学案5 动能定理的应用
[学习目标定位] 1.能灵活运用合力做功的两种求法.2.会用动能定理分析变力做功、曲线运动以及多过程问题.3.熟悉应用动能定理的步骤，领会应用动能定理解题的优越性．
一、应用动能定理解题的优越性
应用动能定理分析问题，只需考虑物体初、末状态的动能与所做的功，而不必考虑物体的加速度和时间，因而往往比用牛顿定律和运动学规律更简便．
二、合力做功与动能变化
1．方法一
2．方法二
三、应用动能定理解决问题的步骤
1．明确要解决的问题，确定研究对象．
2．分析研究对象的受力情况，确定外力(或合外力)对研究对象所做的功．
3．明确研究对象在始末状态的动能，确定动能增量．
4．运用动能定理列出方程求解.
一、研究汽车的制动距离
例1 如图1所示，质量为m的汽车正以速度v1运动，刹车后，经过位移s后的速度为v2，若阻力为f，则汽车的制动距离与汽车的初速度的关系如何？
图1
解析 设汽车的制动距离为s，由动能定理得：
－fs＝mv－mv
若v2＝0，则有fs＝mv
即s＝.
答案 s＝
规律总结 (1)在f一定的情况下：s∝mv，即初动能越大，位移s越大．
(2)对于给定汽车(m一定)，若f相同，则s∝v，即初速度越大，位移s就越大．若水平路面的动摩擦因数μ一定，则s＝＝.
二、合力做功与动能变化
1．合力做功的求法
(1)一般方法：W合＝W1＋W2＋…(即合力做的功等于各力对物体做功的代数和)．对于多过程问题总功的计算必须用此方法．
(2)多个恒力同时作用下的匀变速运动：W合＝F合scos α.
2．合力做功与动能的变化的关系
合力做功与动能的变化满足动能定理，其表达式有两种：
(1)W1＋W2＋…＝ΔEk
(2)W合＝ΔEk.
例2 如图2所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度s＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求货物由静止开始滑到底端的动能．(取g＝10 m/s2)
图2
解析 方法一 斜面上的货物受到重力G、斜面支持力N和摩擦力f共三个力的作用，如图所示．货物位移的方向沿斜面向下．可以用正交分解法，将货物所受的重力分解到与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向．
可以看出，三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持力对货物没有做功．其中重力G对货物做正功
W1＝mgssin 37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J
支持力N对货物没有做功，W2＝0
摩擦力f对货物做负功
W3＝(μmgcos 37°)scos 180°
＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J
所以，合外力做的总功为
W＝W1＋W2＋W3＝(60＋0－16) J＝44 J
由动能定理W＝Ek2－Ek1(其中Ek1＝0)知货物滑到底端的动能Ek2＝W＝44 J.
方法二 若先计算合外力再求功，则合外力做的功
W＝F合s＝(mgsin 37°－μmgcos 37°)s
＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J
同样可以得到货物到底端时的动能Ek2＝44 J
答案 见解析
三、由动能定理求变力的功
1．利用动能定理求变力所做的功是最常用的方法，具体做法如下：
(1)如果物体只受到一个变力的作用，那么W＝Ek2－Ek1，只需求出做功过程中物体动能的变化量ΔEk，也就知道了这个过程中变力所做的功．
(2)如果物体同时受到几个力的作用，但是其中只有一个力F是变力，其他力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式求出几个恒力所做的功，然后再用动能定理来间接求变力做的功：WF＋W其他＝ΔEk.
2．应用动能定理解题的一般步骤
(1)确定研究对象和研究过程．
(2)对研究对象进行受力分析．(研究对象以外的物体施加于研究对象的力都要分析，含重力)
(3)写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)．如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功．
(4)写出物体的初、末态动能，确定动能的增量．
(5)按照动能定理列式求解，必要时说明并验算．
例3 如图3所示，斜槽轨道下端与一个半径为0.4 m的圆形轨道相连接．一个质量为0.1 kg的物体从高为H＝2 m的A点由静止开始滑下，运动到圆形轨道的最高点C处时，对轨道的压力等于物体的重力．求物体从A运动到C的过程中克服摩擦力所做的功．(g取10 m/s2)
图3
解析 物体运动到C点时受到重力和轨道对它的压力，由圆周运动知识可知N＋mg＝，又N＝mg，
联立两式解得vC＝＝2 m/s，
在物体从A点运动到C点的过程中，由动能定理有
mg(H－2r)－Wf＝mv－0，
代入数据解得Wf＝0.8 J.
