学案2 万有引力定律是怎样发现的
[学习目标定位] 1.了解万有引力定律得出的思路和过程.2.理解万有引力定律的含义，并能利用万有引力公式进行有关计算.3.知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律．
一、发现万有引力的过程
1．胡克、雷恩、哈雷等科学家提出太阳对行星的作用力大小跟行星与太阳距离的平方成反比的猜想．
2．牛顿在前人研究的基础上，经过严密的推理运算和实践检验，提出了万有引力定律．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比．
2．表达式：F＝G.
式中G是一个常量，叫做引力常量．当质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N时，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
一、发现万有引力的过程
[问题设计]
1．说说科学家对行星运动原因的猜想．
答案 (1)吉尔伯特：行星是依靠太阳发出的磁力维持着绕日运动的．(日心说后不久)
(2)开普勒：意识到太阳有一种力支配着行星的运动．
(3)笛卡儿：提出“旋涡”假设，认为空间充满着一种看不见的流质形成许多旋涡，从而带动行星转动．(1644年)
(4)布利奥：首先提出平方反比假设，认为每个行星受太阳发出的力支配，力的大小跟行星与太阳距离的平方成反比．(1645年)
(5)胡克、雷恩、哈雷：有了引力与距离的平方成反比的猜想．(17世纪中叶)
2．牛顿是如何提出万有引力的概念的？牛顿是如何解决研究工作中遇到的困难的？
答案 牛顿根据月球绕地球运动的向心力是地球对月球的引力，提出任何两个物体间都存在着相互吸引的力——万有引力．
发明了微积分，越过了变速运动的障碍；提出了质点的概念，便于计算天体间引力的总效果；进行合理简化，即撇开其他天体的作用不计，只考虑太阳对行星的作用．
[要点提炼]
1．解决引力问题存在三大困难：
困难之一：无数学工具解决变化的曲线运动问题．
困难之二：缺乏理论工具计算天体各部分对行星产生的力的总效果．
困难之三：众多天体的引力相互干扰的问题无法解决．
2．牛顿对问题的解决方法：
(1)牛顿利用他发明的微积分方法，越过了变速运动的障碍．
(2)运用模型方法，提出了质点的概念，并通过微积分运算的论证，把庞大天体的质量集中于球心．
(3)撇开其他天体的作用不计，只考虑太阳对行星的作用．
二、万有引力定律
1．万有引力定律的表达式：F＝G.
2．引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2
(1)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力．
(2)引力常量测定的意义
卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，推出的G的数值及验证了万有引力定律的正确性．引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值．
3．万有引力的特性
(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何两个有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间)．
(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律．
(3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．
4．万有引力公式的适用条件
(1)两个质点间．
(2)两个质量分布均匀的球体间，其中r为两个球心间的距离．
(3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间，r为球心到质点的距离．
一、对万有引力定律的理解
例1 对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
解析 引力常量G值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的扭秤实验测定出来的，而不是像牛顿第二定律表达式中的k那样是人为规定出来的，所以选项A正确．当两物体间的距离r趋近于零时，物体就不能再视为质点，万有引力定律就不再适用，所以不能得出此时万有引力趋于无穷大的结论，选项B错误．两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误．
答案 AC
二、万有引力定律的应用
例2 一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的( )
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2倍 D．4倍
解析 根据万有引力定律得：宇航员在地球上所受的万有引力F1＝，在星球上受的万有引力F2＝，所以＝＝×22＝2，故C正确．
答案 C
万有引力定律
1．(万有引力的发现过程)在物理学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献．关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是( )
A．开普勒进行了“月—地检验”，得出天上和地下的物体都遵从万有引力定律的结论
B．哥白尼提出“日心说”，发现了太阳系中行星沿椭圆轨道运动的规律
C．第谷通过对天体运动的长期观察，发现了行星运动三定律
D．牛顿发现了万有引力定律
答案 D
解析 牛顿得出万有引力定律，A错误，D正确；开普勒发现行星沿椭圆轨道运动的规律，B错误；开普勒发现行星运动三定律，C错误．
2．(对万有引力定律的理解)关于万有引力定律F＝G，下列说法中正确的是( )
A．牛顿是在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，因此万有引力定律仅适用于天体之间
B．卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值
C．两物体各自受到对方的引力的大小不一定相等，质量大的物体受到的引力也大
D．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体不适用
答案 B
解析 万有引力定律适用于所有物体间，A、D错误；根据物理学史可知卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值，B正确；两物体各自受到对方的引力的大小遵循牛顿第三定律，C错误．
3．(万有引力定律的应用)某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
答案 B
解析 万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h.
