学案2 研究机械能守恒定律(一)
——机械能守恒定律及其应用
[学习目标定位] 1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律.3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题．
一、机械能
1．定义：物体的动能与势能之和称为机械能．
2．表达式：E＝Ek＋Ep.
注：其中的势能是指重力势能和弹性势能．
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：E＝Ek＋Ep＝恒量.
一、研究机械能守恒定律
[问题设计]
1．打桩机的重锤从高处下落的过程中，重锤的高度越来越小，重锤的重力势能减少，减少的重力势能到哪里去了？
答案 重锤下落的过程中，速度增加了，即重锤的动能增加了，这说明重锤减少的重力势能转化成了动能．
2.如图1所示，质量为m的物体自由下落的过程中，经过高度为h1的A点时速度为v1，下落到高度为h2的B点处时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面，求：
图1
(1)物体在A、B处的机械能各是多少？
(2)比较物体在A、B处的机械能的大小．
答案 (1)物体在A处的机械能EA＝mgh1＋mv
物体在B处的机械能EB＝mgh2＋mv
(2)根据动能定理WG＝mv－mv
下落过程中重力对物体做功，重力做的功在数值上等于物体重力势能的变化量，则
WG＝mgh1－mgh2
由以上两式可得：mv－mv＝mgh1－mgh2
移项得mv＋mgh1＝mv＋mgh2
由此可知物体在A、B两处的机械能相等．
[要点提炼]
1．机械能守恒定律的内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．三种表达式
(1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)
此式表示系统的两个状态的机械能总量相等．
(2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp
此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量．
(3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减．
此式表示系统A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
3．守恒的三类常见情况
(1)只受重力、弹力，不受其他力．
(2)除重力、弹力外还受其他力，但其他力都不做功．
(3)除重力、弹力外有其他力做功，但其他力做功之和为零．
[延伸思考]
做匀速直线运动的物体机械能一定守恒吗？
答案 不一定．机械能是否守恒应根据守恒条件进行判断．当物体做匀速直线运动时，不一定只有重力或弹力做功，机械能不一定守恒．如物体在重力和拉力的作用下匀速向上运动，其机械能是增加的．
二、机械能守恒定律的应用步骤
1．确定研究对象．
2．对研究对象进行正确的受力分析．
3．判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件．
4．视解题方便与否选取零势能参考平面，并确定研究对象在初、末状态时的机械能．
5．根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程，进行求解．
一、机械能是否守恒的分析
例1 下列运动的物体，机械能守恒的是( )
A．物体沿斜面匀速下滑
B．物体从高处以0.9g的加速度竖直下落
C．物体沿光滑曲面滑下
D．拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升
解析 物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小．物体以0.9g的加速度下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为0.1mg，合力在物体下落时对物体做负功，物体机械能不守恒．物体沿光滑曲面滑下时，只有重力做功，机械能守恒．拉着物体沿斜面上升时，拉力对物体做功，物体机械能不守恒．综上，机械能守恒的是C项．
答案 C
针对训练1 如图2所示，用一轻绳系一小球悬于O点．现将绳拉直使小球处于水平位置，然后静止释放，不计阻力．小球下落到最低点的过程中，下列表述正确的是( )
图2
A．小球的机械能守恒
B．小球所受的合力不变
C．小球的动能不断减小
D．小球的重力势能增加
答案 A
解析 小球在运动过程中只有重力做功，绳的拉力不做功，故小球的机械能守恒，A对．小球在运动过程中动能不断增加，重力势能减小，合力的大小、方向在不断变化，故B、C、D错．
二、机械能守恒定律的应用
例2 如图3所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好摆到最低点B位置时线被拉断．设摆线长l＝1.6 m，O点离地高H＝5.8 m，不计绳断时的机械能损失，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
图3
(1)摆球刚到达B点时的速度大小；
(2)落地时摆球的速度大小．
解析 (1)摆球由A到B的过程中只有重力做功，故机械能守恒．根据机械能守恒定律得
mg(1－sin 30°)l＝mv，则vB＝＝＝ m/s＝4 m/s.
(2)设摆球落地点为题图中的D点，则摆球由B到D过程中只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒定律得
mv－mv＝mg(H－l)
则vD＝＝ m/s＝10 m/s.
