学案2 研究功与功率(一)
[学习目标定位] 1.理解功的概念，知道做功的两个因素.2.明确功是标量，会用功的公式进行计算.3.理解正功、负功的含义.4.会计算变力的功，会计算多个力的总功．
一、功的计算
1．力与位移方向一致时：W＝Fs.
2．力与位移方向的夹角为α时：W＝Fscos_α.
3．功的单位：焦耳，符号J
二、正功和负功
1．当α＝时，W＝0，力F不做功．
2．当0≤α＜时，W≥0，力F对物体做正功，物体的动能增加．
3．当＜a≤π时，W＜0，力F对物体做负功，物体的动能减小．
三、计算变力做功
方法一：代数求和
1．无限分割取微元，把整个过程分成很多小段．
2．化变力为恒力，把每一小段上的力看成恒力．
3．分别计算后求和，W＝∑Wi.
方法二：图像法求面积
图1
如图1所示，F－s图像下方从s1到s2的面积就是变力F从s1到s2段内所做的功.
一、怎样计算力跟位移成夹角α时的功
[问题设计]
1．某同学用手平托一本书竖直向上移动一段距离，又平托书水平移动一段距离，在这两个过程中手对书的支持力是否对书做功？
答案 平托一本书竖直向上移动时，手对书的支持力对书做功，而平托书水平移动一段距离时，手对书的支持力不做功．
2．如图2，物体在与水平方向夹角为α的力F的作用下前进了s，则F对物体做的功如何表示？
图2
答案 W＝Fscos α
[要点提炼]
1．力和物体在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素．
2．力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积，即W＝Fscos α.
说明：(1)力F、位移s都是矢量，但功W却是标量．
(2)力F是恒力，此式只适用于恒力做功的计算．
[延伸思考]
若物体受到多个力的作用，如何计算外力对物体做的总功？
答案 求外力对物体做的总功，有两种方法：
(1)先求物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合scos α求合外力的功．
(2)先根据W＝Fscos α求每个分力做的功W1、W2、……Wn，再根据W合＝W1＋W2＋……＋Wn求合力的功．
二、正功、负功的含义
[问题设计]
1．某物体在水平面上向右运动了s，当物体受到与水平方向夹角为30°的力作用时，如图3甲所示，力对物体做的功为多少？当物体受到与水平面夹角为150°的力作用时(如图乙所示)，力对物体做的功为多少？
图3
答案 当θ＝30° 时，W＝Fscos 30°＝Fs；当θ＝150°时，W＝Fscos 150°＝－Fs.
2．功的正、负的含义是什么？
答案 正功表示动力对物体做功，由动能定理可知，因为W>0，所以ΔEk>0，这说明物体的动能增加；负功表示阻力对物体做功，同理可知，这种情况下物体的动能减少．
[要点提炼]
1．由W＝Fscos α可知：
(1)当0≤α<时，W>0，力对物体做正功；
(2)当<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；
(3)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
2．正功、负功的含义
(1)力对物体做正功时，物体的动能增加；力对物体做负功时，物体的动能减少；力对物体做多少功，物体的动能就变化多少．
(2)功的正、负并不表示方向，也不表示功的大小，只表示是动力做功还是阻力做功．力对物体做正功，表示该力是动力；力对物体做负功，表示该力是阻力．
三、计算变力做功
[问题设计]
1.用水平拉力拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图4所示，已知滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，滑块质量为m，求此过程中摩擦力做的功．
图4
答案 由题意知，滑块所受的摩擦力在整个过程中大小均为F＝μmg不变、方向时刻变化且与滑块运动方向相反，是变力，但是我们可以把圆周分成无数段小微元段，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后各
段累加起来，便可求得结果．如图所示，把圆轨道分成s1、s2、s3、…、sn微元段，摩擦力在每一段上为恒力，则在每一段上做的功W1＝－μmgs1，W2＝－μmgs2，W3＝－μmgs3，…，Wn＝－μmgsn，摩擦力在一个圆周内所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn＝－μmg(s1＋s2＋s3＋…＋sn)＝－μmg·2πR.
