学案2 研究匀速圆周运动的规律
[学习目标定位] 1.理解向心加速度的概念，掌握向心加速度的公式并会进行有关计算.2.理解向心力的概念及其表达式的含义.3.能用向心力公式进行有关的计算．
一、向心加速度
1．定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度．
2．大小：a＝或a＝ω2R.
3．方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心．
4．作用：使速度的方向发生改变．
二、向心力
1．定义：产生向心加速度的力．
2．大小：F＝m或F＝mω2R.
3．方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心．
4．作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.
一、向心加速度
[问题设计]
请利用所学的知识分析，做匀速圆周运动的物体有没有加速度？若有，则加速度有什么特点？
答案 如图所示，物体在圆周上从A点经一段时间运动到B点．物体在A点时，其速度方向沿A点的切线方向，如果没有力的作用(因而没有加速度)，物体将因惯性而沿着切线运动到B′点，而实际上物体是运动到圆周上的B点，且速度方向是B点的切线方向．这说明物体有加速度．这个加速度只改变速度的方向，所以这个加速度应该总是跟该点的速度方向垂直，即沿着半径指向圆心．
[要点提炼]
1．向心加速度的大小：a＝＝ω2R＝R＝4π2n2R＝ωv.
2．向心加速度的作用
向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向变化的快慢．
4．匀速圆周运动的性质
向心加速度的方向始终指向圆心，方向时刻改变，是一个变加速度，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是非匀变速运动．
说明：向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心．
[延伸思考]
甲同学认为由公式a＝知向心加速度a与运动半径R成反比；而乙同学认为由公式a＝ω2R知向心加速度a与运动半径R成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点．
答案 他们两人的观点都不正确．当v一定时，a与R成反比；当ω一定时，a与R成正比．(a与R的关系图象如图所示)
二、向心力
[问题设计]
1．如图1所示，用手拉细绳使小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，小球受力情况如何？是什么力提供向心力？
图1
答案 小球受重力、支持力、细绳的拉力；细绳的拉力提供向心力．
2．在旋转半径不变的条件下，减小旋转的角速度，感觉手拉绳的力怎样变化？在角速度不变的条件下增大旋转半径，手拉绳的力怎样变化？在旋转半径、角速度相同的情况下，换用不同质量的小球，手拉绳的力有什么不同．
答案 变小；变大；手对质量大的球的拉力比对质量小的球的拉力大．
3．向心力与什么因素有关？你能推导出向心力的表达式吗？
答案 向心力与做圆周运动物体的质量、圆周运动的半径和转动快慢有关．
由牛顿第二定律F＝ma及向心加速度的表达式a＝或a＝ω2R得向心力为F＝m或F＝mω2R.
[要点提炼]
1．向心力的大小：F＝ma＝m＝mω2R＝mωv＝m()2R.
2．向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
3．向心力的作用效果——改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小．
4．向心力来源：向心力是根据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力．
注意 向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不能添加向心力．
5．物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心．
一、向心加速度的理解及计算
例1 下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
解析 向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；匀速圆周运动的向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故B、C、D错误．
答案 A
针对训练 A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min.则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．8∶1
答案 D
解析 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωRA∶ωRB＝8∶1，D正确．
二、向心力的理解及来源分析
例2 关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．它是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析 做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确．
答案 BC
例3 如图2所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点相对圆盘静止．关于小强的受力，下列说法正确的是( )
图2
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．若使圆盘以较小的转速转动，小强在P点受到的摩擦力为零
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心
解析 由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指向圆心．D错误．
答案 C
三、圆周运动中的动力学问题
例4 如图3所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．
图3
解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力T的合力提供(如图所示)，
即T－mg＝
所以T＝mg＋＝(1×10＋) N＝14 N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.
答案 14 N
1．(对向心加速度的理解)关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量
C．向心加速度时刻指向圆心，方向不变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝来计算
答案 B
解析 加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错误，B正确．虽然向心加速度时刻指向圆心，但是沿不同的半径指向圆心，所以方向不断变化，C错误．加速度公式a＝适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D错误．
2．(对向心力的理解)下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力
D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
答案 CD
解析 向心力是一种效果力，实际由某种或某几种性质力提供，受力分析时不分析向心力，A、B错误，C正确．向心力只改变物体线速度的方向，不改变线速度的大小，D正确．
3．(向心力来源分析)在马戏团表演的场地里，表演者骑在大象背上，大象绕着场地走动，若大象是沿着半径为R的圆周匀速走动，则关于大象和表演者的受力情况，下面说法正确的是( )
A．表演者骑在大象背上不动，他受到的力是平衡力
B．表演者的向心力是地面摩擦力通过大象作用于他的
C．大象和表演者所需向心力大小与两者的质量成正比
D．大象与人两者做匀速圆周运动的向心力是地面摩擦力提供的
答案 CD
4．(圆周运动的动力学问题)游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点的向心加速度达20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
答案 C
解析 游客乘坐过山车在圆弧轨道最低点的受力如图所示．由牛顿第二定律得N－mg＝ma＝2mg，
则N＝mg＋2mg＝3mg，＝3.
