学案4 飞出地球去（一）
[学习目标定位] 1.知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度.2.了解人造卫星的有关知识，掌握人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系.3.了解我国卫星发射的情况，激发学生的爱国热情．
一、三个宇宙速度
1．第一宇宙速度：v1＝7.9_km/s，又称环绕速度．
2．第二宇宙速度：v2＝11.2_km/s，又称脱离速度．
3．第三宇宙速度：v3＝16.7_km/s，又称逃逸速度．
二、为了和平与进步
1957年10月4日，前苏联发射了第一颗人造地球卫星．
1969年7月20日，美国航天员阿姆斯特朗登上了月球．
1970年4月24日，我国第一颗人造地球卫星——“东方红”1号发射成功.2003年10月15日，“神舟”5号飞船载着中国第一位航天员杨利伟成功升空．
2004年1月，“勇气”号和“机遇”号探测器先后在火星上成功着陆.
一、三个宇宙速度
[问题设计]
牛顿曾提出过一个著名的思想实验：如图1所示，从高山上水平抛出一个物体，当抛出的速度足够大时，物体将环绕地球运动，成为人造地球卫星．据此思考并讨论以下问题：
图1
(1)当抛出速度较小时，物体做什么运动？当物体刚好不落回地面时，物体做什么运动？
(2)若地球的质量为M，物体到地心的距离为r，引力常量为G，试推导物体刚好不落回地面时的运行速度．若物体紧贴地面飞行，其速度大小为多少？(已知地球半径R＝6 400 km，地球质量M＝5.98×1024 kg)
答案 (1)当抛出速度较小时，物体做平抛运动．当物体刚好不落回地面时，物体做匀速圆周运动．
(2)物体不落回地面，应围绕地球做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，G＝m解得v＝ .当其紧贴地面飞行时v＝ ＝ ＝7.9 km/s.
[要点提炼]
宇宙速度是地球上满足不同要求的卫星发射速度．
1．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s
(1)推导
方法一：由G＝m得v＝ .
方法二：由mg＝m得v＝.
(2)理解：第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度．
2．第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，是从地面上发射物体并使之脱离地球束缚的最小发射速度，又称脱离速度．
3．第三宇宙速度v3＝16.7 km/s，是从地面上发射物体并使之脱离太阳束缚的最小发射速度，又称逃逸速度．
二、人造地球卫星的运动特点
[问题设计]
如图2所示，圆a、b、c的圆心均在地球的自转轴线上．b、c的圆心与地心重合，卫星环绕地球做匀速圆周运动，据此思考并讨论以下问题：
图2
(1)三条轨道中可以作为卫星轨道的是哪条？为什么？
(2)卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力定律和向心力公式推导卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系．
答案 (1)b、c轨道都可以．因为卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，而万有引力是始终指向地心的，故卫星做匀速圆周运动的向心力必须指向地心，因此b、c轨道都可以，a轨道不可以．
(2)卫星所受万有引力提供向心力，G＝m＝mω2r＝m()2r，所以v＝ ，ω＝ ，T＝2π .
[要点提炼]
1．所有卫星的轨道平面过地心．
2．卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
根据万有引力提供卫星绕地球运动的向心力，即有：
＝ma＝m＝mω2r＝m()r
(1)a＝，r越大，a越小．
(2)v＝ ，r越大，v越小．
(3)ω＝ ，r越大，ω越小．
(4)T＝2π ，r越大，T越大．
三、同步卫星
[问题设计]
同步卫星也叫通讯卫星，它相对于地面静止，和地球自转具有相同的周期，即T＝24 h．已知地球的质量M＝6×1024 kg，地球半径R＝6 400 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.请根据以上信息以及所学知识探究：
(1)同步卫星所处的轨道平面．
(2)同步卫星的离地高度h.
