学案3 圆周运动的案例分析
[学习目标定位] 1.知道向心力由一个力或几个力的合力提供，会分析具体问题中的向心力来源.2.能用匀速圆周运动规律分析、处理生产和生活中的实例.3.知道向心力、向心加速度公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度．
一、过山车问题
1.向心力：过山车到轨道顶部A时，如图1所示，人与车作为一个整体，所受到的向心力是重力mg跟轨道对车的弹力N的合力，即F向＝N＋mg.如图所示，过山车在最低点B，向心力F向＝N1－mg.
图1
2．临界速度：
当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度最小，v临界＝.
(1)v＝v临界时，重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力，车不会脱离轨道．
(2)v(3)v>v临界时，弹力和重力的合力提供向心力，车子不会掉下来．
二、转弯问题
1．自行车在水平路面转弯，地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力．
2．汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力．
3.火车转弯时外轨高于内轨，如图2所示，向心力由支持力和重力的合力提供．
图2
一、分析游乐场中的圆周运动
[问题设计]
游乐场中的过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车与人却掉不下来，这主要是因为过山车的车轮镶嵌在轨道的槽内，人被安全带固定的原因吗？
答案 不是．
[要点提炼]
竖直平面内的“绳杆模型”的临界问题
1．轻绳模型(如图3所示)
图3
(1)绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)．
(2)在最高点的动力学方程T＋mg＝m.
(3)在最高点的临界条件T＝0，此时mg＝m，则v＝.
①v＝时，拉力或压力为零．
②v>时，小球受向下的拉力或压力．
③v<时，小球不能(填“能”或“不能”)到达最高点．
即轻绳的临界速度为v临＝.
2．轻杆模型(如图4所示)
图4
(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力．
(2)在最高点的动力学方程
当v＞时，N＋mg＝m，杆对球有向下的拉力，且随v增大而增大．
当v＝时，mg＝m，杆对球无作用力．
当v＜时，mg－N＝m，杆对球有向上的支持力．
当v＝0时，mg＝N，球恰好能到达最高点．
(3)杆类的临界速度为v临＝0.
二、研究运动物体转弯时的向心力
[问题设计]
骑自行车转弯时，车与人会向弯道的内侧倾斜，你知道其中的原因吗？
答案 骑自行车转弯时，车和人需要向心力，车与人向弯道的内侧倾斜，就是为了使地面对人的作用力倾斜，这样它与重力的合力提供车与人做圆周运动的向心力．
[要点提炼]
1．自行车在转弯处，地面对自行车的作用力与重力的合力提供向心力．其表达式为mgtan_θ＝m，即tan θ＝.自行车倾斜的角度与自行车的速度和转弯半径有关．
2．汽车在水平路面上转弯时，地面的静摩擦力提供向心力，其表达式为f＝m.由于地面的静摩擦力不能大于最大静摩擦力，因此汽车在转弯处的速度不能大于.
3．火车转弯
(1)向心力来源：在铁路的弯道处，内、外铁轨有高度差，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供，即F＝mgtan_α.
(2)规定速度：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道侧压力，则mgtan α＝，故v0＝，其中R为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为弯道规定的速度．
①当v＝v0时，F向＝F，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力，这就是设计的限速状态．
②当v>v0时，F向>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分．
③当v说明：火车转弯时受力情况和运动特点与圆锥摆类似．
一、竖直面内的“绳杆模型”的临界问题
例1 如图5所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端与水平轴O连接．试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动．求：
图5
(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？
(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？(g取10 m/s2)
解析 (1)当试管匀速转动时，小球在最高点对试管的压力最小，在最低点对试管的压力最大．
在最高点：F1＋mg＝mω2R
在最低点：F2－mg＝mω2R
F2＝3F1
联立以上方程解得ω＝ ＝20 rad/s.
(2)小球随试管转到最高点时，当mg＞mω2R时，小球会与试管底脱离，
即ω＜.