所以滑块运动一周，摩擦力做功为－2μmgπR.
2.如图5所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力F缓慢拉木块，使木块前进l，求这一过程中拉力对木块做了多少功．
图5
答案 解法一 缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即
F＝ks.
因该力与位移成正比，故可用平均力＝求功．
当s＝l时，W＝·l＝kl2
解法二 画出力F随位移s的变化图像．
当位移为l时，F＝kl，由于力F做功的大小与图像中阴影的面积相等，
则W＝(kl)·l＝kl2
[要点提炼]
1．微元法：W＝Fscos α只能用来计算恒力的功，若是求变力的功，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看作恒力，用公式W＝Fscos α求每一小段内F做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力做的功．
(注：滑动摩擦力，空气阻力等，当力的大小不变，方向时刻与速度反向时，利用微元法可知物体无论做直线还是曲线运动时，都有W＝FL路程)
2.图像法：变力的功W可用F－s图线所包围的面积表示，如图6所示．s轴上方的面积表示力对物体做的正功的多少，s轴下方的面积表示力对物体做的负功的多少．
图6
3．平均值法：力F是变力时，可求出力F的平均值，再利用公式W＝F·scos α求解，这种方法一般有两种情况：
(1)题目中明确指出了是平均力，如一小球从高处掉下，落入泥土的深度为s，泥土的平均阻力为F阻，则泥土做的功为W＝－F阻·s.
(2)力随位移按线性规律变化时(比如：力与位移成正比或是一次函数关系)，若在一段过程的初、末位置力分别为F1、F2，则该过程的平均力为.
一、正、负功的判断
例1 如图表示物体在力F的作用下在水平面上发生了一段位移s，这四种情形下力F和位移s的大小都是一样的，则力对物体做正功的是( )
解析 A、C中力与位移(速度)方向的夹角为锐角，故力对物体做正功，B、D中力与位移(速度)方向的夹角为钝角，故力对物体做负功．
答案 AC
例2 质量为m的小物块在倾角为α的斜面上处于静止状态，如图7所示．若斜面体和小物块一起以速度v沿水平方向向右做匀速直线运动，通过一段位移s.斜面体对物块的摩擦力和支持力的做功情况是( )
图7
A．摩擦力做正功，支持力做正功
B．摩擦力做正功，支持力做负功
C．摩擦力做负功，支持力做正功
D．摩擦力做负功，支持力做负功
解析 物体的受力及位移如图所示，摩擦力f与位移s的夹角α＜90°，故摩擦力做正功，支持力N与s夹角β＝90°＋α＞90°，故支持力做负功，B正确．
答案 B
二、功的计算
例3 如图8所示，一个人用与水平方向成60°角的力F＝40 N 拉一个木箱，在水平地面上沿直线匀速前进了8 m，求：
图8
(1)拉力F对木箱所做的功；
(2)摩擦力对木箱所做的功；
(3)外力对木箱所做的总功．
解析 如图所示，木箱受到重力、支持力、拉力和摩擦力的作用．其中重力和支持力的方向与位移的方向垂直，所以只有拉力和摩擦力对木箱做功．由于木箱做匀速直线运动，所以摩擦力跟拉力在水平方向上的分力大小相等、方向相反，拉力做正功，摩擦力做负功．
根据W＝Fscos α可得
(1)拉力对木箱所做的功为
W1＝Fscos 60°＝40×8×0.5 J＝160 J
(2)摩擦力f对木箱所做的功为
W2＝fscos 180°＝(Fcos 60°)scos 180°＝40×0.5×8×(－1) J＝－160 J
(3)外力对木箱所做的总功为
W＝W1＋W2＝0
答案 (1)160 J (2)－160 J (3)0
功
1．(对功的理解)关于功的概念，以下说法正确的是( )
A．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
B．功有正、负之分，若某个力对物体做负功，表明这个力对该物体的运动起阻碍作用
C．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
D．合力的功等于各分力做的功的矢量和
答案 B
解析 功是标量，没有方向，A错误；某力做正功，表明这个力对物体的运动起动力作用，某力做负功，表明这个力对该物体的运动起阻碍作用，B正确；某个力对物体不做功，由W＝Fscos α知，物体的位移可能为零或者可能力与位移的夹角为90 °，故C错误；功是标量，所以合力的功等于各分力做功的代数和．
2．(对正、负功的判断)如图9所示，一端可绕O点自由转动的长木板上方放一个物块，手持木板的另一端，使木板从水平位置沿顺时针方向缓慢旋转，则在物块相对于木板滑动前的过程中( )
图9
