学案3 万有引力定律与天文学的新发现
[学习目标定位] 1.了解发现未知天体海王星的过程.2.会用万有引力定律求中心天体的质量.3.了解重力等于万有引力的条件．
一、海王星的发现和哈雷彗星的预报
1．海王星的发现
亚当斯和勒维烈根据万有引力定律，通过计算，各自独立地发现了海王星．它被称为是在笔尖下发现的新天体．
2．哈雷彗星的预报
哈雷根据万有引力定律计算出了哈雷彗星的椭圆轨道，并发现它的周期约为76年，由于最近一次回归是1986年，预计下次回归将在2061年．
二、计算天体质量
1．太阳质量的计算：
(1)依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝.
(2)结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
2．其他行星的质量计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r.可计算行星的质量M，公式是M＝.
三、万有引力与重力
如图1所示，地球上的任何物体都会受到地球的万有引力作用，F＝，方向指向地心．
图1
我们把F分解为F1和F2两个分力，F1即平常所说的重力，它的方向竖直向下；F2是物体随地球自转所需的向心力，它的方向指向地轴．F2非常小，无特别说明认为万有引力等于重力.
一、笔尖下发现的行星和哈雷彗星的预报
[问题设计]
牛顿发现的万有引力定律，开始只是一个假设，其后，天文学的哪些事情证实了万有引力定律的正确性？
答案 海王星的发现、哈雷慧星按预测日期回归．
[要点提炼]
1．笔尖下发现的行星
(1)发现天王星后，天文学家们根据不同观察时间的资料算出的天王星的轨道各不相同．
(2)预测在天王星的轨道外面有未知行星在干扰．
(3)亚当斯和勒维烈各自独立计算出这颗“新星”的运行轨道并指出其所在位置．
(4)1946年9月23日，伽勒在预测位置发现海王星．
2．哈雷慧星的预报
英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算出1682年出现的大慧星的周期约为76年，1759年3月13日，慧星几乎是如期而至(与预算日期仅差1个月)．
3．意义：海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”的意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位．
二、计算天体的质量和密度
[问题设计]
1．我们知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，如果我们要“称量”出太阳的质量，应该知道哪些条件？
答案 由＝mr知M＝，由此可知需要知道某行星的公转周期T和它与太阳的距离r.
2．天体质量及半径求出后，如何得到天体的平均密度？
答案 知道天体的半径，则可由ρ＝得到天体的密度ρ＝＝.
[要点提炼]
1．计算天体质量的方法
分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量．由＝mr，得M＝.
2．天体密度的计算方法
根据密度的公式ρ＝，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度．
(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．
由mg＝和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则由G＝mr和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
注意 R、r的意义不同，一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R＝r，此时ρ＝.
三、破解重力变化之谜
1.万有引力和重力的关系：如图2所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力．
图2
2．万有引力与重力的近似关系：如果忽略地球自转，则万有引力和重力的关系：mg＝，g为地球表面的重力加速度．
3．重力与高度的关系：若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
四、天体运动的分析与计算
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供．
2．常用关系：
(1)G＝ma向＝m＝mω2r＝mr.
(2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．
3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．
(1)由G＝m得v＝ ，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝ ，r越大，ω越小．
(3)由G＝m()2r得T＝2π ，r越大，T越大．
(4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小．
一、天体质量和密度的计算
例1 有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( )
A.倍 B．4倍 C．16倍 D．64倍
解析 由G＝mg得M＝，
因为ρ＝＝＝，所以R＝，则＝＝4，
根据M＝＝＝＝64M地，所以D项正确．
答案 D
例2 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G.
(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
解析 (1)设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝.
(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有
G＝m(R＋h)
M＝
ρ＝＝＝.
答案 (1) (2)
二、天体运动的分析与计算
例3 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A．线速度v＝ B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π D．向心加速度a＝
解析 探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2R＝mR，可得a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，所以A正确，D错误；又由于不考虑月球自转的影响，则G＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝，T＝2π，所以B错误，C正确．
答案 AC
三、万有引力和重力的关系
例4 在离地面高度等于地球半径的高度处，重力加速度的大小是地球表面的重力加速度大小的( )
A．2倍 B．1倍 C.倍 D.倍
解析 由“平方反比”规律知，g∝，故＝2＝2＝.
