吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2019八上·简阳期末）4的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
2．（2023九上·吉林开学考） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018八上·海淀期末）已知 可以写成一个完全平方式，则 可为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．
4．（2023九上·吉林开学考） 如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·孝义期中）如图，在中，，在数轴上，点所表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0）
C．（3，3） D．（3，1）
7．（2023九上·吉林开学考）如图，在中，，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减少
8．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9．（2016八下·黄冈期中）计算： = ．
10．（2018·泰州）分解因式： .
11．（2021八上·通川期中）将如图所示的“ ”笑脸放置在 的正方形网格中， 、 、 三点均在格点上.若 、 的坐标分别为 ， ，则点 的坐标为 .
12．（2023九上·吉林开学考）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得关于、的二元一次方程组的解是 ．
13．（2021九上·达州月考）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3，AC=2，则四边形ABCD的面积为 .
14．（2023九上·吉林开学考）如图所示的网格是正方形网格，则 点，，是网格线交点．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2020九上·天心期末）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a＝2．
16．（2016九上·自贡期中）某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
17．（2017八上·郑州期中）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
18．（2023九上·吉林开学考） 北大壶滑雪场是我国重要的滑雪基地，拥有国际标准雪道条，其中青云大道某段坡长为米，坡角，求垂直落差的高度．
结果保留整数：参考数据：，，
19．（2023九上·吉林开学考）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出作法．
（1）在图中作的高．
（2）在图中的边上找一点，连结，使．
（3）在图中内不包含边界找一点，连结，，使．
20．（2023九上·吉林开学考） 如图，在中，、分别是边、的中点，是延长线上一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求证：∽．
21．（2020·东城模拟）在菱形 中，对角线 相交于点O，E为 的中点，连接 并延长到点F，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长．
22．（2023九上·吉林开学考） 甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时，在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工甲机器在加工过程中工作效率保持不变甲、乙两台机器加工零件的总数个与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示．
（1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件．
（2）当时，求与之间的函数解析式．
（3）甲加工多长时间时，甲与乙两台机器还剩余个零件没加工？
23．（2023九上·吉林开学考）
（1）【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点，使得，连结，可证≌，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”则的范围是： ．
（2）【拓展应用】
①如图，在中，，，，，求的长．
②如图，在中，为边的中点，分别以、为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则 直接写出
24．（2023九上·吉林开学考）如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，过点作于点、，过点作，与交于点设点的运动时间为秒．
（1）线段的长为 ；用含的代数式表示
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）当直线将的面积分成：的两部分时，求的值；
（4）当点落在的角平分线上时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【分析】首先根据平方根的定义求出4的平方根，然后就可以解决问题．
【解答】∵±2的平方等于4，
∴4的平方根是：±2．
故选B．
【点评】此题主要考查了平方根的定义和性质，根据平方根的定义得出是解决问题的关键．
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，计算正确；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算错误；
故答案为：A.
【分析】利用幂的乘方，同底数幂的乘除法则计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ 可以写成一个完全平方式，
∴x2-8x+a=(x-4)2，
又（x-4）2=x2-8x+16，
∴a=16，
故答案为：C.
【分析】根据 x 2 8 x + a 可以写成一个完全平方式，从而知道a应该是常数项，根据二次项及一次项知x2-8x+a=(x-4)2，又（x-4）2=x2-8x+16，从而得出a的值。
4．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例求出，再根据DE=4计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴点D表示的数是：，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB的值，再计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴=，又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
7．【答案】A
【知识点】垂线；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，
∴AB⊥AC，
∵于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，
∴EP≤AC，
∴线段EP的值大小变化情况是一直增大，
故答案为：A.
【分析】根据垂线求出AB⊥AC，再求出EP≤AC，最后判断求解即可。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
设反比例函数解析式为y=（k＞0），
∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，
∴A、B两点的纵坐标分别是、，
∵AD∥BE，
∴△CEB∽△CDA，
∴
∴DE=CE，
∵OD：OE=a：2a=1：2，
∴OD=DE，
∴OD=OC，
∴S△AOD=S△AOC=×9=3，
∴|k|=3，
而k＞0，
∴k=6．
故选B．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，设反比例函数解析式为y=（k＞0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得A、B两点的纵坐标分别是、，再证明△CEB∽△CDA，利用相似比得到，则DE=CE，由OD：OE=a：2a=1：2，则OD=DE，所以OD=OC，根据三角形面积公式得到S△AOD=S△AOC=×9=3，然后利用反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得|k|=3，易得k=6．
9．【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
=3 ﹣
=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
10．【答案】a（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）.