A．重力做正功 B．摩擦力做负功
C．摩擦力不做功 D．支持力不做功
答案 AC
解析 重力与速度方向成锐角，重力做正功；摩擦力与速度方向垂直，摩擦力不做功；支持力与速度方向成钝角，支持力做负功．综上所述，A、C项正确．
3．(变力功的计算)在水平面上有一弯曲的槽道，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成，如图10所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球的运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
图10
A．零 B．FR C.πFR D．2πFR
答案 C
解析 本题考查的是用微元法求功，即把整个运动过程分割成无数个微元，那么力F我们就可以认为是恒力了，故可用功的公式进行计算，即W＝F·πR＋F·πR＝πFR，故选C.
4．(功的计算)如图11所示，在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F1＝3 N和F2＝4 N的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10 m，求：
图11
(1)F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？
(2)F1和F2合力为多大？合力做功是多少？
答案 (1)18 J 32 J 50 J (2)5 N 50 J
解析 (1)力F1做的功
W1＝F1scos θ1＝3×10× J＝18 J
力F2做的功
W2＝F2scos θ2＝4×10× J＝32 J
W1与W2的代数和
W＝W1＋W2＝18 J＋32 J＝50 J.
(2)F1与F2的合力F＝＝ N＝5 N
合力F做的功W′＝Fs＝5×10 J＝50 J.
3.2 研究功与功率（一）
题组一 对功概念的理解
1．关于功的概念，下列说法中正确的是( )
A．位移大，力对物体做的功一定多
B．受力小，力对物体做的功一定少
C．物体静止，则力对物体一定不做功
D．力的大小和物体在力的方向上的位移大小决定功的多少
答案 CD
解析 根据功的定义式，功的大小与力、位移和力与位移之间的夹角三个因素有关，可以判断A、B错误，C、D正确．
2．根据力对物体做功的条件，下列说法中正确的是( )
A．工人扛着行李在水平路面上匀速前进时，工人对行李做正功
B．工人扛着行李从一楼走到三楼，工人对行李做正功
C．作用力与反作用力做的功大小相等，并且其代数和为0
D．在水平地面上拉着一物体运动一圈后又回到出发点，则由于物体位移为0，所以摩擦力不做功
答案 B
解析 选项A中，工人对行李的作用力竖直向上，与行李的运动方向始终垂直，故对行李不做功，选项A错误；选项B中，工人对行李的作用力与行李的运动方向的夹角为锐角，故对行李做正功，选项B正确；选项C中，根据牛顿第三定律，作用力与反作用力大小相等、方向相反，但二者是对不同的物体做功，两个受力物体的位移大小不一定相等，所以选项C错误；选项D中，摩擦力是变力，且总与物体相对地面的运动方向相反，因此当物体回到出发点后，虽然物体位移为0，但摩擦力仍对物体做了负功，故选项D错误．
3．一个力对物体做了负功，则说明( )
A．这个力一定阻碍物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
答案 AC
解析 由功的表达式W＝Fscos α知，只有当α>90°时，cos α <0，力对物体做负功，此力阻碍物体的运动，故A、C对．
4．一物体在两个力F1、F2的共同作用下发生了一段位移，做功分别为W1＝6 J、W2＝－6 J，下列说法正确的是( )
A．这两个力一定大小相等、方向相反
B．F1是动力，F2是阻力
C．这两个力做的总功为0
D．F1比F2做的功多
答案 BC
解析 由力F1、F2做功的正负可以确定力F1、F2与位移的夹角分别为小于90°、大于90°，但这两个力不一定大小相等、方向相反，A错；F1做正功一定是动力，F2做负功一定是阻力，但正、负不表示功的大小，B对，D错；两个力的总功等于这两个力所做功的代数和，C对．
题组二 对正、负功的判定
5.如图1，拖着旧橡胶轮胎跑是身体耐力训练的一种有效方法．如果受训者拖着轮胎在水平直道上跑了100 m，那么下列说法正确的是( )
图1
A．摩擦力对轮胎做了负功
B．重力对轮胎做了正功
C．拉力对轮胎不做功
D．支持力对轮胎做了正功
答案 A
解析 摩擦力方向与轮胎位移方向相反，摩擦力做负功，A项正确；重力和支持力的方向与轮胎位移方向垂直，不做功，B、D项错误；拉力方向与轮胎位移方向成锐角，做正功，C错误．