答案 见解析
例2 如图6所示，质量为m的小球固定在长为l的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动．球转到最高点时，线速度的大小为 ，此时( )
图6
A．杆受到mg的拉力
B．杆受到mg的压力
C．杆受到mg的拉力
D．杆受到mg的压力
解析 以小球为研究对象，小球受重力和沿杆方向杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，则N＋mg＝，将v＝ 代入上式得N＝－mg，即小球在A点受杆的弹力方向向上，大小为mg，由牛顿第三定律知杆受到mg的压力．
答案 B
二、交通工具的转弯问题
例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图7所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
图7
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
解析 由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，Ncos θ＝mg，则N＝，内、外轨道对火车均无侧向压力，故C正确，A、B、D错误．
答案 C
2.3 圆周运动的案例分析（一）
1．(轻杆模型)如图8所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5 m，小球质量为3 kg，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a的速度为va＝4 m/s，通过轨道最高点b的速度为vb＝2 m/s，取g＝10 m/s2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是( )
图8
A．在a处为拉力，方向竖直向下，大小为126 N
B．在a处为压力，方向竖直向上，大小为126 N
C．在b处为拉力，方向竖直向上，大小为6 N
D．在b处为压力，方向竖直向下，大小为6 N
答案 AD
解析 小球对细杆的作用力大小等于细杆对小球的作用力．在a点设细杆对球的作用力为Fa，则有Fa－mg＝，所以Fa＝mg＋＝(30＋) N＝126 N，故小球对细杆的拉力为126 N，方向竖直向下，A正确，B错误．在b点设细杆对球的作用力向上，大小为Fb，则有mg－Fb＝，所以Fb＝mg－＝30 N－ N＝6 N，故小球对细杆为压力，方向竖直向下，大小为6 N，C错误，D正确．
2．(轻绳模型)如图9所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道内侧做圆周运动．圆半径为R，小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道．则其通过最高点时( )
图9
A．小球对圆轨道的压力大小等于mg
B．小球所需的向心力等于重力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
答案 BCD
解析 由题意可知，小球在竖直平面内的光滑圆轨道的内侧做圆周运动．经过圆轨道最高点时，刚好不脱离圆轨道的临界条件是，只由重力提供做圆周运动的向心力，即mg＝＝ma向，所以v＝，a向＝g，B、C、D正确．
3．(交通工具的转弯问题)汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( )
A．减为原来的 B．减为原来的
C．增为原来的2倍 D．增为原来的4倍
答案 D
解析 汽车在水平地面上转弯，向心力由静摩擦力提供．设汽车质量为m，汽车与地面的最大静摩擦力为f，汽车
的转弯半径为R，则f＝m，故R∝v2，故速率增大到原来的2倍时，转弯半径需增大到原来的4倍，D正确.
题组一 交通工具的转弯问题
1．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是( )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
答案 AC
解析 火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A正确，B错误；当速度大于v时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，C正确，D错误．
2.如图1所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )
图1
A．f甲小于f乙 B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙 D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
答案 A
解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝m，由于R甲＞R乙，则f甲＜f乙，A正确．
3.赛车在倾斜的轨道上转弯如图2所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)( )
图2
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设赛车的质量为m，赛车受力分析如图所示，可见：F合＝mgtan θ，而F合＝m，故v＝.
题组二 竖直面内的圆周运动问题
4．如图3所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
图3
A．0 B. C. D.
答案 C
解析 由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正确．
5.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上(如图4所示)，顶部有一小物体A，今给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
图4
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．沿半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
答案 D
解析 当v0＝时，所需向心力F向＝m＝mg，此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动．
6.如图5所示，一个固定在竖直平面内的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是( )
图5
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下
B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上
C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上
D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力
答案 ACD
7.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图6所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
图6
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案 B
解析 水流星在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出．故选B.
8.如图7所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v，下列说法正确的是( )
图7
A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也增大
C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
答案 BCD
解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v的极小值是零，A错误；v由零逐渐增大，由F＝可知，F向也增大，B正确；当v＝时，F向＝＝mg，此时杆恰对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v由增大时，则＝mg＋F，故F＝m－mg，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当v由减小时，杆对球的力为支持力．此时，mg－F′＝，F′＝mg－，支持力F′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，所以C、D也正确，故选B、C、D.
9．质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动．(g＝10 m/s2)求：
(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力．
答案 (1)3 m/s (2)6 N，方向竖直向上 1.5 N，方向竖直向下
解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝m，解得：v0＝3 m/s.
(2)v1＞v0，由牛顿第二定律得：mg＋F1＝m，由牛顿第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6 N，方向竖直向上．
v2＜v0，由牛顿第二定律得：mg－F2＝m，由牛顿第三定律得：F2′＝F2，解得：F2′＝1.5 N，方向竖直向下．
题组三 综合应用
10．质量为25 kg的小孩坐在质量为5 kg的秋千板上，秋千板离拴绳子的横梁2.5 m．如果秋千板摆动经过最低点的速度为3 m/s，这时秋千板所受的压力是多大？每根绳子对秋千板的拉力是多大？(g取10 m/s2)
答案 340 N 204 N
解析 把小孩作为研究对象对其进行受力分析知，小孩受重力G和秋千板对他的的支持力N两个力，故在最低点有：N－G＝m
所以N＝mg＋m＝250 N＋90 N＝340 N
由牛顿第三定律可知，秋千板所受压力大小为340 N.
设每根绳子对秋千板的拉力为T，将秋千板和小孩看作一个整体，则在最低点有：2T－(M＋m)g＝(M＋m)
解得T＝204 N.
11.如图8为电动打夯机的示意图，在电动机的转动轴O上装一个偏心轮，偏心轮的质量为m，其重心离轴心的距离为r.除偏心轮外，整个装置其余部分的质量为M.当电动机匀速转动时，打夯机的底座在地面上跳动而将地面打实夯紧，试分析并回答：
图8
(1)为了使底座能跳离地面，偏心轮的最小角速度ω是多少？
(2)如果偏心轮始终以这个角速度转动，底坐对地面压力的最大值为多少？
答案 (1) (2)2Mg＋2mg
解析 (1)M刚好跳离地面时受力分析
如图甲所示：对m有T1＋mg＝mω2r
对M有：T1－Mg＝0
解得：ω＝
(2)M对地面的最大压力为Nm时的受力分析如图乙所示：
对m有：T2－mg＝mω2r
对M有：Nm－Mg－T2＝0
解得：Nm＝2Mg＋2mg