答案 0.8 J
四、利用动能定理分析多过程问题
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理．
1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解．
2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力的做功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解．
当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便．
注意 当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移．计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和．
例4 如图4所示，ABCD为一位于竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑且与BC平滑连接．一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点速度为零．(g取10 m/s2)求：
图4
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；
(2)物体第5次经过B点时的速度；
(3)物体最后停止的位置(距B点多少米)．
解析 (1)由动能定理得
－mg(h－H)－μmgsBC＝0－mv，
解得μ＝0.5.
(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，由动能定理得
mgH－μmg·4sBC＝mv－mv，
解得v2＝4 m/s.
(3)分析整个过程，由动能定理得
mgH－μmgs＝0－mv，
解得s＝21.6 m.
所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6 m，故距B点的距离为2 m－1.6 m＝0.4 m.
答案 (1)0.5 (2)4 m/s (3)距B点0.4 m
1．(汽车制动距离)一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离s2应为( )
A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m
答案 A
解析 急刹车后，车只受摩擦阻力f的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零．则有
－fs1＝0－mv ①
－fs2＝0－mv ②
②式除以①式得＝
故汽车滑行距离s2＝s1＝()2×3.6 m＝6.4 m
2．(合力做功与动能变化)如图5所示，质量m＝2.0 kg的物体在恒力F＝20 N作用下，由静止开始沿水平面运动的距离s＝1.0 m，力F与水平面的夹角α＝37°，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，求该过程中：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
图5
(1)拉力F对物体所做的功W；
(2)地面对物体的摩擦力f的大小；
(3)物体获得的动能Ek.
答案 (1)16 J (2)4 N (3)12 J
解析 (1)根据功的公式：W＝Fscos α
解得：W＝16 J.
(2)对物体进行受力分析，在竖直方向上有
N＋Fsin 37°－mg＝0
解得：N＝8 N
所以：f＝uN＝4 N.
(3)方法一 根据动能定理有：Fscos 37°－fs＝ΔEk
解得：Ek＝ΔEk＝12 J.
方法二 F合＝(Fcos 37°－f)＝12 N
W合＝F合s＝ΔEk
解得Ek＝ΔEk＝12 J.
3．(利用动能定理求变力的功)某同学从h＝5 m高处，以初速度v0＝8 m/s抛出一个质量为m＝0.5 kg的橡皮球，测得橡皮球落地前瞬间速度为12 m/s，求该同学抛球时所做的功和橡皮球在空中运动时克服空气阻力做的功．(g取10 m/s2)
答案 16 J 5 J
解析 本题所求的两问，分别对应着两个物理过程，但这两个物理过程以速度相互联系，前一过程的末速度为后一过程的初速度．该同学对橡皮球做的功不能用W＝Fs求出，只能通过动能定理由合外力做功等于橡皮球动能的变化这个关系求出．
某同学抛球的过程，球的速度由零增加为抛出时的初速度v0，故抛球时所做的功为W＝＝ J＝16 J.
橡皮球抛出后，重力和空气阻力做功，由动能定理得：
mgh＋Wf＝mv2－mv，
解得：Wf＝mv2－mv－mgh＝－5 J.
即橡皮球克服空气阻力做功为5 J.
4．(利用动能定理分析多过程问题)如图6所示，质量m＝1 kg 的木块静止在高h＝1.2 m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，用水平推力F＝20 N，使木块产生位移s1＝3 m时撤去，木块又滑行s2＝1 m后飞出平台，求木块落地时速度的大小．
图6
答案 8 m/s
解析 木块的运动分为三个阶段，先是在s1段做匀加速直线运动，然后是在s2段做匀减速直线运动，最后是平抛运动．考虑应用动能定理，设木块落地时的速度为v，整个过程中各力做功情况分别为
推力做功WF＝Fs1，
摩擦力做功Wf＝－μmg(s1＋s2)，
重力做功WG＝mgh，
对整个过程由动能定理得Fs1－μmg(s1＋s2)＋mgh＝mv2－0，
代入数据解得v＝8 m/s.