答案 D
1．(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度
答案 A
解析 取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A.
2．(天体运动的分析与计算)据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速度分别为v1和v2，那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由G＝m，得v＝ ，则＝＝＝，故选项C正确．
3．(万有引力与重力的关系)假如地球自转速度增大，关于物体的重力，下列说法中正确的是( )
A．放在赤道地面上物体的万有引力不变
B．放在两极地面上物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力减小
D．放在两极地面上物体的重力增大
答案 ABC
解析 地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，选项A正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，选项B正确，D错误；而对放在赤道地面上的物体，F万＝G重＋mω2R，由于ω增大，则G重减小，选项C正确．
5.3 万有引力定律与天文学的新发现
题组一 天体质量和密度的计算
1．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，又地球质量M＝ρV＝πR3ρ，代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝.
2．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是( )
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
答案 AB
解析 由G＝mg得g＝G，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，A正确；由G＝m()2r得T＝2π ，公转轨道半径大的周期长，B正确；周期长的线速度小(或由v＝ 判断轨道半径大的线速度小)，C错误；公转向心加速度a＝G，轨道半径大的向心加速度小，D错误．故选A、B.
3．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设卫星的质量为m′
由万有引力提供向心力，得G＝m′ ①
m′＝m′g ②
由已知条件：m的重力为N得
N＝mg ③
由③得g＝，代入②得：R＝
代入①得M＝，故A、C、D三项均错误，B项正确．
题组二 天体运动的分析与计算
4．科学家们推测，太阳系除八大行星之外的另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的半径等于地球的半径
C．这颗行星的密度等于地球的密度
D．这颗行星的质量
答案 A
解析 因为只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．
由G＝m可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其质量及密度．
5．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )
A．周期越小 B．线速度越小
C．角速度越小 D．加速度越小
答案 BCD
解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由G＝m得v＝ ，可知r越大，线速度越小，B正确．由G＝mω2r得ω＝ ，可知r越大，角速度越小，C正确．又由T＝知，ω越小，周期T越大，A错误．由G＝ma得a＝，可知r越大，a越小，D正确．
6．若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为＝mr，即M∝，所以＝，选项A正确．
7．土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )
A．若v2∝R则该层是土星的卫星群
B．若v∝R则该层是土星的一部分
C．若v∝则该层是土星的一部分
D．若v2∝则该层是土星的卫星群
答案 BD
解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，A错误，B正确；若是土星的卫星群，则由＝m，得v2∝，故C错误，D正确．
题组三 万有引力和重力的关系
8．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 地球表面上的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，忽略自转所以有
在地面上，G＝mg0， ①
离地心4R处，G＝mg， ②
由①②两式得＝2＝.
9．一物体在地球表面重16 N，地面上重力加速度为10 m/s2.它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(忽略地球自转)( )
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．一半
答案 B
解析 设此时火箭上升到离地球表面高度为h处，火箭上物体的视重等于物体受到的支持力N，物体受到的重力为mg′，g′是h高处的重力加速度，由牛顿第二定律得
N－mg′＝ma ①
其中m＝，代入①式得
mg′＝N－a＝ N＝1 N
在距离地面为h处，物体的重力为1 N，忽略自转，物体的重力等于万有引力．
在地球表面：mg＝G ②
在距地面h高处，mg′＝G ③
②与③相除可得＝，
所以R地＋h＝ R地＝R地＝4R地
所以h＝3R地，故选B.
10．火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为 50 kg.求：
(1)在火星上宇航员所受的重力为多少？
(2)宇航员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？(取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2)
答案 (1)222.2 N (2)3.375 m
解析 (1)由mg＝G，得g＝.
在地球上有g＝，在火星上有g′＝，
所以g′＝ m/s2，
那么宇航员在火星上所受的重力
mg′＝50× N≈222.2 N.
(2)在地球上，宇航员跳起的高度为h＝
即1.5 m＝
在火星上，宇航员跳起的高度h′＝＝，
联立解得h′＝3.375 m．