【分析】观察此多项式的特点，有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
11．【答案】（ 2，2）
【知识点】平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图，
点A的坐标为（ 2，1），向右移动2个单位为y轴，向下一个单位是x轴，如图，点C在点A上方一个单位，点A向上平移一个单位得点C（-2，2）.
故答案为：（ 2，2）.
【分析】根据点A、B的坐标建立直角坐标系，进而可得点C的坐标.
12．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：观察函数图象可得： 函数和的图象交于点（-4，-2），
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：.
【分析】根据函数图象求出 函数和的图象交于点（-4，-2），再求解即可。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S ABCD＝BC AF＝CD AE.
又∵AE＝AF.
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴AC＝2AO＝2，BO＝ ＝ ，
∴BD＝2BO＝4 ，
∴菱形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×2×4 ＝4 ，
故答案为：4 .
【分析】过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，先根据纸条的两边互相平行得出四边形ABCD是平行四边形，结合纸条的宽度相等，利用等积法推出BC=CD，则可证明四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理求出BO的长，则可得出BD长，然后由菱形的面积公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：延长AP交格点于点D，连接BD，
设正方形网格的边长是1，
由勾股定理可得：，，
∴，
∴∠PDB=90°，
∵BD=DP，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45.
【分析】利用勾股定理求出，，再求出∠PDB=90°，最后计算求解即可。
15．【答案】解：原式＝
＝ ，
当a＝2时，
原式＝ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分式化简,再把值代入计算即可．
16．【答案】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x（1+x）=121，
∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题．
17．【答案】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB﹣AE=（25﹣x），
∵DA=15km，CB=10km，
∴x2+152=（25﹣x）2+102，
解得：x=10，
∴AE=10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在△ADE与△BEC中，利用勾股定理得 AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2， 由题意知 DE=CE， 故 AE2+AD2=BE2+BC2， 设AE=x，则BE=AB﹣AE=（25﹣x）， 代入等式得出方程，求解即可。
18．【答案】解：在中，，，米，
，
米，
答：垂直落差的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】结合图形以及 ，，米， 利用锐角三角函数求出BC的值即可。
19．【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：如图所示．
（3）解：如图所示．
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过推理作与Rt△ANB≌Rt△△CBM(2×4网格直角三角形)，从而得出∠CDB=90°，即为AB边上高CD.
（2）（3）将面积问题利用等积思想转化为中点问题，利用格点(矩形对角线)找出中点.
20．【答案】（1）解：、分别是、的中点，
，，
，
，而，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
，
∽．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线求出 ，， 再根据平行线的性质计算求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出 ， 再求出 ， 最后根据相似三角形的判定方法证明求解即可。
21．【答案】（1）证明： 点E是 的中点， ，
四边形 是平行四边形．
又∵四边形 是菱形，
，即 ．
四边形 是矩形．
（2）解： 四边形 是矩形，
．
又 四边形 是菱形，
．
．
在 中， ，
．
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）首先证明四边形 是平行四边形，再由菱形ABCD的性质得∠AOB=90°即可推出四边形 是菱形．（2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得OF=AD=5，然后在直角三角形AOF中，解直角三角形可以求出AO的长，从而得到AC的长.
22．【答案】（1）；
（2）解：当时，设，
将，代入，
得，
解得，
与之间的函数解析式为．
（3）解：甲与乙两台机器还剩余个零件没加工，
甲与乙两台机器已经加工零件个，
当时，则，
解得，
答：甲加工小时，甲与乙两台机器还剩余. 个零件没加工．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）由函数图象可得这批零件一共有270个，
甲机器每小时加工的零件个数：，
故答案为：270；20.