答案 (1)假设卫星的轨道在某一纬线圈的上方跟着地球的自转做同步地匀速圆周运动，卫星运动的向心力由地球对它的引力的一个分力提供．由于另一个分力的作用将使卫星轨道靠向赤道，故只有在赤道上方，同步卫星才能稳定的运行．
(2)由万有引力提供向心力和已知周期T得G＝m(R＋h)()2，所以h＝ －R，代入数据得h＝3.6×107 m.
[要点提炼]
同步卫星的特点
1．定轨道平面：所有地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内．
2．定周期：运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h.
3．定高度(半径)：离地面高度为36 000 km.
4．定速率：运行速率为3.1×103 m/s.
一、宇宙速度的理解
例1 我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s C．11 km/s D. 36 km/s
解析 星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度．
卫星所需的向心力由万有引力提供，
G＝m，得v＝ ，又由＝、＝，故月球和地球上第一宇宙速度之比＝，故v月＝7.9× km/s≈1.8 km/s，因此B项正确．
答案 B
例2 某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t后，物体以速率v落回手中．已知该星球的半径为R，求该星球上的第一宇宙速度的大小．
解析 根据匀变速运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为g＝，该星球的第一宇宙速度，即为卫星在其表面附近绕它做匀速圆周运动的线速度，该星球对卫星的引力(重力)提供卫星做圆周运动的向心力，则mg＝m，该星球表面的第一宇宙速度为v1＝＝ .
答案
二、人造卫星的运动规律
例3 如图3所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，a和b的质量相等，且小于c的质量，则( )
图3
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相等且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
解析 因卫星运行的向心力就是它们所受的万有引力，而b所受的引力最小，故A正确．由＝ma，得a＝
，即卫星的向心加速度大小与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误．由＝mr，得T＝2π ，即人造地球卫星运行的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确．由＝m，得v＝ ，即人造地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确．故选A、B、D.
答案 ABD
三、对同步卫星规律的理解及应用
例4 我国“中星11号”商业通信卫星是一颗同步卫星，它定点于东经98.2度的赤道上空，关于这颗卫星的说法正确的是( )
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析 “中星11号”是地球同步卫星，距地面有一定的高度，运行速度要小于7.9 km/s，A错误．
其位置在赤道上空，高度一定，且相对地面静止，B正确．
其运行周期为24小时，小于月球的绕行周期27天，由ω＝知，其运行角速度比月球大，C正确．
同步卫星与静止在赤道表面的物体具有相同的角速度，但半径不同，由a＝rω2知，同步卫星的向心加速度大，D错误．
综上分析，正确选项为B、C.
答案 BC
1．(对宇宙速度的理解)恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为( )
A．6.0 km/s B．3.0×102 km/s
C．3.0×103 km/s D．6.0×104 km/s
答案 D
解析 中子星上的第一宇宙速度即为它表面的环绕速度，
由G＝m，得v＝ ，又由
M＝ρV＝ρπr3，代入上式可得v＝r ，
代入数据得v≈6.0×104 km/s.