3.3 动能定理的应用
题组一 合力做功与动能变化
1.如图1所示为某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置．当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t前进的距离为s，且速度达到最大值vm.设这一过程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为F，那么这段时间内( )
图1
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
D．小车受到的牵引力做的功为Fs＋mv
答案 D
解析 行驶过程中功率恒为P，小车做加速度逐渐减小的加速运动，小车受到的牵引力逐渐减小，选项A、B错误；小车受到的合外力所做的功为Pt－Fs，选项C错误；由动能定理，得W－Fs＝mv，小车受到的牵引力做的功为W＝Fs＋mv，选项D正确．
2．物体A和B质量相等，A置于光滑的水平面上，B置于粗糙水平面上，开始时都处于静止状态．在相同的水平力作用下移动相同的距离，则( )
A．力F对A做功较多，A的动能较大
B．力F对B做功较多，B的动能较大
C．力F对A和B做功相同，A和B的动能相同
D．力F对A和B做功相同，A的动能较大
答案 D
解析 因为力F及物体位移相同，所以力F对A、B做功相同，但由于B受摩擦力的作用，合外力对B做的总功小于合外力对A做的总功，根据动能定理可知移动相同的距离后，A的动能较大．
3.物体在合外力作用下做直线运动的v－t图像如图2所示．下列表述正确的是( )
图2
A．在0～1 s内，合外力做正功
B．在0～2 s内，合外力总是做负功
C．在1 s～2 s内，合外力不做功
D．在0～3 s内，合外力总是做正功
答案 A
解析 根据物体的v－t图像可知，在0～1 s内，物体做匀加速运动，速度增加，合外力(加速度)方向与运动方向相同，合外力做正功，故选项A对，B错；在1～3 s内，速度减小，合外力(加速度)方向与运动方向相反，合外力做负功，故选项C、D错．
4．起重机钢索吊着质量m＝1.0×103 kg的物体，以a＝2 m/s2的加速度由静止竖直向上提升了5 m，物体的动能增加了多少？钢索的拉力对物体所做的功为多少？(g取10 m/s2)
答案 1.0×104 J 6.0×104 J
解析 由动能定理可知，物体动能的增加量
ΔEk＝W＝mah
＝1.0×103×2×5 J＝1.0×104 J
W＝W拉－WG＝ΔEk，
所以拉力所做的功W拉＝ΔEk＋WG＝ΔEk＋mgh
＝1.0×104 J＋1.0×103×10×5 J＝6.0×104 J.
5．人骑自行车上坡，坡长s＝200 m，坡高h＝10 m，人和车的总质量为100 kg，人蹬车的牵引力为F＝100 N，若在坡底时车的速度为10 m/s，到坡顶时车的速度为4 m/s，(g取10 m/s2)求：
(1)上坡过程中人克服摩擦力做多少功；
(2)人若不蹬车，以10 m/s的初速度冲上坡，最远能在坡上行驶多远．(设自行力所受阻力恒定)
答案 (1)1.42×104 J (2)41.3 m
解析 (1)由动能定理得
Fs－mgh－Wf＝mv－mv
代入数据得Wf＝1.42×104 J；
(2)由Wf＝fs知，f＝＝71 N①
设当自行车减速为0时，其在坡上行驶的最大距离为s1，则有
－fs1－mgsin θ·s1＝0－mv ②
其中sin θ＝＝ ③
联立①②③解得s1≈41.3 m.
题组二 利用动能定理求变力做功
6.如图3所示，由细管道组成的竖直轨道，其圆形部分半径分别是R和，质量为m的直径略小于管径的小球通过这段轨道时，在A点时刚好对管壁无压力，在B点时对管外侧壁压力为(A、B均为圆形轨道的最高点)．求小球由A点运动到B点的过程中摩擦力对小球做的功．
图3
答案 －mgR
解析 由圆周运动的知识可知，小球在A点时的速度vA＝.