答案 (1)4 m/s (2)10 m/s
针对训练2 质量为m的小球，从离地面h高处以初速度v0竖直上抛，小球上升的离抛出点的最大高度为H，若选取最高点为零势能面，不计空气阻力，则( )
A．小球在抛出点的机械能是0
B．小球落回抛出点时的机械能是－mgH
C．小球落到地面时的动能是mv＋mgh
D．小球落到地面时的重力势能是－mgh
答案 AC
解析 选最高点为零势能面，小球的机械能E＝0，不计空气阻力，小球抛出后只有重力做功机械能守恒，故抛出后在各位置的机械能都是0，故A对，B错；小球落到地面时的重力势能是－mg(h＋H)，D错；由抛出点到落地点，由动能定理得mgh＝Ek－mv，所以Ek＝mv＋mgh，C对．
研究机械能守恒定律
1．(机械能是否守恒的判断)关于机械能守恒，下列说法正确的是( )
A．做自由落体运动的物体，机械能一定守恒
B．人乘电梯加速上升的过程，机械能守恒
C．物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒
D．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
答案 A
解析 做自由落体运动的物体，只受重力作用，机械能守恒，A正确；人乘电梯加速上升的过程，电梯对人的支持力做功，故人的机械能不守恒，B错误；物体在只有重力做功，其他力也可存在，但不做功或做功之和为0的情况下，机械能守恒，故C错误；合外力对物体做功为零，物体的动能不变，机械能不一定守恒，D错误．
2．(机械能是否守恒的判断)如图4所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中( )
图4
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
答案 C
解析 斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错，C对；小球动能的变化等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的和，D错．
3．(机械能守恒定律的应用)如图5所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与光滑的水平地面相切，在地面上给一物块某一初速度v0，使它沿CBA运动，且通过A点水平飞出．求水平初速度v0需满足什么条件？(g取10 m/s2)
图5
答案 不小于5 m/s
解析 若物块恰好通过A点，设在A点的速度为v1，则
mg＝ ①
整个过程只有重力做功，由机械能守恒知：
mv＝2mgR＋mv ②
联立①②代入数据得v0＝5 m/s
所以给物块的水平初速度应不小于5 m/s.
4.2 研究机械能守恒定律（一）
题组一 机械能是否守恒的判断
1．下列物体在运动过程中，可视为机械能守恒的是( )
A．飘落中的树叶
B．乘电梯匀速上升的人
C．被掷出后在空中运动的铅球
D．沿粗糙斜面匀速下滑的木箱
答案 C
解析 A项中，空气阻力对树叶做功，机械能不守恒；B项中人的动能不变，重力势能变化，机械能变化；C项中，空气阻力可以忽略不计，只有重力做功，机械能守恒；D项中，木箱动能不变，重力势能减小，机械能减小．
2．以下说法正确的是( )
A．物体做匀速运动，它的机械能一定守恒
B．物体所受合力的功为零，它的机械能一定守恒
C．物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒
D．物体所受的合力等于零，它的机械能一定守恒
答案 C
解析 做匀速直线运动的物体，动能不变，但机械能不一定守恒，如：匀速上升的物体，机械能就不断增大，选项A错误；合力的功为零，物体的动能不变，但机械能不一定守恒，如匀速上升(或下降)的物体，机械能就增大(或减小)，故B、D错误；自由落体运动的物体，所受的合力为重力即不等于零，但它的机械能守恒，故C正确．
3．物体在平衡力作用下运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．机械能一定不变
B．物体的动能保持不变，而势能一定变化
C．若物体的势能变化，机械能一定变化
D．若物体的势能变化，机械能不一定变化
答案 C
解析 由于物体在平衡力的作用下运动，速度不变，即物体的动能不变，当物体的势能变化时机械能一定变化，C正确，A、B、D错．
4．如图1所示的几种情况中，系统的机械能守恒的是( )
图1
A．图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B．图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C．图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连．小车在左右运动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面间摩擦不计)
D．图丙中如果小车运动时，木块相对小车有滑动
答案 AC
解析 弹丸在碗内运动时，只有重力做功，系统机械能守恒，故A对；运动员越跳越高，表明她不断做功，机械能不守恒，故B错；由于是一对静摩擦力，系统中只有弹簧弹力做功，机械能守恒，故C对；滑动摩擦力做功，系统机械能不守恒，故D错．
5．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中选项A、B、C中斜面是光滑的，选项D中的斜面是粗糙的，选项A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、B、D中的木块向下运动，选项C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中木块机械能守恒的是( )
答案 C
解析 依据机械能守恒条件：只有重力做功的情况下，物体的机械能才能守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合机械能守恒的条件，故答案为C.