2．(人造卫星运动的规律)人造卫星环绕地球运行的速率v ＝ ，其中g为地面处的重力加速度，R为地球半径，r为卫星离地球中心的距离．下列说法正确的是( )
A．从公式可见，环绕速度与轨道半径的平方根成反比
B．从公式可见，把人造卫星发射到越远的地方越容易
C．由第一宇宙速度公式v＝知卫星轨道半径越大，其运行速度越大
D．以上答案都不对
答案 A
解析 由于g是地球表面处的重力加速度，R是地球半径，都是定值，根据v＝ 可得环绕速度与轨道半径的平方根成反比，A正确，D错误；虽然r越大，v越小，但把卫星发射到越远的地方火箭会有更多的动能转化为重力势能，需要的发射速度就越大，B错误；v＝是指第一宇宙速度，其中的R是地球半径，不是卫星的轨道半径，不能得出卫星的轨道半径越大，v越大的结论，C错误．
3．(人造卫星运动的规律)如图4所示，在同一轨道平面上的几个人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，某一时刻它们恰好在同一直线上，下列说法中正确的是( )
图4
A．根据v＝可知，运行速度满足vA＞vB＞vC
B．运转角速度满足ωA＞ωB＞ωC
C．向心加速度满足aA＜aB＜aC
D．运动一周后，A最先回到图示位置
答案 C
解析 由G＝m得，v＝ ，r越大，则v越小，故vA＜vB＜vC，A错误；由G＝mω2r得，ω＝ ，r越大，则ω越小，故ωA＜ωB＜ωC，B错误；由G＝ma得，a＝，r越大，则a越小，故aA＜aB＜aC，C正确；由G＝mr得，T＝2π ，r越大，则T越大，故TA＞TB＞TC，因此运动一周后，C最先回到图示位置，D错误．
4．(对同步卫星的理解及应用)我国曾经发射了一颗“北斗一号”导航定位卫星，预示着我国通讯技术的不断提高．该卫星处于地球的同步轨道，其质量为m，假设其离地高度为h，地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则有( )
A．该卫星运行周期为24 h
B．该卫星向心加速度是()2g
C．该卫星运行线速度是
D．该卫星周期与近地卫星周期之比是(1＋)
答案 ABC
解析 同步卫星与地球的自转周期相等，故该卫星运行周期为24 h，A正确；由牛顿第二定律得ma＝，又由于GM＝gR2，故可以得到该卫星的向心加速度是a向＝()2g，故B正确；由＝m及GM＝gR2，得该卫星的线速度为 ，故C正确；由开普勒第三定律＝常数可得该卫星周期与近地卫星周期之比为()，故D错误.
5.4 飞出地球去（一）
题组一 对三个宇宙速度的理解
1．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )
A．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
答案 A
解析 第一宇宙速度是物体在地面附近做匀速圆周运动的速度，A正确，B错误；根据G＝m得v＝ ，可见第一宇宙速度与地球的质量和半径有关，C、D错误．
2．下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
答案 CD
解析 根据v＝ 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C正确．
3．若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( )
A．16 km/s B．32 km/s
C．4 km/s D．2 km/s
答案 A
解析 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星，其轨道半径近似等于星球半径，所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m，解得v＝.因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍，则＝ ＝ ＝2，故v′＝2v＝2×8 km/s＝16 km/s，A正确．
4．美国“新地平线”号探测器，已于美国东部时间2006年1月17日13时(北京时间18日1时)借助“宇宙神5”火箭，从佛罗里达州卡纳维拉尔角肯尼迪航天中心发射升空，开始长达九年的飞向冥王星的太空之旅．拥有3级发动机的“宇宙神5”重型火箭将以每小时5.76万千米的惊人速度把“新地平线”号送离地球，这个冥王星探测器因此将成为人类有史以来发射的速度最高的飞行器，此速度( )
A．大于第一宇宙速度
B．大于第二宇宙速度
C．大于第三宇宙速度
D．小于并接近第三宇宙速度
答案 ABD
解析 由题中已知条件：5.76×104 km/h＝16 km/s以及第一宇宙速度是7.9 km/s，第二宇宙速度是11.2 km/s，第三宇宙速度是16.7 km/s，可以判断A、B、D正确．
5．一颗人造地球卫星以初速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度增为2v，则该卫星可能( )
A．绕地球做匀速圆周运动
B．绕地球运动，轨道变为椭圆
C．不绕地球运动，成为太阳的人造行星
D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙去了
答案 CD
解析 以初速度v发射后能成为人造地球卫星，可知发射速度v一定大于第一宇宙速度7.9 km/s；当以2v速度发射时，发射速度一定大于15.8 km/s，已超过了第二宇宙速度11.2 km/s，也可能超过第三宇宙速度16.7 km/s，所以此卫星不再绕地球运行，可能绕太阳运行，或者飞到太阳系以外的空间去了，故选项C、D正确．
题组二 人造卫星运动的规律
6．可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道( )
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆
B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
答案 CD
解析 人造卫星运行时，由于地球对卫星的引力是它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，故A错误；由于地球自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B错误；相对地球表面静止的就是同步卫星，它必须在赤道线平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动，不过由于它们自转的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动．
7．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则( )
A．根据公式v＝ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式F＝m，可知卫星所需的向心力将减少到原来的
C．根据公式F＝G，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D．根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
答案 CD
解析 从v＝ 看出，离地球越远的卫星速度越小，当半径加倍时，地球对卫星的万有引力变为原来的，即地球提供的向心力减小到原来的，速度变为原来的倍．
8．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课．在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )
A．等于7.9 km/s
B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．小于7.9 km/s
D．介于7.9 km/s和16.7 km/s之间
答案 C
解析 卫星在圆形轨道上运动的速度v＝ .由于轨道半径r＞地球半径R，所以v＜ ＝7.9 km/s，C正确．
9．如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
图1
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
答案 A
解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力．由牛顿第二定律G＝ma＝mr＝mω2r＝m，可得a＝，T＝2π ，ω＝ ，v＝ .由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A.