【分析】（1）根据函数图象中的数据计算求解即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出甲与乙两台机器已经加工零件210个，再列方程计算求解即可。
23．【答案】（1）
（2）解：①如图，延长到点，使，连结，
，，，
≌，
，，，
在中，，，
，
；
②如图，延长到点，使，连结，
由知道≌，
，，
，
，
又，
，
，，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AC=6，CE=4，
∴6-4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∵，
∴1＜AD＜5，
即 的范围是：1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5.
【分析】（1）结合题意，利用三角形的三边关系计算求解即可；
（2）①利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理等计算求解即可；
②根据全等三角形的性质求出 ，， 再利用锐角三角函数以及相似三角形的判定与性质计算求解即可。
24．【答案】（1）
（2）解：如图，当点落在上时，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
解得，
当点落在边上时，的值为．
（3）解：如图，设直线与边. 交于点，
则，
∽，
，
当直线将的面积分成：的两部分时，有以下两种情况：
的面积：四边形的面积：，
则，
：：，即：：，
解得；
的面积：四边形的面积：，
则，
：：，即：：，
解得，
综上，的值为或．
（4）或
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，，
∴，
∵PD⊥AC，
∴，
∴，
解得：AD=4t，
故答案为：4t；
（4）分类讨论如下：
如图所示：当点在的平分线上时，
则，
，不符合题意；
如图所示：当点在的平分线上，过点作于点，
则，，
，
，
由（1）知，，
≌，
，，，
，，
，
，
，
解得，符合题意；
如图所示：当点在的平分线上，过点作于点，过点作于点，
则，，
，
≌，
，，
，
，
∽，
：：：，
设，则，，
：：：，
解得，
，
由题意可得：∽，∽，
∴，：：：：：：，
∴，，，
，
解得．
综上所述：当点落在的角平分线上时，的值为或．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB=10，再根据锐角三角函数计算求解即可；
（2）根据平行四边形的判定方法求出四边形是平行四边形，再列方程计算求解即可；
（3）根据题意先求出∽， 再分类讨论，根据相似三角形的性质计算求解即可；
（4）分类讨论，利用相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，列方程等计算求解即可。
1 / 1吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2019八上·简阳期末）4的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【分析】首先根据平方根的定义求出4的平方根，然后就可以解决问题．
【解答】∵±2的平方等于4，
∴4的平方根是：±2．
故选B．
【点评】此题主要考查了平方根的定义和性质，根据平方根的定义得出是解决问题的关键．
2．（2023九上·吉林开学考） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，计算正确；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算错误；
故答案为：A.
【分析】利用幂的乘方，同底数幂的乘除法则计算求解即可。
3．（2018八上·海淀期末）已知 可以写成一个完全平方式，则 可为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ 可以写成一个完全平方式，
∴x2-8x+a=(x-4)2，
又（x-4）2=x2-8x+16，
∴a=16，
故答案为：C.
【分析】根据 x 2 8 x + a 可以写成一个完全平方式，从而知道a应该是常数项，根据二次项及一次项知x2-8x+a=(x-4)2，又（x-4）2=x2-8x+16，从而得出a的值。
4．（2023九上·吉林开学考） 如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例求出，再根据DE=4计算求解即可。
5．（2023八下·孝义期中）如图，在中，，在数轴上，点所表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴点D表示的数是：，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB的值，再计算求解即可。
6．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0）
C．（3，3） D．（3，1）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴=，又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
7．（2023九上·吉林开学考）如图，在中，，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减少
【答案】A
【知识点】垂线；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，
∴AB⊥AC，
∵于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，
∴EP≤AC，
∴线段EP的值大小变化情况是一直增大，
故答案为：A.
