学案1 探究动能变化跟做功的关系
[学习目标定位] 1.理解动能的概念，会根据动能的表达式计算物体的动能.2.能从牛顿第二定律与运动学公式导出动能定理，理解动能定理的物理意义.3.能应用动能定理解决简单的问题.4.掌握探究恒力做功与物体动能变化的实验方法．
一、动能、动能定理
1．动能
(1)定义：物理学中把mv2叫做物体的动能，即Ek＝mv2.
(2)单位：在国际单位制中，动能的单位是焦耳，简称焦，符号是J.
2．动能定理
(1)内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量．
(2)表达式：W＝ΔEk.
二、实验探究：恒力做功与物体动能变化的关系
1．设计实验(如图1)：
图1
所使用的器材有：气垫导轨、滑块、光电门、计时器、气源、刻度尺、细绳、钩码等．
2．研究计划：
(1)直接验证：逐一比较力对物体所做的功与物体动能增量的大小之间的关系．
(2)用图像验证：根据W＝mv2，由实验数据作出W－v2的图像，研究图像找出W与v2、W与m的关系.
一、动能、动能定理
[问题设计]
1．假设有一辆质量为m的汽车，在不变的牵引力F作用下行驶，速度由v1增加到v2，相应的行驶距离为s.那么，在此过程中，汽车的加速度多大？汽车运动的速度v1、v2跟牵引力F、距离s的关系是怎样的？
答案 根据牛顿第二定律有F＝ma
由运动学公式有a＝
由此可得v1、v2与F、s的关系为Fs＝mv－mv.
2．从推导结果来看，牵引力F做的功等于什么量的变化？这个量与物体的什么因素有关？
答案 牵引力F做的功等于物体动能的变化．物体的动能与物体的质量、速度有关．
[要点提炼]
1．动能
(1)动能的表达式：Ek＝mv2.
(2)对动能的理解
①动能的瞬时性：物体动能的大小与物体瞬时速度的大小相对应，是一个状态量．
②动能的标矢性：动能是标量，只有大小没有方向，且总大于(v≠0时)或等于零(v＝0时)，不可能小于零(无负值)．运算过程中无需考虑速度方向．
③动能的相对性：对于不同的参考系，物体的速度不同，则物体的动能也不同．没有特别指明时，都是以地面为参考系．
2．动能定理
(1)表达式：W＝Ek2－Ek1＝ΔEk.
其中Ek2＝mv表示一个过程的末动能，Ek1＝mv表示这个过程的初动能．W表示这个过程中合力做的功．
(2)关于动能定理的几点说明
①W的含义：所有外力所做功的代数和．
②W与ΔEk的关系：合力做功是引起物体动能变化的原因．如果合力对物体做正功，物体的动能增加；如果合力对物体做负功，物体的动能减少；如果合力对物体不做功，物体的动能不变．
③动能定理的实质：功能关系的一种具体体现，物体动能的改变可由合外力做功来度量．
[延伸思考]
质量为m的物体做匀减速直线运动，某时刻速度为v1，经过一段时间后速度变为－v1.请思考并讨论以下问题：
(1)写出物体在A、B点时的动能．
(2)物体由A到B的过程中，动能的变化量是多少？
答案 (1)EkA＝mv，EkB＝mv
(2)ΔEk＝EkB－EkA＝0
二、实验探究恒力做功与物体动能变化的关系
1．探究思路
探究恒力做功与物体动能变化的关系，需要测量不同的力在不同的过程中做的功和对应的物体动能的变化量，这就需要测出物体的受力、力作用的距离和这段距离上物体的初、末速度以及物体的质量等物理量，其中比较难测量的是物体在各个位置的速度，可借助光电门较准确地测出，也可借助纸带和打点计时器来测量．
2．实验设计
用气垫导轨进行探究
装置如图2所示，所使用的器材有气垫导轨、滑块、计时器、气源、刻度尺、细绳、钩码等．
图2
3．实验步骤
(1)用天平测出滑块的质量m.
(2)按图2所示安装实验装置．
(3)平衡摩擦力，将气垫导轨(或长木板)没有滑轮的一端适当抬高，轻推滑块，使滑块能做匀速运动．
(4)让滑块通过细绳连接钩码(或小沙桶)，使钩码(或小沙桶)的质量远小于滑块的质量，滑块在细线的拉力作用下做匀加速运动，由于钩码(或小沙桶)质量很小，可以认为滑块所受拉力F的大小等于钩码(或小沙桶)所受重力的大小．
(5)释放滑块，滑块在细绳的拉力作用下运动，用光电门(或打点计时器)记录滑块的运动情况，求出滑块的速度v1和v2(若分析滑块从静止开始的运动，v1＝0)，并测出滑块相应的位移s.
