加速运动，vx＝
B．小船做变加速运动，vx＝v0cos α
C．小船做匀速直线运动，vx＝
D．小船做匀速直线运动，vx＝v0cos α
答案 A
解析 如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小，与水平方向的夹角增大．所以小船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变加速运动．
7．如图5所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车匀速地从B点运动到M点，再运动到N点的过程中，关于物体A的运动和受力情况，下列说法正确的是( )
图5
A．物体A也做匀速直线运动
B．物体A的速度可能为零
C．绳的拉力总是等于A的重力
D．绳的拉力总是大于A的重力
答案 BD
解析 设和小车连接的绳子与水平面的夹角为θ，小车的速度为v，则这个速度分解为沿绳方向向上和垂直绳方向向下的速度，解三角形得沿绳方向的速度为vcos θ，随着小车匀速向右运动，显然θ先增逐渐大后减小，所以沿绳方向的分速度先越来越小后越来越大，又知物体A的速度与沿绳方向分速度大小一样，则在小车从右向左匀速行驶的过程中物体A先向下做减速运动，然后向上做加速运动，加速度始终向上，当小车到达M点时，沿绳子的速度为零，则物体A的速度也为零．则由牛顿第二定律得：F－mg＝ma，即F＝mg＋ma，因此，绳的拉力总大于物体A的重力，故选项A、C错误，选项B、D正确．
题组三 小船渡河问题
8．小船在静水中速度为4 m/s，它在宽为200 m，流速为3 m/s的河中渡河，船头始终垂直河岸，如图6所示．则渡河需要的时间为( )
图6
A．40 s B．50 s
C．66.7 s D．90 s
答案 B
解析 船头始终垂直河岸，渡河时间t＝＝ s＝50 s，故选项B正确．
9．小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )
A．水速小时，位移小，时间也短
B．水速大时，位移大，时间也长
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
答案 C
解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个方向的分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船“以一定速率垂直河岸向对岸划去”，故渡河时间一定，水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小．
10．下列四个选项的图中实线为河岸，河水的流速v方向如图中箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，已知船在静水中速度小于水速，且船头方向为船对水的速度方向．则其中可能正确的是( )
答案 C
解析 因为静水速小于水流速，根据平行四边形定则知，合速度的方向不可能垂直河岸，也不可能偏向上游．故A、B错误．静水速垂直于河岸，合速度的方向偏向下游．故C正确．船头的指向为静水速的方向，静水速的方向不可能与合速度的方向一致．故D错误．
11．一只小船在静水中的速度为5 m/s，它要渡过一条宽为50 m的河，河水流速为4 m/s，则( )
A．这只船过河位移不可能为50 m
B．这只船过河时间不可能为10 s
C．若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变
D．若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变
答案 C
12．如图7，MN是流速稳定的河流，河宽一定，小船在静水中的速度为v.现小船自A点渡河，第一次船头沿AB方向，到达对岸的D处；第二次船头沿AC方向，到达对岸E处，若AB与AC跟河岸垂线AD的夹角相等，两次航行的时间分别为tB、tC，则( )
图7
A．tB＞tC B．tB＜tC
C．tB＝tC D．无法比较tB与tC的大小
答案 C
解析 设第一次合速度为v1，第二次合速度为v2，因为静水速与河岸夹角相等，则v1在垂直于河岸方向上的速度等于v2在垂直于河岸方向上的速度，根据等时性知，tB＝tC.故C正确，A、B、D错误．
13．如图8所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动．若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点．求：
图8
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.
答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
解析 (1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝＝ m/s＝0.25 m/s.
(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间为t＝，所以sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s.
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m.
