学案4 研究斜抛运动
[学习目标定位] 1.知道斜抛运动，知道斜抛运动又可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的上抛运动.2.通过实验探究斜抛运动的射高和射程跟速度和抛射角的关系，并能将所学知识应用到生产和生活中．
一、斜抛运动
1．定义：物体以一定的初速度斜向射出去，在空气阻力可以忽略的情况下，我们把物体所做的这类运动叫做斜抛运动．
2．研究方案
方案1：把斜抛运动看成是沿初速度v0方向的匀速直线运动与沿竖直方向的自由落体运动的合运动．
方案2：把斜抛运动分解为水平方向和竖直方向两个方向的分运动，在水平方向上，物体做匀速直线运动，在竖直方向上，物体做匀减速直线运动．
二、射高和射程
1．概念
(1)射高：在斜抛运动中物体能到达的最大高度．
(2)射程：被抛物体抛出点与落点之间的水平距离．
2．公式
若斜抛的初速度为v0，抛射角为θ(v0与水平方向夹角)则
(1)射高Y：Y＝.
(2)射程X：X＝.
3．弹道曲线：由于空气阻力的影响，轨迹不再是理论上的抛物线，而是实际的抛体运动曲线，即弹道曲线.
一、怎样研究斜抛运动
[问题设计]
1．我们研究平抛运动时，是把平抛运动沿初速度方向和受力方向分解后，在两个方向上分别分析得到平抛运动的规律．对斜抛运动若用这种思路，斜抛运动可分解为什么样的分运动？根据这种思路你能画出做斜抛运动物体的运动轨迹吗？
答案 把斜抛运动沿初速度方向和受力方向(竖直方向)分解，做斜抛运动的物体在沿初速度方向以初速度做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动．
以与水平面成一定角度发射的炮弹为例，炮弹每经过1 s沿初速度方向通过的位移相等，而在竖直方向上炮弹按自由落体运动的规律，在1 s内、2 s内、3 s内……下落的距离之比为1∶4∶9…，由此可画出炮弹运动的轨迹如图所示，由图可知其轨迹为一条抛物线．
2．把斜抛运动沿水平方向和竖直方向分解又会得到两个什么样的分运动？
答案 因物体在水平方向不受外力，所以ax＝0，物体在竖直方向只受重力作用，所以ay＝－g(取竖直向上为正方向)．如图所示，物体沿水平方向的初速度为v0x＝v0cos θ，沿竖直方向的初速度为v0y＝v0sin θ，所以物体在水平方向是速度为v0x的匀速直线运动，在竖直方向是初速度为v0y、加速度为g的匀减速直线运动．
[要点提炼]
1．斜抛运动的性质：由于斜抛运动的加速度是重力加速度，且与速度方向有夹角，因此，斜抛运动是匀变速曲线运动．
2．斜抛运动的轨迹为一条抛物线．
3．斜抛运动的研究方法：采用运动的合成与分解的方法．
(1)斜抛运动可以看作沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动．
(2)斜抛运动沿水平方向和竖直方向分解(θ为v0与水平方向的夹角)
水平方向：物体不受外力，以初速度v0x＝v0cos_θ做匀速直线运动．
竖直方向：受重力作用，加速度为g，以初速度v0y＝v0sin_θ做竖直上抛运动．
4．斜抛运动的轨迹、运动的速度、位移和时间具有对称性．
二、研究斜抛运动的射程与射高
[问题设计]
1.一炮弹以初速度v0斜向上方飞出炮筒，初速度与水平方向的夹角为θ，请根据图1求解炮弹在空中飞行时间、射高和射程的最大值．
图1
答案 先建立直角坐标系，将初速度v0分解为：v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
飞行时间：T＝＝
射高：Y＝＝
射程：X＝v0cos θ·T＝＝
2．由射程的表达式，讨论影响射程的因素有哪些？怎样会有最大射程？
答案 射程X＝，由此可以看出射程的大小与初速度和抛射角有关．若初速度一定，则θ＝45°时，射程达到最大值Xmax＝.
[要点提炼]
1．落点与抛出点在同一水平面上时的飞行时间：T＝.
2．射高：Y＝＝.
3．落点与抛出点在同一水平面上时射程：
X＝v0x·T＝v0cos θ·＝.
