学案1 势能的变化与机械功
[学习目标定位] 1.认识重力做功与物体运动的路径无关的特点，理解重力势能的概念.2.理解重力做功与重力势能变化的关系.3.知道重力势能具有相对性，知道重力势能是物体和地球所组成的系统所共有的．
一、重力势能
1．定义：物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．
2．大小：物体的重力势能等于它所受重力和它的高度的乘积，即Ep＝mgh.
3．单位：在国际单位制中，势能的单位是焦(耳)，符号是J.
二、重力做功跟重力势能的变化的关系
1．关系式：W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
2．两种情况：
(1)当重力对物体做正功时，物体的重力势能减小，做了多少功重力势能就减少多少．
(2)当重力对物体做负功时，物体的重力势能增加，做了多少功重力势能就增加多少．
3．重力做功的特点：重力对物体做的功只跟物体的初始位置和末了位置的高度有关，而跟物体经过的路径无关．
三、弹性势能
1．定义：物体发生弹性形变时具有的势能叫做弹性势能．
2．大小：弹簧的劲度系数为k，弹簧的伸长量或压缩量为x，则弹簧的弹性势能Ep＝kx2.
一、研究重力做功跟重力势能变化的关系
[问题设计]
如图1所示，质量为m的物体自高度为h1的A处下落至高度为h2的B处，求此过程中重力做的功．
图1
答案 由功的计算方法可得，此过程中重力做功W＝mgΔh＝mg(h1－h2)＝mgh1－mgh2.
[要点提炼]
1．重力势能
(1)重力势能的大小：Ep＝mgh.
(2)重力势能的相对性
①重力势能具有相对性，即Ep与选取的参考平面(零势能面)有关．因此，在计算重力势能时，必须首先选取参考平面．
②重力势能的变化是绝对的，它与参考平面的选取无关．
③正负的含义：在参考平面上方物体的重力势能是正值，表示物体在这一位置的重力势能比在参考平面上时大；在参考平面下方，物体的重力势能是负值，表示物体在这一位置的重力势能比在参考平面上时小．
(3)重力势能的系统性：重力势能是地球与物体所组成的系统共有的．
2．重力做功与重力势能变化的关系
(1)关系：重力做功是重力势能变化的量度．
即W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
(2)两种情况：
二、重力做功跟路径无关
1．重力做的功WG＝mg(h1－h2)，其中h1、h2分别是物体初、末位置的高度．物体由高处运动到低处时，重力做正功．物体由低处运动到高处时，重力做负功．
2．重力做功的特点：物体运动时，重力对物体所做的功只与物体初、末位置的高度差有关，与物体运动的路径无关．
三、弹力做功与弹性势能
1．弹性势能：Ep＝kx2.
2．对弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．
(2)相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零势能．
注意 对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时，弹簧的弹性势能是相同的．
3．弹力做功与弹性势能变化的关系：W弹＝－ΔEp.
(1)弹力做正功，弹性势能减少，弹力做功的数值等于弹性势能的减少量．
(2)弹力做负功，弹性势能增加，弹力做功的数值等于弹性势能的增加量．
一、对重力做功的理解与计算
例1 物体沿不同的路径从A运动到B，如图2所示，则( )
图2
A．沿路径ACB重力做的功大些
B．沿路径ADB重力做的功大些
C．沿路径ACB和路径ADB重力做功一样多
D．以上说法都不对
解析 重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关，故两种情况下重力做功一样多，C正确，A、B、D错误．
答案 C
二、对重力势能的理解
例2 关于重力势能，以下说法中正确的是( )
A．某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的
B．只要重力做功，重力势能一定变化
C．物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变
D．重力势能为零的物体，不可能对别的物体做功
解析 选取不同的零势能面，则同一位置的物体的重力势能是不同的，故A错误；重力势能的改变量等于重力做功的多少，故若重力做功，重力势能一定发生变化，故B正确；物体若在竖直方向做匀速直线运动，物体的高度变化，重力势能也会发生变化，故C错误；重力势能的大小是相对于零势能面的高度决定的，重力势能为零只能说明物体处于零势能面上，它对下方的物体同样可以做功，故D错误．
答案 B
三、重力做功与重力势能变化的关系
例3 质量为m的物体从离湖面H高处由静止释放，落在距湖面为h的湖底，如图3所示，在此过程中( )
图3
A．重力对物体做功为mgH
B．重力对物体做功为mg(H＋h)
C．物体的重力势能减少了mg(H＋h)
D．物体的重力势能增加了mg(H＋h)
解析 从初位置到末位置物体的高度下降了H＋h，所以物体的重力做功为WG＝mg(H＋h)，故A错，B正确；重力做正功，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功，所以ΔEp＝mg(H＋h)，故C正确，D错误．
答案 BC
四、弹力做功与弹性势能变化的关系
例4 如图4所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
图4
A．弹簧对物体做正功，弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧对物体做负功，弹簧的弹性势能逐渐增加
C．弹簧先对物体做正功，后对物体做负功，弹簧的弹性势能先减少再增加
D．弹簧先对物体做负功，后对物体做正功，弹簧的弹性势能先增加再减少
解析 开始时，弹簧处于压缩状态，撤去F后物体在向右运动的过程中，弹簧对物体的弹力方向先向右后向左，对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大，故C正确．
答案 C
1．(对重力做功的理解)沿着高度相同、坡度不同、粗糙程度也不同的两个斜面，向上拉同一物体到顶端，下列说法中正确的是( )
A．沿坡度大的斜面上升克服重力做的功多
B．沿坡度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多
C．沿坡度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功少
D．两种情况重力做功同样多
答案 D
解析 重力做功的特点是：重力做功与物体运动的具体路径无关，只与初、末位置的高度差有关，不论是光滑路径或粗糙路径，也不论是直线运动还是曲线运动，只要初、末位置的高度差相同，重力做功就相同，因此不论坡度大小、粗糙程度如何，只要高度差相同，物体克服重力做的功就同样多，故选D.