【分析】根据垂线求出AB⊥AC，再求出EP≤AC，最后判断求解即可。
8．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
设反比例函数解析式为y=（k＞0），
∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，
∴A、B两点的纵坐标分别是、，
∵AD∥BE，
∴△CEB∽△CDA，
∴
∴DE=CE，
∵OD：OE=a：2a=1：2，
∴OD=DE，
∴OD=OC，
∴S△AOD=S△AOC=×9=3，
∴|k|=3，
而k＞0，
∴k=6．
故选B．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，设反比例函数解析式为y=（k＞0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得A、B两点的纵坐标分别是、，再证明△CEB∽△CDA，利用相似比得到，则DE=CE，由OD：OE=a：2a=1：2，则OD=DE，所以OD=OC，根据三角形面积公式得到S△AOD=S△AOC=×9=3，然后利用反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得|k|=3，易得k=6．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9．（2016八下·黄冈期中）计算： = ．
【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
=3 ﹣
=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
10．（2018·泰州）分解因式： .
【答案】a（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）.
【分析】观察此多项式的特点，有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
11．（2021八上·通川期中）将如图所示的“ ”笑脸放置在 的正方形网格中， 、 、 三点均在格点上.若 、 的坐标分别为 ， ，则点 的坐标为 .
【答案】（ 2，2）
【知识点】平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图，
点A的坐标为（ 2，1），向右移动2个单位为y轴，向下一个单位是x轴，如图，点C在点A上方一个单位，点A向上平移一个单位得点C（-2，2）.
故答案为：（ 2，2）.
【分析】根据点A、B的坐标建立直角坐标系，进而可得点C的坐标.
12．（2023九上·吉林开学考）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得关于、的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：观察函数图象可得： 函数和的图象交于点（-4，-2），
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：.
【分析】根据函数图象求出 函数和的图象交于点（-4，-2），再求解即可。
13．（2021九上·达州月考）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3，AC=2，则四边形ABCD的面积为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S ABCD＝BC AF＝CD AE.
又∵AE＝AF.
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴AC＝2AO＝2，BO＝ ＝ ，
∴BD＝2BO＝4 ，
∴菱形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×2×4 ＝4 ，
故答案为：4 .
【分析】过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，先根据纸条的两边互相平行得出四边形ABCD是平行四边形，结合纸条的宽度相等，利用等积法推出BC=CD，则可证明四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理求出BO的长，则可得出BD长，然后由菱形的面积公式计算即可.
14．（2023九上·吉林开学考）如图所示的网格是正方形网格，则 点，，是网格线交点．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：延长AP交格点于点D，连接BD，
设正方形网格的边长是1，
由勾股定理可得：，，
∴，
∴∠PDB=90°，
∵BD=DP，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45.
【分析】利用勾股定理求出，，再求出∠PDB=90°，最后计算求解即可。
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2020九上·天心期末）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a＝2．
【答案】解：原式＝
＝ ，
当a＝2时，
原式＝ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分式化简,再把值代入计算即可．
16．（2016九上·自贡期中）某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【答案】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x（1+x）=121，
∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题．
17．（2017八上·郑州期中）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
【答案】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB﹣AE=（25﹣x），
∵DA=15km，CB=10km，
∴x2+152=（25﹣x）2+102，
解得：x=10，
∴AE=10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在△ADE与△BEC中，利用勾股定理得 AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2， 由题意知 DE=CE， 故 AE2+AD2=BE2+BC2， 设AE=x，则BE=AB﹣AE=（25﹣x）， 代入等式得出方程，求解即可。
18．（2023九上·吉林开学考） 北大壶滑雪场是我国重要的滑雪基地，拥有国际标准雪道条，其中青云大道某段坡长为米，坡角，求垂直落差的高度．
结果保留整数：参考数据：，，
【答案】解：在中，，，米，
，
米，
答：垂直落差的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】结合图形以及 ，，米， 利用锐角三角函数求出BC的值即可。
19．（2023九上·吉林开学考）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出作法．
（1）在图中作的高．
（2）在图中的边上找一点，连结，使．
（3）在图中内不包含边界找一点，连结，，使．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：如图所示．
（3）解：如图所示．
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过推理作与Rt△ANB≌Rt△△CBM(2×4网格直角三角形)，从而得出∠CDB=90°，即为AB边上高CD.
（2）（3）将面积问题利用等积思想转化为中点问题，利用格点(矩形对角线)找出中点.