4．射高Y、射程X与初速度和抛射角的关系
(1)射高、射程与初速度的关系
当抛射角θ一定时，初速度v0越大，射高和射程也越大．
(2)射高、射程与抛射角的关系
①当v0一定时，θ角越大，射高越大．
②若落点与抛出点在同一水平面上，当v0一定且θ＝45°时，射程最大；当θ>45°时，射程随θ增大而减小；θ<45°时，射程随θ减小而减小．抛射角为45°＋α和45°－α(α＜45°)时的射程相等．
一、对斜抛运动的理解
例1 关于斜抛运动，下列说法中正确的是( )
A．物体抛出后，速度增大，加速度减小
B．物体抛出后，速度先减小，再增大
C．物体抛出后，沿着轨迹的切线方向，先做减速运动，再做加速运动，加速度始终沿着切线方向
D．斜抛物体的运动是匀变速曲线运动
解析 斜抛物体的运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛或竖直下抛运动，抛出后只受重力，故加速度恒定．若是斜上抛运动则竖直分速度先减小后增大，若是斜下抛运动则竖直分速度一直增大，故A、B、C选项错误．由于斜抛运动的物体只受重力的作用且与初速度方向不共线，故做匀变速曲线运动，D项正确．
答案 D
针对训练 斜抛运动与平抛运动相比较，下列说法正确的是( )
A．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B．都是加速度逐渐增大的曲线运动
C．平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
D．都是任意两段相等时间内的速度变化量相等的运动
答案 D
解析 斜抛运动和平抛运动都是只受重力的作用，加速度恒为g的匀变速曲线运动，A、B错；斜抛运动的速度是增大还是减小，要看速度与重力的夹角，成锐角，速度增大，成钝角，速度减小，斜下抛运动就是速度一直增大的运动，C错；由Δv＝gΔt知D对．
二、斜抛运动的射程和射高
例2 从某高处以6 m/s的初速度、以30°抛射角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，求：
(1)石子在空中运动的时间；
(2)炮弹的水平射程；
(3)抛出点离地面的高度．(忽略空气阻力，g取10 m/s2)．
解析 (1)如图所示，石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，
则＝tan 60°＝，
即vy＝vx＝v0cos 30°＝×6× m/s＝9 m/s.
取向上为正方向，落地时竖直分速度向下，则
－vy＝v0sin 30°－gt，得t＝1.2 s.
(2)石子在水平方向上做匀速直线运动：x＝v0cos 30°＝6××1.2 m＝3.6 m
(3)由竖直方向位移公式：h＝v0sin 30°×t－gt2＝6××1.2 m－×10×1.22 m
＝－3.6 m，负号表示落地点比抛出点低．
答案 (1)石子在空中运动的时间为1.2 s
(2)炮弹的水平射程为3.6 m
(3)抛出点比地面高3.6 m
1．(对斜抛运动的理解)关于斜抛运动，忽略空气阻力．下列说法中正确的是( )
A．斜抛运动是曲线运动
B．斜抛运动的初速度是水平的
C．斜抛运动在最高点速度不为零
D．斜抛运动的加速度是恒定的
答案 ACD
解析 斜抛运动只受重力作用，加速度为g，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为竖直上抛运动．在最高点有水平速度，故A、C、D正确．
2．(斜抛运动的射高)关于斜抛运动中的射高，下列说法中正确的是( )
A．初速度越大，射高越大
B．抛射角越大，射高越大
C．初速度一定时，抛射角越大，射高越大
D．抛射角一定时，初速度越大，射高越大
答案 CD
解析 斜抛运动的射高，是由初速度和抛射角共同决定的，初速度一定时，抛射角越大，射高越大；抛射角一定时，初速度越大，射高也越大，故C、D正确．
3．(斜抛运动的射程)在不考虑空气阻力的情况下，以相同大小的初速度，抛出甲、乙、丙三个手球，抛射角分别为30°、45°、60°.射程较远的手球是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．不能确定
答案 B
解析 不考虑空气阻力的情况下，三个小球的运动可看作斜抛运动，然后根据斜抛运动的射程公式X＝分析.
1.3 研究斜抛运动
题组一 对斜抛运动的理解
1．关于斜抛运动，下列说法正确的是( )
A．斜抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
C．任意两段相等时间内的速度大小变化相等
D．任意两段相等时间内的速度变化相等
答案 D
解析 斜抛运动是指将物体用一定的初速度斜向抛出，物体只在重力作用下的运动，所以A错．斜抛运动是曲线运动，是因为初速度方向与重力方向不共线，但物体只受重力，产生的重力加速度是恒定不变的，所以斜抛运动是匀变速曲线运动，故B错．根据加速度的定义式可得Δv＝gΔt，所以在相等的时间内速度的变化相等，而速度是矢量，包括大小与方向两个因素，在这里我们只能判断出速度的变化相等，故C错，D对．
2．斜抛运动和平抛运动的共同特点是( )
A．加速度都是g
B．运动轨迹都是抛物线
C．运动时间都与抛出时的初速度大小有关
D．速度变化率都随时间变化
答案 AB
解析 物理学中的斜抛运动和平抛运动都是仅受重力作用的抛体运动，因此其加速度或速度变化率都是相同的，都为重力加速度，因此选项A正确，选项D错误．它们的轨迹均为抛物线，选项B正确．斜抛运动的飞行时间由竖直方向的分运动决定，平抛运动的时间仅与竖直分位移有关，与初速度无关，故选项C错误．
