学案1 怎样描述圆周运动
[学习目标定位] 1.知道什么是匀速圆周运动，知道它是变速运动.2.记住线速度的定义式，理解线速度的大小、方向的特点.3.记住角速度的定义式，知道周期、转速的概念.4.理解掌握v＝ωr和ω＝2πn等公式．
一、圆周运动
运动轨迹是圆的运动，圆周运动是曲线运动，故一定是变速运动．
二、描述匀速圆周运动的物理量
1．线速度v：
(1)定义：物体经过的圆弧长度s跟通过这段圆弧所用时间t的比值．
(2)大小：v＝，单位：米每秒，符号：m/s.
(3)方向：线速度为矢量，其经某点时的方向为该点在圆上的切线方向．
2．角速度ω：
(1)定义：连接物体与圆心的半径转过的角度Δθ跟所用时间t的比值．
(2)大小：ω＝，单位：弧度每秒，符号：rad/s.
3．周期T和转速n：
(1)周期T：物体沿圆周运动一周的时间．单位：秒(s)．
(2)转速n：物体在单位时间内完成圆周运动的圈数．单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)．
三、各物理量间的关系
1．线速度与角速度：v＝Rω.
2．线速度与周期、转速：v＝＝2πRn.
3．角速度与周期、转速：ω＝＝2πn.
一、线速度
1．线速度
(1)定义式：v＝.
(2)线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向．
(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．
2．匀速圆周运动的特点
(1)线速度的大小处处相等．
(2)由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度”．
二、角速度
[问题设计]
图1中A、B两个质点转一周的时间相同吗？哪个绕圆心转动得快？只用线速度描述圆周运动能全面说明问题吗？
答案 A、B两个质点转一周的时间相同，绕圆心转动得一样快．不能．
[要点提炼]
1．角速度：半径转过的角度Δθ与所用时间t的比值，即ω＝(如图1所示)．国际单位：弧度每秒，符号：rad/s.
图1
2．转速与周期
(1)转速n：做圆周运动的物体单位时间内所转过的圈数，常用符号n表示．
(2)周期T：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期，用符号T表示．
(3)转速与周期的关系：若转速的单位是转每秒(r/s)，则转速与周期的关系为T＝.
三、描述圆周运动的各物理量之间的关系
[问题设计]
沿半径为R的圆周做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间为T，则物体的线速度是多少？物体运动的角速度是多少？物体的线速度与角速度的关系如何？
答案 v＝＝，ω＝＝.
线速度与角速度的关系为v＝Rω.
[要点提炼]
1．线速度与周期的关系：v＝.
2．角速度与周期的关系：ω＝.
3．线速度与角速度的关系：v＝ωR.
4．角速度与转速的关系：ω＝2πn(转速的单位用r/s)．
四、同轴转动和皮带传动
[问题设计]
请同学们分析下列三种传动方式的特点，并回答有关问题．
图2
1．同轴转动
如图2所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，当圆盘转动时，A点和B点沿着不同半径的圆周运动，它们的半径分别为r和R.此传动方式有什么特点，A、B两点的角速度、线速度有什么关系？
答案 同轴转动的物体上各点的角速度相同，即ωA＝ωB.
线速度关系：＝.
2．皮带(齿轮)传动
(1)皮带传动
如图3所示，A点和B点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．此传动方式有什么特点？A、B两点的线速度、角速度有什么关系？
图3
(2)齿轮运动
如图4所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮的轮齿啮合．两个齿轮在同一时间内转过的齿数相等，但它们的转动方向恰好相反，即当A顺时针转动时，B逆时针转动．r1、r2分别表示两齿轮的半径，请分析A、B两点的v、ω的关系，与皮带传动进行对比，你有什么发现？
图4
答案 (1)两个轮子边缘处及传送带上各点的线速度相同，即vA＝vB，角速度关系：＝.
(2)线速度、角速度的关系为vA＝vB，＝，与皮带传动中两轮边缘的各量关系相同．
[要点提炼]
1．同轴转动(如图5所示)
图5
(1)角速度(周期)的关系：ωA＝ωB，TA＝TB.
(2)线速度的关系：＝.
2．皮带(齿轮)传动(如图6所示)
图6
(1)线速度的关系：vA＝vB
(2)角速度(周期)的关系：＝，＝.
一、圆周运动的各物理量的关系
例1 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
解析 (1)依据线速度的定义式v＝可得
v＝＝ m/s＝10 m/s.
(2)依据v＝ωR可得
ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s.
(3)T＝＝ s＝4π s.
答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
二、同轴转动与皮带传动问题
例2 自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径各不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图7所示．在自行车正常骑行时，下列说法正确的是( )
图7
A．A、B两点的线速度大小相等
B．B、C两点的角速度大小相等
C．A、B两点的角速度与其半径成反比
D．A、B两点的角速度与其半径成正比
解析 大齿轮与小齿轮类似于皮带转动，所以两轮边缘的点A、B的线速度大小相等，A正确；小齿轮与后轮类似于同轴转动，所以B、C的角速度大小相等，B正确．A、B两点的线速度大小相等，由v＝ωR知A、B两点的角速度与半径成反比，C正确．
答案 ABC
圆周运动
1．(描述圆周运动的各物理量的关系)下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的说法中，正确的是( )
A．若它们的线速度相等，则角速度一定相等
B．若它们的角速度相等，则线速度一定相等
C．若它们的周期相等，则角速度一定相等
D．若它们的周期相等，则线速度一定相等
答案 C
解析 根据v＝ωR可知，在不知半径R的情况下，线速度相等，角速度不一定相等，同样角速度相等，线速度也不一定相等，A、B错误．由于T＝＝，故周期相等，角速度一定相等，线速度不一定相等，C正确，D错误．
2．(传动问题)如图8所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为R1、R2、R3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
图8
A. B.
C. D.
答案 A
解析 甲、乙、丙之间属于齿轮传动，所以轮子边缘的线速度相等，即v甲＝v乙＝v丙，由v＝ωR得ω1R1＝ω3R3，所以ω3＝，故选项A正确.