2.2 研究匀速圆周运动的规律
题组一 对向心加速度的理解及计算
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度变化的物理量
B．向心加速度既改变线速度的方向，又改变线速度的大小
C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D．物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小也可用a＝来计算
答案 D
解析 加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A、B错误；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C错误，D正确．
2.如图1所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知( )
图1
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的角速度大小不变
D．B物体运动的角速度与半径成正比
答案 AC
解析 因为A为双曲线的一个分支，说明a与R成反比，由a＝可知，A物体的线速度大小不变，故A正确，B错误；而OB为过原点的直线，说明a与R成正比，由a＝ω2R可知，B物体的角速度大小不变，故C正确，D错误．
3.如图2所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )
图2
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
答案 AB
解析 因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，选项A、B正确；小物块在 s内转过，通过的位移大小为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，选项C、D错误．
4.如图3所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用木块的速率不变，那么( )
图3
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
答案 D
解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．
5.一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗钉子．如图4所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )
图4
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度不变
答案 AC
解析 由于小球的线速度不能发生突变，又做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωR知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错误；由a＝知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C正确，D错误．
题组二 对向心力的理解及其来源分析
6．下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力会改变做圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合力
D．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
答案 C
解析 当物体所受外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体就将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动．因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变速度的大小、只改变速度的方向，当合力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变、方向时刻改变，故向心力是变化的．
7.如图5所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有( )
图5
A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心
C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D．圆盘对B的摩擦力和向心力
答案 B
解析 以A、B整体为研究对象，受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力，重力与支持力平衡，摩擦力提供向心力，即摩擦力指向圆心．以A为研究对象，受重力、B的支持力及B对A的摩擦力，重力与支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，即方向指向圆心，由牛顿第三定律知A对B的摩擦力背离圆心，所以物体B在水平方向受圆盘指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力，故B正确．
8．在水平面上，小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确地表示小滑块受到的牵引力及摩擦力f的图是( )
答案 A
解析 滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向，B、D错误；小滑块做匀速圆周运动，其合外力提供向心力，故A正确，C错误．
9．如图6所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置使绳与竖直方向有一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
图6
A．绳的拉力
B．重力和绳的拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向的分力的合力
答案 CD
解析 小球仅受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确．
10.一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图7所示，下列说法中正确的是( )
图7
A．物块所受合外力为零
B．物块所受合外力越来越大
C．物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变
D．物块所受摩擦力大小变化
答案 CD
解析 由于物块做匀速圆周运动，故合外力的方向只是改变物体的速度方向，故合外力时刻指向圆心，且大小保持不变，A、B错误，C正确；对物块受力分析知物块所受摩擦力总是与重力沿切线方向的分力G1大小相等，因随物块下滑G1逐渐减小，故物块所受摩擦力也逐渐减小，D正确．
题组三 圆周运动中的动力学问题
11.如图8所示，半径为R的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( )
图8
A. B.
C. D.
答案 D
解析 对物块受力分析知f＝mg，N＝F向＝mω2R，又由于f≤μN，所以解这三个方程得角速度ω至少为 ，D选项正确．
12．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
答案 AC
解析 在光滑的水平面上细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由F向＝mω2R知，在角速度ω不变时，F向与小球的质量m、半径l都成正比，A正确，B错误；质量m不变时，F向又与l和ω2成正比，C正确，D错误．
13.如图9所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，有m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
图9
A．1∶1 B．1∶ C．2∶1 D．1∶2
答案 D
解析 设两球受绳子的拉力分别为F1、F2.
对m1：F1＝m1ωr1
对m2：F2＝m2ωr2
因为F1＝F2，ω1＝ω2
解得＝＝.
14.如图10所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其重力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
图10
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小．
答案 (1) (2)μmg
解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mωr，得ω0＝ .
(2)当ω＝ 时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，得F＝μmg.