20．（2023九上·吉林开学考） 如图，在中，、分别是边、的中点，是延长线上一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求证：∽．
【答案】（1）解：、分别是、的中点，
，，
，
，而，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
，
∽．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线求出 ，， 再根据平行线的性质计算求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出 ， 再求出 ， 最后根据相似三角形的判定方法证明求解即可。
21．（2020·东城模拟）在菱形 中，对角线 相交于点O，E为 的中点，连接 并延长到点F，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明： 点E是 的中点， ，
四边形 是平行四边形．
又∵四边形 是菱形，
，即 ．
四边形 是矩形．
（2）解： 四边形 是矩形，
．
又 四边形 是菱形，
．
．
在 中， ，
．
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）首先证明四边形 是平行四边形，再由菱形ABCD的性质得∠AOB=90°即可推出四边形 是菱形．（2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得OF=AD=5，然后在直角三角形AOF中，解直角三角形可以求出AO的长，从而得到AC的长.
22．（2023九上·吉林开学考） 甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时，在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工甲机器在加工过程中工作效率保持不变甲、乙两台机器加工零件的总数个与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示．
（1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件．
（2）当时，求与之间的函数解析式．
（3）甲加工多长时间时，甲与乙两台机器还剩余个零件没加工？
【答案】（1）；
（2）解：当时，设，
将，代入，
得，
解得，
与之间的函数解析式为．
（3）解：甲与乙两台机器还剩余个零件没加工，
甲与乙两台机器已经加工零件个，
当时，则，
解得，
答：甲加工小时，甲与乙两台机器还剩余. 个零件没加工．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）由函数图象可得这批零件一共有270个，
甲机器每小时加工的零件个数：，
故答案为：270；20.
【分析】（1）根据函数图象中的数据计算求解即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出甲与乙两台机器已经加工零件210个，再列方程计算求解即可。
23．（2023九上·吉林开学考）
（1）【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点，使得，连结，可证≌，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”则的范围是： ．
（2）【拓展应用】
①如图，在中，，，，，求的长．
②如图，在中，为边的中点，分别以、为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则 直接写出
【答案】（1）
（2）解：①如图，延长到点，使，连结，
，，，
≌，
，，，
在中，，，
，
；
②如图，延长到点，使，连结，
由知道≌，
，，
，
，
又，
，
，，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AC=6，CE=4，
∴6-4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∵，
∴1＜AD＜5，
即 的范围是：1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5.
【分析】（1）结合题意，利用三角形的三边关系计算求解即可；
（2）①利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理等计算求解即可；
②根据全等三角形的性质求出 ，， 再利用锐角三角函数以及相似三角形的判定与性质计算求解即可。
24．（2023九上·吉林开学考）如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，过点作于点、，过点作，与交于点设点的运动时间为秒．
（1）线段的长为 ；用含的代数式表示
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）当直线将的面积分成：的两部分时，求的值；
（4）当点落在的角平分线上时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：如图，当点落在上时，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
解得，
当点落在边上时，的值为．
（3）解：如图，设直线与边. 交于点，
则，
∽，
，
当直线将的面积分成：的两部分时，有以下两种情况：
的面积：四边形的面积：，
则，
：：，即：：，
解得；
的面积：四边形的面积：，
则，
：：，即：：，
解得，
综上，的值为或．
（4）或
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，，
∴，
∵PD⊥AC，
∴，
∴，
解得：AD=4t，
故答案为：4t；
（4）分类讨论如下：
如图所示：当点在的平分线上时，
则，
，不符合题意；
如图所示：当点在的平分线上，过点作于点，
则，，
，
，
由（1）知，，
≌，
，，，
，，
，
，
，
解得，符合题意；
如图所示：当点在的平分线上，过点作于点，过点作于点，
则，，
，
≌，
，，
，
，
∽，
：：：，
设，则，，
：：：，
解得，
，
由题意可得：∽，∽，
∴，：：：：：：，
∴，，，
，
解得．
综上所述：当点落在的角平分线上时，的值为或．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB=10，再根据锐角三角函数计算求解即可；
（2）根据平行四边形的判定方法求出四边形是平行四边形，再列方程计算求解即可；
（3）根据题意先求出∽， 再分类讨论，根据相似三角形的性质计算求解即可；
（4）分类讨论，利用相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，列方程等计算求解即可。
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