2.1 怎样描述圆周运动
题组一 对匀速圆周运动的理解
1．下列对于匀速圆周运动的说法中，正确的是( )
A．线速度不变的运动
B．角速度不变的运动
C．周期不变的运动
D．转速不变的运动
答案 BCD
解析 匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变，线速度时刻在变，故应选B、C、D.
2．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．其角速度与转速成正比，与周期成反比
B．运动的快慢可用线速度描述，也可用角速度来描述
C．匀速圆周运动是匀速运动，因为其速率保持不变
D．做匀速圆周运动的物体，所受合力为零
答案 AB
解析 做匀速圆周运动的物体，其运动的快慢可用线速度或角速度描述，转速与角速度的关系是ω＝2πn，周期与角速度的关系是ω＝，即角速度与转速成正比，与周期成反比，故A、B正确；匀速圆周运动的速率保持不变，但速度的方向时刻变化，故是非匀速运动，C错误；匀速圆周运动是变速运动，一定受到不为零的合力作用，故D错误．
3．质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
答案 BD
解析 如图所示，经，质点由A到B，再经，质点由B到C，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，s＝v·，所以相等时间内通过的路程相等，B正确．但位移xAB、xBC大小相等，方向并不相同，平均速度不同，A、C错误．由角速度的定义ω＝知t相同，Δθ＝ωt相同，D对确．
题组二 圆周运动各物理量间的关系
4．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
答案 D
解析 解决这类题目的方法是：确定哪个量不变，寻找各物理量之间的联系，灵活选取公式进行分析．由v＝ωR知，v大，ω不一定大；ω大，R不一定小，故A、C均错误；由v＝知，v大，T不一定小，B错误；而由ω＝可知，ω越大，T越小，故D正确．
5．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9 B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3 D．它们的周期之比为1∶3
答案 AD
解析 由v＝ωR，得R＝，＝＝，A正确，B错误；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝，C错误，D正确．
6．一个电子钟的秒针角速度为( )
A．π rad/s B．2π rad/s
C．π/30 rad/s D．π/60 rad/s
答案 C
7．假设“神舟”十号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r.则计算其运行周期可用( )
A．T＝ B．T＝
C．T＝ D．T＝
答案 AC
解析 由题意可知飞船运动n周所需时间Δt＝t2－t1，故其周期T＝＝，故选项A正确．由周期公式有T＝，故选项C正确．
8．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速为( )
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
答案 B
解析 由v＝Rω，ω＝2πn得
n＝＝ r/s≈17.7 r/s≈1 000 r/min.
题组三 同轴转动和皮带传动问题
9．如图1所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
图1
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
答案 B
解析 a、b和c均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B正确，C错误；三点的运动半径关系为Ra＝Rb>Rc，据v＝ω·R可知，三点的线速度关系为va＝vb>vc，A、D错误．
10．如图2所示，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a、b、c三点，已知Oc＝Oa，则下列说法中错误的是( )
图2
A．a、b两点线速度相同
B．a、b、c三点的角速度相同
C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D．a、b、c三点的运动周期相同
答案 A
解析 同轴转动的不同点角速度相同，B正确；根据T＝知，a、b、c三点的运动周期相同，D正确；根据v＝ωR可知c点的线速度大小是a点线速度大小的一半，C正确；a、b两点线速度的大小相等，方向不同，A错误．
11．两个小球固定在一根长为1 m的杆的两端，杆绕O点逆时针旋转，如图3所示，当小球A的速度为3 m/s时，小球B的速度为12 m/s.则小球B到转轴O的距离是( )
图3
A．0.2 m B．0.3 m C．0.6 m D．0.8 m
答案 D
解析 设小球A、B做圆周运动的半径分别为R1、R2，则v1∶v2＝ωR1∶ωR2＝R1∶R2＝1∶4，又因R1＋R2＝1 m，所以小球B到转轴O的距离R2＝0.8 m，D正确．
12.如图4所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
图4
A．从动轮顺时针转动 B．从动轮逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
答案 BC
解析 主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πRn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误．
13．如图5所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比为( )
图5
A．角速度之比1∶2∶2 B．角速度之比1∶1∶2
C．线速度之比1∶2∶2 D．线速度之比1∶1∶2
答案 AD
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等．
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2
故A、D正确．
题组四 综合应用
14．某转盘每分钟转45圈，在转盘离转轴0.1 m处有一个小螺帽，求小螺帽做匀速圆周运动的周期、角速度、线速度．
答案 s rad/s m/s
解析 由周期和转速的关系可求
周期T＝＝ s＝ s
角速度ω＝＝＝ rad/s
线速度v＝ωR＝ m/s.
15．如图6所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
图6
(1)B球抛出时的水平初速度；
(2)A球运动的线速度最小值．
答案 (1)R (2)2πR
解析 (1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t ①
在竖直方向上做自由落体运动，则h＝gt2 ②
由①②得v0＝＝R.
(2)设相碰时，A球转了n圈，则A球的线速度
vA＝＝＝2πRn
当n＝1时，其线速度有最小值，即
vmin＝2πR.