题组二 机械能守恒定律的应用
6．一个人站在阳台上，以相同的速率v0，分别把三个球竖直向上抛出，竖直向下抛出，水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率( )
A．上抛球最大 B．下抛球最大
C．平抛球最大 D．三球一样大
答案 D
7．把质量为3 kg的石块从20 m高的山崖上以沿水平方向成30°角斜向上的方向抛出(如图2所示)，抛出的初速度v0＝5 m/s，石块落地时的速度大小与下面哪些量无关(g取10 m/s2，不计空气阻力)( )
图2
A．石块的质量
B．石块初速度的大小
C．石块初速度的仰角
D．石块抛出时的高度
答案 AC
解析 以地面为参考平面，石块运动过程中机械能守恒，则mgh＋mv＝mv2
即v2＝2gh＋v，所以v＝
由v＝可知，v与石块的初速度大小v0和高度h有关，而与石块的质量和初速度的方向无关．
8．在足球赛中，红队球员在白队禁区附近主罚定位球，如图3所示，并将球从球门右上角擦着横梁踢进球门．球门高度为h，足球飞入球门的速度为v，足球的质量为m，则红队球员将足球踢出时对足球做的功W(不计空气阻力，足球视为质点)( )
图3
A．等于mgh＋mv2
B．大于mgh＋mv2
C．小于mgh＋mv2
D．因为球入球门过程中的曲线的形状不确定，所以做功的大小无法确定
答案 A
解析 由动能定理，球员对球做的功等于足球动能的增加量，之后足球在飞行过程中机械能守恒，故W＝mgh＋mv2.
9．由光滑细管组成的轨道如图4所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是( )
图4
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
答案 BC
解析 因为轨道光滑，所以小球从D点运动到A点的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律有mgH＝mg(R＋R)＋mv，解得vA＝，从A端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有2R＝gt2，水平位移s＝vAt＝·＝2，故选项A错误，B正确；因为小球能从细管A端水平抛出的条件是vA>0，所以要求H>2R，选项C正确，D错误．
10．以10 m/s的速度将质量为m的物体从地面上竖直向上抛出，若忽略空气阻力，取地面为零势能面，g取10 m/s2，则：
(1)物体上升的最大高度是多少？
(2)上升过程中在何处重力势能与动能相等？
答案 (1)5 m (2)2.5 m
解析 (1)由于物体在运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒．设物体上升的最大高度为h，则E1＝mv，在最高点动能为0，故E2＝mgh，由机械能守恒定律E1＝E2可得：mv＝mgh，所以h＝＝ m＝5 m.
(2)开始时物体在地面上，E1＝mv，设重力势能与动能相等时在距离地面h1高处，E2＝mv＋mgh1＝2mgh1，由机械能守恒定律可得：mv＝2mgh1，所以h1＝＝2.5 m.
题组三 综合应用
11．如图5所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：
图5
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高．
答案 (1) (2)3.5R
解析 (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点．设物体在B处的速度为vB，则
mg·3R＋mv＝mv，
得v0＝.
(2)设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB＝mv，HB＝4.5R
所以离开C点后还能上升
HC＝HB－R＝3.5R.
12．一质量为m＝2 kg的小球从光滑的斜面上高h＝3.5 m处由静止滑下，斜面底端平滑连接着一个半径R＝1 m的光滑圆环，如图6所示，求：
图6
(1)小球滑到圆环顶点时对圆环的压力的大小；
(2)小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点？(g取10 m/s2)
答案 (1)40 N (2)2.5 m
解析 (1)小球从开始下滑至滑到圆环顶点的过程中，只有重力做功，故可用动能定理求出小球到半圆环最高点时的速度，再由牛顿第二定律求压力．
由机械能守恒定律得
mg(h－2R)＝mv2
小球在圆环最高点时，由牛顿第二定律，得
N＋mg＝m
联立上述两式，代入数据得N＝40 N
由牛顿第三定律知，小球对圆环的压力大小为40 N.
(2)小球能越过圆环最高点的临界条件是在最高点时只有重力提供向心力，即mg＝m①
设小球应从H高处滑下，由机械能守恒定律得
mg(H－2R)＝mv′2 ②
由①②得H＝2.5R＝2.5 m.