2．(对重力势能的理解)下列关于物体的重力势能的说法中正确的是( )
A．物体重力势能的数值随选择的参考平面的不同而不同
B．物体的重力势能实际上是物体和地球组成的系统所共有的
C．重力对物体做正功，则物体的重力势能增加
D．物体位于所选的参考平面以下时，物体的重力势能为负值
答案 ABD
解析 根据重力势能的相对性，A项正确；根据重力势能的系统性，B项正确；根据重力做功与重力势能变化的关系，C项错误；根据重力势能正、负的含义，D项正确．
3．(重力做功与重力势能变化的关系)关于重力做功和物体的重力势能，下列说法正确的是( )
A．重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少
B．物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加
C．地球上物体的重力势能是不变的
D．重力做功的多少与重力势能的变化都与参考平面的选取无关
答案 ABD
解析 重力做正功，物体的重力势能减少，重力做多少功，重力势能就减少多少，选项A正确；同理，物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加，选项B正确；物体的重力势能大小除与其质量有关外，还与物体所处的位置有关，在不同高度，同一物体的重力势能不同，选项C错误；重力做功的特点是重力做功多少只与物体初、末位置的高度差有关，与参考面的选取无关，而重力势能的变化量等于重力做的功，选项D正确．
4. (重力做功与弹性势能变化的关系)如图5所示，小球自a点由静止自由下落，到b点与竖直放置的轻弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，不计空气阻力，则小球在a→b→c的运动过程中( )
图5
A．小球的加速度在ab段不变，在bc段逐渐变小
B．小球的速度在bc段逐渐减小
C．小球的重力势能在a→b→c过程中不断减小
D．弹簧的弹性势能在bc段不断增大
答案 CD
解析 小球在ab段做自由落体运动，a＝g不变；在bc段小球受到的重力开始大于弹力，直至重力与弹力大小相等，此过程中，小球受到的合外力向下，且不断减小，故小球做加速度减小、速度不断增大的变加速运动；过平衡点之后，小球继续压缩弹簧，受到的重力小于弹力，直至压缩弹簧最短到c点，此过程中，小球受到的合外力向上，且不断增大，故小球做加速度不断增大的变减速运动，故A、B错误；小球在a→b→c的过程中，高度越来越低，重力做正功，重力势能不断减小，故C正确；小球在bc段，弹簧压缩越来越短，形变量增大，弹力对小球做负功，弹性势能不断增大，故D正确．
4.1 势能的变化与机械功
题组一 对重力做功的理解与计算
1．利用超导材料和现代科技可以实现磁悬浮．若磁悬浮列车的质量为20 t，因磁场间的相互作用，列车浮起的高度为100 mm，则该过程中磁悬浮列车克服重力做功是( )
A．20 J B．200 J
C．2.0×107 J D．2.0×104 J
答案 D
解析 重力做功的大小等于物重跟起点高度的乘积mgh1与物重跟终点高度的乘积mgh2两者之差WG＝mgh1－mgh2＝－20 000×10×0.1 J＝－2.0×104 J，所以克服重力做功2.0×104 J，故D正确．
2．如图1所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后再滚上另一斜面，当它到达的D点时速度为0，在这个过程中，重力做的功为( )
图1
A. B. C．mgh D．0
答案 B
解析 根据重力做功的公式得W＝mg(h1－h2)＝，故答案为B.