(6)验证Fs＝mv－mv，在误差允许范围内成立即可．
一、对动能定理的理解
例1 关于动能、动能定理，下列说法正确的是( )
A．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
B．动能不变的物体，一定处于平衡状态
C．合力做正功，物体动能可能减小
D．运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变
解析 一定质量的物体，动能变化时，物体的速度大小一定变化，所以速度一定变化；速度变化时，物体的速度大小不一定变化，所以动能不一定变化，A项正确；动能不变的物体，速度方向可能改变，不一定处于平衡状态，B项错误；合力做正功时，动能肯定增加，合力做功为零时，动能肯定不变，C项错误，D项正确．
答案 AD
二、动能定理的简单应用
例2 起重机钢索吊着质量m＝1.0×103 kg的物体，以a＝2 m/s2的加速度由静止竖直向上提升了5 m，物体的动能增加了多少？(g取10 m/s2)
解析 由动能定理可知，物体动能的变化等于合外力对物体所做的功，则：
ΔEk＝W合
由F合＝ma，W＝F合·h得：
ΔEk＝F合·h＝ma·h＝1.0×103×2×5 J＝1.0×104 J
即物体的动能增加了1.0×104 J.
答案 1.0×104 J
三、实验探究恒力做功与物体动能变化的关系
例3 某实验小组利用拉力传感器和速度传感器探究“恒力做功与物体动能变化的关系”．如图3所示，他们将拉力传感器固定在小车上，用不可伸长的细线将其通过一个定滑轮与钩码相连，用拉力传感器记录小车受到拉力的大小．在水平桌面上相距50.0 cm的A、B两点各安装一个速度传感器，记录小车通过A、B时的速度大小．小车中可以放置砝码．
图3
(1)实验主要步骤如下：
①测量________和拉力传感器的总质量M1；把细线的一端固定在拉力传感器上，另一端通过定滑轮与钩码相连；正确连接所需电路．
②将小车停在C点，接通电源，________，小车在细线拉动下运动，记录细线拉力及小车通过A、B时的速度．
③在小车中增加砝码，重复②的操作．
(2)表1是他们测得的一组数据，其中M是M1与小车中砝码质量之和，|v－v|是两个速度传感器所记录速度的平方差，可以据此计算出动能变化量ΔEk，F是拉力传感器受到的拉力，W是F在A、B间所做的功．表格中的ΔEk3＝________，W3＝________.(结果保留三位有效数字)
表1 数据记录表
次数
M/kg
|v－v|/(m/s)2
ΔEk/J
F/N
W/J
1
0.500
0.760
0.190
0.400
0.200
2
0.500
1.650
0.413
0.840
0.420
3
0.500
2.400
ΔEk3
1.220
W3
4
1.000
2.400
1.200
2.420
1.210
5
1.000
2.840
1.420
2.860
1.430
(3)根据表1作出ΔEk－W图线
答案 (1)①小车 ②然后释放小车 (2)0.600 0.610 (3)如图所示
1．(对动能的理解)在水平路面上，有一辆以36 km/h行驶的客车，在车厢后座有一位乘客甲，把一个质量为4 kg的行李以相对客车5 m/s的速度抛给前方座位的另一位乘客乙，则行李的动能是( )
A．500 J B．200 J
C．450 J D．900 J
答案 C
解析 行李相对地面的速度v＝v车＋v相对＝15 m/s，所以行李的动能Ek＝mv2＝450 J，选项C正确．
2．(对动能定理的理解)关于运动物体所受的合外力、合外力做的功、物体动能的变化，下列说法正确的是( )
A．运动物体所受的合外力不为零，合外力必做功，物体的动能肯定要变化
B．运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变
C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力一定为零
D．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化
答案 B
解析 关于运动物体所受的合外力、合外力做的功、物体动能的变化三者之间的关系有下列三个要点：
(1)若运动物体所受合外力为零，则合外力不做功(或物体所受外力做功的代数和必为零)，物体的动能绝对不会发生变化．
(2)物体所受合外力不为零，物体必做变速运动，但合外力不一定做功；合外力不做功，则物体动能不变．
(3)物体的动能不变，一方面表明物体所受的合外力不做功；同时表明物体的速率不变(速度的方向可以不断改变)．
根据上述三个要点不难判断，本题只有选项B是正确的．
3．(动能定理的简单应用)一架喷气式飞机，质量m＝5.0×103 kg，起飞过程中从静止开始运动．当位移达到s＝5.3×102 m时，速度达到起飞速度v＝60 m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的0.02倍．求飞机受到的平均牵引力．(g取10 m/s2)
答案 1.8×104 N
解析 飞机的初动能Ek1＝0，末动能Ek2＝mv2；
合力F做的功W＝Fs.