小球在A点的动能EkA＝mv＝mgR
设小球在B点的速度为vB，则由圆周运动的知识得m＝mg＋＝mg.
因此小球在B点的动能EkB＝mv＝mgR.
小球从A点运动到B点的过程中，重力做功WG＝mgR.
摩擦力做功为Wf，由动能定理得：
EkB－EkA＝mgR＋Wf，
由此得Wf＝－mgR.
7．一个人站在距地面20 m的高处，将质量为0.2 kg的石块以v0＝12 m/s的速度斜向上抛出，石块的初速度方向与水平方向之间的夹角为30°，g取10 m/s2，求：
(1)人抛石块过程中对石块做了多少功？
(2)若不计空气阻力，石块落地时的速度大小是多少？
(3)若落地时的速度大小为22 m/s，石块在空中运动过程中克服阻力做了多少功？
答案 (1)14.4 J (2)23.32 m/s (3)6 J
解析 (1)根据动能定理知，W＝mv＝14.4 J
(2)不计空气阻力，根据动能定理得
mgh＝－mv
解得v1＝≈23.32 m/s
(3)由动能定理得mgh－Wf＝－
解得Wf＝mgh－(－)＝6 J
8．如图4甲所示，一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t＝0时刻开始，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ＝0.2(g取10 m/s2)，求：
图4
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在5 s内对物块所做的功．
答案 (1)4 m (2)24 J
解析 (1)根据题目条件及题图乙可知，物块在从B返回A的过程中，在恒力作用下做匀速直线运动，即
F－μmg＝ma.
由运动学公式知：sAB＝at2
代入数据解得：sAB＝4 m
(2)物块在前3 s内动能改变量为零，由动能定理得：
W1－Wf＝0，即W1－μmg·sAB＝0
则前3 s内水平力F做的功为W1＝8 J
根据功的定义式W＝Fs得，水平力F在第3 s～5 s时间内所做的功为W2＝F·sAB＝16 J
则水平力F在5 s内对物块所做的功为
W＝W1＋W2＝24 J.
题组三 利用动能定理分析多过程问题
9．一艘由三个推力相等的发动机推动的气垫船在湖面上，由静止开始加速前进s距离后，关掉一个发动机，气垫船匀速运动，当气垫船将运动到码头时，又关掉两个发动机，最后它恰好停在码头，则三个发动机都关闭后，气垫船通过的距离是多少？(设气垫船所受阻力恒定)
答案
解析 设每个发动机的推力是F，气垫船所受的阻力是f.当关掉一个发动机时，气垫船做匀速运动，则：
2F－f＝0，f＝2F.
开始阶段，气垫船做匀加速运动，末速度为v，
气垫船的质量为m，应用动能定理有
(3F－f)s＝mv2，得Fs＝mv2.
又关掉两个发动机时，气垫船做匀减速运动，应用动能定理有－fs1＝0－mv2，得2Fs1＝mv2.
所以s1＝，即关闭3个发动机后气垫船通过的距离为.
10．一铅球质量m＝4 kg，从离沙坑面1.8 m高处自由落下，铅球进入沙坑后下陷0.1 m静止，g＝10 m/s2，求沙对铅球的平均作用力．
答案 760 N
解析 解法一 铅球进入沙坑后不仅受阻力，还要受重力．从开始下落到最终静止，铅球受重力和沙的阻力的作用，重力一直做正功，沙的阻力做负功．
W总＝mg(H＋h)＋(－F阻h)
铅球动能的变化ΔEk＝Ek2－Ek1＝0.
由动能定理得
ΔEk＝mg(H＋h)＋(－F阻h)＝0
将H＝1.8 m，h＝0.1 m代入上式解得
F阻＝＝760 N.
即沙对铅球的平均作用力为760 N.
解法二 分段分析做功问题
铅球下落过程可分为两个过程(如图所示)
(1)自由落体下落H；
(2)在沙中减速下降h.
这两个过程的联系是铅球落至沙面时的速度，即第一段过程的末速度为第二段过程的初速度．设这一速度为v，对第一段过程应用动能定理：mgH＝mv2 ①
第二段过程铅球受重力和阻力，同理可得
mgh－F阻h＝0－mv2 ②
由①②式得F阻＝·mg＝760 N.