3．在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同速率v0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻力)( )
A．从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等
B．从抛出到刚着地，重力做功对两球做的功都是正功
C．从抛出到刚着地，重力对两球做功的平均功率相等
D．两球刚着地时，重力的瞬时功率相等
答案 ABD
解析 重力做功只取决于初、末位置的高度差，与路径和运动状态无关．由W＝mgh得出重力做功的大小只由重力和高度的变化决定，故A、B项正确；由于竖直上抛比竖直下抛的运动时间长，由P＝，知P上＜P下，故C项错误；由运动学公式得出落地时速度相同，重力的瞬时功率P＝mgv相同，故D项正确．
题组二 对重力势能的理解
4．关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－3 J变化到－5 J，重力势能增大了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案 D
解析 重力势能的大小具有相对性，其大小与参考平面的选取有关，选项A错误；物体位于零势能面下方时，距离越大，重力势能越小，选项B错误；物体的重力势能从－3 J变化到－5 J，重力势能变小了，选项C错误；由重力做功与重力势能变化的关系可知选项D正确．
5．下列说法中正确的是( )
A．在水平地面以上某高度的物体重力势能一定为正值
B．在水平地面以下某高度的物体重力势能为负值
C．不同的物体中离地面最高的物体其重力势能最大
D．离地面有一定高度的物体其重力势能可能为零
答案 D
解析 重力势能具有相对性，其大小或正负与参考平面的选取有关，所以在地面以上(或以下)某高度的物体的重力势能不一定为正值(或负值)，A、B项错误；若选取离地面某高度处为参考平面，物体在那一高度的重力势能为零，D项正确；重力势能的大小取决于物体质量和所在的高度两个因素，C项错误．
6．如图2所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设以桌面处为参考平面，则小球落到地面前瞬间的重力势能为( )
图2
A．mgh B．mgH
C．mg(h＋H) D．－mgh
答案 D
解析 重力势能的大小是相对参考平面而言的，参考平面的选择不同，物体的相对高度就不同，重力势能的大小也不同．本题中已选定桌面为参考平面，则小球在最高点时的高度为H，小球在与桌面相平时的高度为零，小球在地面时的高度为－h，所以小球落到地面前的瞬间，它的重力势能为Ep＝－mgh.
7.如图3中，虚线是一跳水运动员在跳水过程中其重心运动的轨迹，则从起跳至入水的过程中，该运动员的重力势能( )
图3
A．一直减小
B．一直增大
C．先增大后减小
D．先减小后增大
答案 C
解析 运动员的重心高度先增大后减小，所以其重力势能Ep＝mgh也先增大后减小，C项正确．
题组三 弹力做功与弹性势能变化的关系
8.如图4所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中以下说法正确的是( )
图4
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能减小
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
答案 BD
解析 由功的计算公式W＝Fscos α知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力，F＝kx，所以A错误；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的位移，弹力做的功增大，故B正确；物体压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故C错误，D正确．故选B、D.
9.如图5所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是( )
图5
A．重力势能减少，弹性势能增大
B．重力势能增大，弹性势能减少
C．重力势能减少，弹性势能减少
D．重力势能不变，弹性势能增大
答案 A
解析 弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增大；重力做正功，重力势能减少，故A正确．
10.如图6所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中( )
图6
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
答案 BC
解析 用细绳拴住小球向下摆动时重力做正功，弹力不做功，C对；用弹簧拴住小球下摆时，弹簧要伸长，小球轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功多，所以A、D错，B对．
题组四 重力做功与重力势能变化的关系
11．有关重力势能的变化，下列说法中正确的是( )
A．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1 J，但物体重力势能的增加量有可能不是1 J
B．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的
C．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的
D．物体运动中重力做功是－1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J
答案 ABC
解析 据重力做功的特点：与经过路径无关，与是否受其他力无关，只取决于始末位置的高度差，再根据重力做功等于重力势能的减少量可知B、C对，D错；对于A选项，当物体加速运动时克服重力做功少于1 J，重力势能增加量少于1 J，物体减速运动时，克服重力做功即重力势能增加量大于1 J，只有物体匀速向上运动时，克服重力做功即重力势能增加量才是1 J，A对．
12．北京时间2013年6月11日17时38分，“神舟十号”载人飞船成功发射．飞船发射上升过程中，其重力做功和重力势能变化的情况为( )
A．重力做正功，重力势能减小
B．重力做正功，重力势能增加
C．重力做负功，重力势能减小
D．重力做负功，重力势能增加
答案 D
解析 飞船发射时高度逐渐上升，飞船的重力做负功，重力势能越来越大，故D正确．
13．一质量为m的物体被人用手由静止竖直向上以加速度a匀加速提升h.关于此过程，下列说法中正确的是( )
A．提升过程中手对物体做功m(a＋g)h
B．提升过程中合外力对物体做功mah
C．提升过程中物体的重力势能增加m(a＋g)h
D．提升过程中物体克服重力做功mgh
答案 ABD
解析 对物体受力分析，如图所示，则F－mg＝ma，所以手对物体做功W1＝Fh＝m(g＋a)h，故A正确；合外力所做的功W合＝F合h＝mah，B正确；物体上升h，克服重力做功mgh，重力势能增加mgh，C错，D对．
14.如图7所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力势能减少了多少？重力做功为多少？
图7
答案 mgl mgl
解析 从A点运动到C点，小球下落h＝l，
故重力做功WG＝mgh＝mgl，
重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－mgl
负号表示小球的重力势能减少了．