5.2 万有引力定律是怎样发现的
题组一 万有引力的发现过程
1．牛顿发现万有引力定律的思维过程是下列的( )
A．理想实验——理论推导——实验检验
B．假想——理论推导——实验检验
C．假想——理论推导——规律形成
D．实验事实——假想——理论推导
答案 B
解析 牛顿发现万有引力定律的思维过程是先假想维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”定律，然后通过理论推导得到理论上的结果，最后通过实验测得的数据计算实际结果，并将两种结果加以对比，从而得出结论，故B正确．
2．“月—地检验”的结果说明( )
A．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力
B．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力
C．地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即G＝mg
D．月球所受地球的引力只与月球质量有关
答案 A
解析 通过完全独立的途径得出相同的结果，证明地球表面上的物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一种性质的力．
3．把行星运动近似看做匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝r3/k，m为行星质量，则可推得( )
A．行星受太阳的引力为F＝k
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力为F＝k
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
答案 C
解析 行星受到的太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，则有F＝m，又因为v＝，代入上式得F＝.由开普勒第三定律＝k，得T2＝，代入上式得F＝k.太阳与行星间的引力与太阳、行星的质量及太阳与行星间的距离有关．故选C.
题组二 对万有引力的理解
4．对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中的G为比例常数，无单位
B．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力
C．当r趋近于0时，F趋向无穷大
D．当r趋近于0时，公式不成立
答案 BD
解析 万有引力公式中的G为引力常量，不但有大小而且有单位，单位是N·m2/kg2，故A错误；m1与m2之间万有引力是一对作用力和反作用力，B正确；当r趋于0时，无论是球体还是其他形状的两个物体，都不能看成质点，故公式不成立，C错误，D正确．
5．关于引力常量G，下列说法中正确的是( )
A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值
B．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力
D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制的选择无关
答案 AC
解析 引力常量G是一个普遍适用的常量，其物理意义是两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的万有引力为6.67×10－11 N，它的大小与所选的单位制有关．
6．关于万有引力，下列说法中正确的是( )
A．万有引力只有在研究天体与天体之间的作用时才有价值
B．由于一个苹果的质量很小，所以地球对它的万有引力几乎可以忽略
C．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近
答案 D
解析 由万有引力定律知D正确．万有引力定律不但在天体之间有价值，在天体与物体间也有价值，如重力，故A、B错误；由牛顿第三定律知C错误．
7．万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用规律，以下说法正确的是( )
A．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的
B．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大
C．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供
D．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
答案 C
解析 物体的重力是地球对物体的万有引力引起的，A选项错误；人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越小，B选项错误；宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于受到的万有引力提供了圆周运动的向心力，D选项错误；只有C选项正确．
题组三 万有引力定律的应用
8．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为( )
A．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1
答案 C
解析 设月球质量为m，则地球质量为81m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G＝G，所以＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确．
9．要使两个物体之间的万有引力减小到原来的，可采用的方法是( )
A．使两物体之间的距离增至原来的2倍，质量不变
B．使两物体的质量各减少一半，距离保持不变
C．使其中一个物体的质量减为原来的，距离保持不变
D．使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的
答案 ABC
解析 根据F＝G可知，当两物体质量不变，距离增至原来的2倍时，两物体间的万有引力F′＝＝·＝F，A正确；当两物体的距离保持不变，质量各减少一半时，万有引力F′＝＝·＝F，B正确；当只有一个物体的质量减为原来的时，万有引力F′＝＝·＝F，C正确；当两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的时，万有引力F′＝＝＝F，D错误．
10．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d(矿井宽度很小)．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－ B．1＋
C.2 D.2
答案 A
解析 设地球的密度为ρ，地球的质量为M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝.地球质量可表示为M＝πR3ρ.因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为＝1－，选项A正确，选项B、C、D错误．
11.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点．现从M中挖去半径为R的球体，如图1所示，则剩余部分对m的万有引力F为多少？
图1
答案
解析 质量为M的球体对质点m的万有引力
F1＝G＝G
挖去的球体的质量M′＝M＝
质量为M′的球体对质点m的万有引力
F2＝G＝G
则剩余部分对质点m的万有引力
F＝F1－F2＝G－G＝.