根据动能定理，有：
Fs＝mv2－0
合力F为平均牵引力F牵与平均阻力F阻之差，而阻力与重力的关系为F阻＝kmg(其中k＝0.02)，
所以F＝F牵－kmg，
代入上式后解出F牵＝＋kmg
把数据代入后解得：F牵≈1.8×104 N
所以飞机所受的平均牵引力是1.8×104 N.
4．(探究恒力做功与物体动能变化的关系)质量为1 kg的重物自由下落，通过打点计时器在纸带上记录运动的过程，打点计时器所接电源为6 V、50 Hz的交流电源．如图4所示，纸带上O点为重物自由下落时纸带打点的起点，选取的计数点A、B、C、D、E、F、G依次间隔一个点(图中未画出)，纸带上的数据表示各计数点与O点间的距离．
图4
(1)求出B、C、D、E、F各点对应的速度并填入下表.
计数点
B
C
D
E
F
速度/(m·s－1)
(2)求出物体下落时从O点到B、C、D、E、F各点过程中重力所做的功，并填入下表.
计数点
B
C
D
E
F
功/J
图5
(3)适当选择坐标轴，在图5中作出重物重力做的功与重物速度的平方之间的关系图像．图中纵坐标表示________，横坐标表示________，由图可得重力所做的功与________成________关系．(g取9.8 m/s2)
答案 见解析
解析 (1)由题意知
vB＝＝ m/s≈1.18 m/s，
同理vC≈1.57 m/s，vD≈1.96 m/s，
vE≈2.35 m/s，vF≈2.74 m/s.
(2)重力做的功
WB＝mg·OB＝1×9.8×70.6×10－3 J≈0.69 J，
同理WC≈1.23 J，WD≈1.92 J，WE≈2.76 J，
WF≈3.76 J.
(3)WGv2图像如图所示．图中纵坐标表示重力做的功WG，横坐标表示物体速度的平方v2；由图可得重力所做的功与物体速度的平方成正比关系．
3.1 探究动能变化跟做功的关系
题组一 对动能及动能定理的理解
1．关于对动能的理解，下列说法正确的是( )
A．动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能
B．动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，受力一定为零
答案 ABC
解析 动能是物体由于运动而具有的能量，所以运动的物体都有动能，A正确；由于Ek＝mv2，而v与参考系的选取有关，所以B正确；由于速度为矢量，当方向变化时，若其速度大小不变，则动能并不改变，故C正确；做匀速圆周运动的物体动能不变，但物体受力并不为零，D错误.
2．质量为2 kg的物体A以5 m/s的速度向北运动，另一个质量为0.5 kg的物体B以10 m/s的速度向西运动，它们的动能分别为EkA和EkB，则( )
A．EkA＝EkB
B．EkA＞EkB
C．EkA＜EkB
D．因运动方向不同，无法比较动能
答案 A
解析 根据Ek＝mv2知，EkA＝25 J，EkB＝25 J，而且动能是标量，所以EkA＝EkB，A项正确．
3．一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是( )
A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝5 J D．ΔEk＝0
答案 AD
解析 速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s.而动能是标量，初末两状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0.选A、D.
4．下列对动能定理表达式W＝Ek2－Ek1的理解，正确的是( )
A．物体具有动能是由于力对物体做了功
B．力对物体做功是由于该物体具有动能
C．力做功是由于物体的动能发生变化
D．物体的动能发生变化是由于力对物体做了功
答案 D
解析 功是能量发生变化的原因，功是能量转化的量度．所以物体的动能发生变化是由于合外力对物体做了功，且合外力做的功等于物体动能的变化，故D正确，A、B、C错误．
题组二 动能定理的简单应用
5．一质量为2 kg的滑块，以4 m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4 m/s，在这段时间里水平力所做的功为( )
A．32 J B．16 J C．8 J D．0
答案 D
解析 由动能定理得WF＝mv－mv＝×2×42 J－×2×(－4)2 J＝0，故D正确．
6．如图1所示，在水平桌面上的A点有一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，当它到达B点时，其动能为( )
图1
A.mv＋mgH B.mv＋mgh
C.mv－mgh D.mv＋mg(H—h)
答案 B
解析 由A到B，合外力对物体做的功W＝mgh，物体的动能变化ΔEk＝Ek－mv，根据动能定理得物体在B点的动能Ek＝mv＋mgh，B正确．