题组三 对同步卫星规律的理解及应用
10．下面关于同步通信卫星的说法中，正确的是( )
A．同步通信卫星的高度和速率都是确定的
B．同步通信卫星的高度、速度、周期中，有的能确定，有的不能确定，可以调节
C．我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114 min，比同步通信卫星的周期短，所以第一颗人造卫星离地面的高度比同步通信卫星的低
D．同步通信卫星的速率比我国发射的第一颗人造地球卫星的速率小
答案 ACD
解析 同步通信卫星的周期与角速度跟地球自转的周期与角速度分别相同，由ω＝ 和h＝r－R可知，卫星高度确定，由v＝ωr知速率也确定，选项A正确，B错误；由T＝2π 知，第一颗人造地球卫星的高度比同步通信卫星的低，选项C正确；由v＝ 知，同步通信卫星比第一颗人造地球卫星的速率小，故选项D正确．
11．关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( )
A．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍
B．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播
C．它以第一宇宙速度运行
D．它运行的角速度与地球自转角速度相同
答案 D
解析 由G＝m得r＝，可知轨道半径与卫星质量无关，A错误．同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B错误．第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C错误．所谓“同步”就是卫星保持与地面赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D正确．
12．“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍．下列说法正确的是( )
A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的
D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的
答案 A
解析 根据G＝mr，可得T＝2π ，代入数据，A正确；根据G＝m，可得v＝ ，代入数据，B错误；根据G＝mω2r，可得ω＝ ，代入数据，C错误；根据G＝ma，可得a＝，代入数据，D错误．
题组四 综合应用
13．已知地球的半径是6.4×106 m，地球的自转周期是24 h，地球的质量是5.98×1024 kg，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，若要发射一颗地球同步卫星，试求：
(1)地球同步卫星的轨道半径r；
(2)地球同步卫星的环绕速度v的大小，并与第一宇宙速度比较大小关系．
答案 (1)4.2×107 m (2)3.1×103 m/s 小于第一宇宙速度
解析 (1)根据万有引力提供向心力得
＝mω2r，ω＝，
则r＝
＝ m
≈4.2×107 m.
(2)根据＝m得：
v＝ ＝ m/s≈3.1×103 m/s＝3.1 km/s<7.9 km/s.
14．据报载：某国发射了一颗质量为100 kg，周期为1 h的人造环月卫星，一位同学记不住引力常量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径为地球半径的，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案．(地球半径约为6.4×103 km，g地取9.8 m/s2)
答案 见解析
解析 对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得＝mr，解得T＝2π
则r＝R月时，T有最小值，又＝g月
故Tmin＝2π ＝2π ＝2π
代入数据解得Tmin≈1.73 h
环月卫星最小周期为1.73 h，故该报道是则假新闻．