3．做斜上抛运动的物体的运动可以分解为水平方向和竖直方向的两个分运动，下列图像中正确描述竖直方向上物体运动速度的为( )
答案 C
4.如图1所示是斜向上抛出的物体运动的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点．下列叙述中正确的是(不计空气阻力)( )
图1
A．物体在C点的速度为零
B．物体在A点的速度与在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平分速度均等于物体在C点的速度
D．物体在A、B、C各点的加速度都相同
答案 CD
解析 速度是矢量，A、B处速度大小相等，方向不相同．物体的运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向为加速度总为g的上抛运动．
题组二 斜抛运动的射高和射程
5．关于斜抛运动，下面的说法正确的是( )
A．抛射角一定，初速度小时，运动时间长
B．抛射角一定，初速度大时，运动时间长
C．初速度一定，抛射角小时，运动时间长
D．初速度一定，抛射角大时，运动时间长
答案 BD
解析 斜抛运动的运动时间取决于竖直方向的分运动的运动时间．
6．A、B两物体初速度相同，A沿与水平方向成θ角的光滑斜面上滑；B与水平方向成θ角斜上抛．它们所能达到的最大高度分别为HA和HB，则下列关于HA和HB的大小判断正确的是( )
A．HAC．HA>HB D．无法确定
答案 C
解析 设初速度为v0，在光滑斜面上时，对物体A进行受力分析可以得到物体的加速度a＝＝gsin θ，物体在斜面上运动的长度为L，则v＝2gLsin θ，离地面的最大高度HA＝Lsin θ＝；斜向上抛时，B物体竖直分速度vy＝v0sin θ，上升的最大高度HB＝7．从水平地面上某处以相同速率v0用不同抛射角抛出两小球A、B，两小球的水平射程相同，已知小球A的抛射角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
A．球的水平射程为
B．小球B的抛射角一定为－θ
C．两小球A、B在空中飞行时间的比值为＝
D．两小球A、B上升的最大高度的比值为＝tan θ
答案 B
解析 将小球A的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，竖直分运动是竖直上抛运动，水平分运动是匀速直线运动，根据分运动公式，有：
竖直分运动：－v0sin θ＝v0sin θ－gt ①
水平分运动：x＝v0cos θt ②
联立①②解得：
x＝，故A错误；
水平射程表达式为：x＝＝.
由于两小球的水平射程相同，故两个小球的抛射角的两倍之和等于π，即两个小球的抛射角互余，故小球B的抛射角一定为－θ.故B正确．
根据①式，小球A运动时间为：tA＝；
同理，小球B运动时间为：tB＝；
故两小球A、B在空中飞行时间的比值为：＝；故C错误；
竖直分运动是竖直上抛运动，根据速度位移关系公式，有h＝＝；
故两小球A、B上升的最大高度的比值为：＝；故D错误；故选B项．
8.如图2所示，是一枚斜向上射出的炮弹飞行的理论曲线和弹道曲线，理论曲线和弹道曲线相差较大的原因是( )
图2
A．理论计算误差造成的
B．炮弹的形状造成的
C．空气阻力的影响造成的
D．这是一种随机现象
答案 C
解析 炮弹一般飞行的速度很大，故空气阻力的影响是很大的，正是空气阻力的影响，才使得理论曲线和弹道曲线相差较大．
题组三 综合应用
9．如图3所示，从地面上同一位置斜向上抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )
图3
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
答案 CD
解析 由题可知，A、B两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度，故A错；设上升的最大高度为h，在下落过程，由h＝gt2，可知下落时间t＝，根据运动的对称性可知，两球上升时间和下落时间相等，故两小球的运动时间相等，故B错；由x＝vxt，可知vxA10.如图4所示，在地面上某一高度处将A球以初速度v1水平抛出，同时在A球正下方地面处将B球以初速度v2斜向上抛出，结果两球在空中相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中( )
图4
A．A和B的初速度大小关系为v1B．A和B的加速度大小关系为a1>a2
C．A做匀变速运动，B做变加速运动
D．A和B的速度变化量相同
答案 AD
解析 如图所示，设v2与水平方向夹角为θ，两球分别做平抛运动和斜抛运动，都只受重力作用，均做匀变速运动，加速度均为g，B、C错误；两球经过相等时间Δt在空中相遇，则水平位移相等，故v1Δt＝v2cos θΔt，v111.如图5所示，将小球沿与水平方向成α角以速度v向右侧抛出，经时间t1击中墙上距水平面高度为h1的A点；再将此球仍从同一点以相同速率抛出，抛出速度与水平方向成β(β＞α)角，经时间t2击中墙上距水平面高度为h2的B点(图中未标出)，空气阻力不计．则( )
图5
A．t1一定小于t2 B．t1一定大于t2
C．h1一定小于h2 D．h1一定大于h2
答案 A
解析 小球被抛出后，仅受重力作用，即在水平方向做匀速直线运动，无论小球是在上升阶段还是在下落阶段击中墙壁，其水平方向的位移都相等，因此有：vcos αt1＝vcos βt2，由于β＞α，因此vcos α＞vcos β，所以有：t1＜t2，故选项A正确，选项B错误；因小球击中墙壁可能在小球上升阶段，也可能在下落阶段，因此h1与h2的大小关系不能确定，故选项C、D错误．