7.物体沿直线运动的v－t图像如图2所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则下列结论正确的是( )
图2
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
答案 CD
解析 在第1秒内，物体做匀加速直线运动，做功为W，设此时的合外力为F，位移为s，从第3秒末到第7秒末由图像的斜率可以知道，此时的合力大小为F，第3秒末到第5秒末合外力的方向与速度方向相反，第5秒末到第7秒末合力的方向与速度方向相同．所以有第3秒末到第5秒末的位移为2s，第5秒末到第7秒末的位移也为2s，所以合力做功为W2＝F×2s×cos 180°＝－W，W3＝F×2s×cos 0°＝W，第3秒末到第4秒末物体的位移为s，所以W4＝×scos 180°＝－0.75W，所以C、D正确．
题组三 探究恒力做功与物体动能变化的关系
8．在“探究恒力做功与动能变化的关系”实验中，某实验小组采用如图3甲所示的实验装置．
图3
(1)实验时为了保证小车受到的合外力与沙和沙桶的总重力大小基本相等，在沙和沙桶的总质量m与小车的质量M的关系必须满足m≤M的同时，实验时首先要做的步骤是
________________________________________________________________________．
(2)如图乙为实验中打出的一条纸带，选取纸带中的A、B两点来探究恒力做功与动能变化的关系，测出A、B两点间距s和速度大小vA、vB.已知沙和沙桶的总质量m，小车的质量M，重力加速度g.则本实验要验证的数学表达式为________________________．(用题中的字母表示实验中测量得到的物理量)．
答案 (1)平衡摩擦力 (2)mgs＝M(v－v)
解析 (1)小车受到自身重力、木板支持力、细绳拉力及木板摩擦力等力的作用，实验要求保证小车受到的合外力与沙和沙桶的总重力基本相等，而细绳上的拉力小于沙和沙桶的总重力，那就必须将木板的摩擦力排除，因此，实验时必须先平衡摩擦力．
(2)A、B两点间距s表示小车在细绳拉力作用下运动的位移，细绳拉力近似等于沙和沙桶的总重力，该过程中合外力对小车做的总功为W＝mgs，小车在A、B两点的速度大小为vA、vB，小车在该过程中的动能变化量为ΔEk＝Mv－Mv.因此，该实验只要验证mgs＝M(v－v)成立，就验证了恒力做功与动能变化的关系结论．
9．某实验小组的同学采用如图4所示的装置(实验中，小车碰到制动装置时，钩码尚未到达地面)用打点计时器得到一条纸带后，通过分析小车位移与速度变化的关系来研究合力对小车所做的功与速度变化的关系．图5是实验中得到的一条纸带，点O为纸带上的起始点，A、B、C是纸带上的三个连续的计数点，相邻两个计数点间均有4个点未画出，用刻度尺测得A、B、C到O的距离如图5所示．已知所用交变电源的频率为50 Hz，则：
图4
图5
(1)打B点时，小车的瞬时速度vB＝________m/s.(结果保留两位有效数字)
(2)实验中，该小组的同学画出小车位移s与速度v的关系图像如图6所示．根据该图线形状，某同学对W与v的关系作出的猜想，肯定不正确的是________．(填写选项字母代号)
图6
A．W∝v2 B．W∝v
C．W∝ D．W∝v3
(3)本实验中，若钩码下落高度为h1时合力对小车所做的功为W0，则当钩码下落h2时，合力对小车所做的功为________．(用h1、h2、W0表示)
答案 (1)0.80 (2)BC (3)W0
解析 (1)vB＝
＝ m/s
＝0.80 m/s.
(2)由题图知，位移与速度的关系图像很像抛物线，所以可能s∝v2或s∝v3，又因为W＝Fs，F恒定不变，故W∝v2或W∝v3，A、D正确，B、C错误．
(3)设合力为F，由W0＝Fh1，得F＝，所以当钩码下落h2时W＝Fh2＝W0.
10．某同学在探究功与动能变化的关系实验中，设计了如图7甲所示的实验．将纸带固定在重物上，让纸带穿过电火花计时器或电磁打点计时器．先用手提着纸带，使重物静止在靠近计时器的地方．然后接通电源，松开纸带，让重物自由下落，计时器就在纸带上打下一系列小点．得到的纸带如图乙所示，O点为计时器打下的第1个点，该同学对数据进行了如下处理：取OA＝AB＝BC，并根据纸带算出了A、B、C三点的速度分别为vA＝0.12 m/s，vB＝0.17 m/s，vC＝0.21 m/s.根据以上数据你能否大致判定W∝v2?
图7
答案 见解析
解析 本题考查了实验探究的过程．设由O到A的过程中，重力对重物所做的功为W0，那么由O到B过程中，重力对重物所做的功为2W0，由O到C的过程中，重力对重物所做的功为3W0.
由计算可知，v＝1.44×10－2 m2/s2，v＝2.89×10－2 m2/s2，v＝4.41×10－2 m2/s2，≈2，≈3，即v≈2v，v≈3v，由以上数据可以判定W∝v2是正确的．也可以根据W－v2图像来判定，如图所示．