6．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是( )
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
答案 D
解析 在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，故D正确．
7．关于两个物体间的一对作用力和反作用力的做功情况，下列说法正确的是( )
A．作用力做功，反作用力一定做功
B．作用力做正功，反作用力一定做负功
C．作用力和反作用力可能都做负功
D．作用力和反作用力做的功一定大小相等
答案 C
解析 作用力和反作用力大小一定相等，但它们的做功情况却不一定相同．因为作用力和反作用力是作用在不同的物体上，所产生的作用效果不一定相同．作用力做正功，反作用力可能做负功；作用力不做功，反作用力可能做正功、负功或不做功．例如：①如图甲，B向左运动时，A对B的摩擦力做负功，而B对A的摩擦力不做功，所以A、B、D均错；②如图乙，分别用力F1和F2作用在A、B两物体上，结果A相对B发生滑动，此过程中，A、B间的一对滑动摩擦力均做负功，所以C对．
题组三 功的计算
8.如图2所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离s.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的( )
图2
A．支持力做功为mgs
B．重力做功为mgs
C．拉力做功为Fscos θ
D．滑动摩擦力做功为－μ mgs
答案 C
9．如图所示，力F大小相等，物体沿水平面运动的位移s也相同，下列哪种情况F做功最少( )
答案 D
解析 四种情况下，F、s都相同，由公式W＝Fscos α可知，cos α越小，力F做的功越少，D中cos α最小，故选D.
10．以一定的速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气的阻力大小恒为F，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A．0 B．－Fh
C．－2Fh D．－4Fh
答案 C
解析 从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段受到的阻力都为恒力，且总是跟小球运动的方向相反，所以空气阻力对小球总是做负功．全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，即W＝W上＋W下＝(－Fh)＋(－Fh)＝－2Fh.空气阻力、摩擦阻力是一种特殊
的力，在计算这种力做的功时，不可简单地套用功的计算公式W＝Fscos α，得出W＝0的错误结论．从上面的正确结果可以看出：空气阻力做的功在数值上等于阻力与全过程中小球路程的乘积．故选C.
11.如图3所示，质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1.则运动员滑至坡底的过程中：
图3
(1)滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
(2)各力对运动员做的总功是多少？(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装备质量不计)
答案 (1)1.5×104 J (2)1.3×104 J
解析 (1)重力做的功WG＝mgssin 37°＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J
(2)物体所受合力：
F合＝mgsin 37°－μmgcos 37°＝260 N
方向沿斜面向下，沿合力方向位移s＝＝50 m
合力做的功W合＝F合·s＝260×50 J＝1.3×104 J.
12．弹簧原长l0＝15 cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到长度为l1＝20 cm时，作用在弹簧上的力为400 N，问：
(1)弹簧的劲度系数k为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
答案 (1)8 000 N/m (2)－10 J
解析 (1)根据胡克定律F＝kx得
k＝＝＝ N/m＝8 000 N/m.
(2)由于F＝kx，作出F－x图像如图所示，求出图中的阴影面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F的方向与位移x的方向相反，故弹力F在此过程中做负功，W＝－×0.05×400 J＝－10 J.
