学案5 章末总结
一、船渡河运动的分解
小船渡河时，实际参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船在静水中的运动，船的实际运动是这两个分运动的合运动．
设河宽为d、水流的速度为v水(方向：沿河岸指向下游)、船在静水中的速度为v船(方向：船头指向)．
图1
(1)最短时间
船头垂直于河岸行驶，tmin＝，与v船和v水的大小关系无关．船向下游偏移：x＝v水tmin(如图1甲所示)．
(2)最短航程
①若v船>v水，则smin＝d，所用时间t＝，此时船的航向垂直于河岸，船头与上游河岸成θ角，满足cos θ＝(如图乙所示)．
②若v船例1 如图2所示，有一只小船正在过河，河宽d＝300 m，小船在静水中的速度v1＝3 m/s，水的流速v2＝1 m/s.小船以下列条件过河时，求过河的时间．
图2
(1)以最短的时间过河．
(2)以最短的位移过河．
解析 (1)当小船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中的速度v1的方向垂直于河岸时，过河时间最短，则最短时间tmin＝＝ s＝100 s.
(2)因为v1＝3 m/s＞v2＝1 m/s，所以当小船的合速度方向垂直于河岸时，过河位移最短．此时合速度方向如图所示，则过河时间t＝＝≈106.1 s.
答案 (1)100 s (2)106.1 s
二、关联物体速度的分解
绳、杆等有长度的物体在运动过程中，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度，解决“关联”速度问题的关键有两点：一是物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果确定；二是沿杆(或绳)方向的分速度大小相等．
例2 如图3所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求此时两车的速度之比v1∶v2.
图3
解析 甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cos α，两者应该相等，所以有v1＝v2cos α，
故v1∶v2＝cos α∶1
答案 cos α∶1
三、解决平抛运动问题的三个突破口
平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，设做平抛运动的初速度为v0，下落高度为h，水平位移为x，某时刻竖直速度为vy，合速度为v，方向与初速度v0的夹角为θ；某时刻合位移的方向与初速度夹角为α，则有h＝gt2，x＝v0t，vy＝gt，tan θ＝，tan α＝等．
1．把平抛运动的时间作为突破口
平抛运动规律中，各物理量都与时间有联系，所以只要求出抛出时间，其他的物理量都可轻松解出．
2．把平抛运动的偏转角作为突破口
如图4可得tan θ＝＝(推导：tan θ＝＝＝＝)、tan α＝，所以有tan θ＝2tan α.从以上各式可以看出偏转角和其他各物理量都有关联，通过偏转角可以确定其他的物理量．
图4
3．把平抛运动的一段轨迹作为突破口
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出水平初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．设图5为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，E为AB的中间时刻．
图5
设tAE＝tEB＝T
由竖直方向上的匀变速直线运动得FC－AF＝gT2，所以
T＝ ＝
由水平方向上的匀速直线运动得
v0＝＝EF
例3 如图6所示，在倾角为37°的斜面上从A点以6 m/s的初速度水平抛出一个小球，小球落在B点，求小球刚碰到斜面时的速度方向及A、B两点间的距离和小球在空中飞行的时间．(g取10 m/s2)
图6
解析 如图所示，设小球落到B点时速度的偏转角为α，运动时间为t.
则tan 37°＝＝＝t
又因为tan 37°＝，解得t＝0.9 s
由x＝v0t＝5.4 m
则A、B两点间的距离l＝＝6.75 m
在B点时，tan α＝＝＝.
答案 速度与水平方向夹角α满足tan α＝ 6.75 m 0.9 s.
1.某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系如图7所示．船在静水中的速度为4 m/s，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是( )
图7
A．船在航行过程中，船头应与河岸垂直
B．船在河水中航行的轨迹是一条直线
C．渡河的最短时间为240 s
D．船离开河岸400 m时的速度大小为2 m/s
答案 AD
解析 若船渡河的时间最短，船在航行过程中，必须保证船头始终与河岸垂直，选项A正确；因水流的速度大小发生变化，根据运动的合成与分解可知，船在河水中航行的轨迹是一条曲线，选项B错误；渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝150 s，选项C错误；船离开河岸400 m时的水流速度大小与船离开河岸200 m时的水流速度大小相等，即v水＝×200 m/s＝2 m/s，则船离开河岸400 m时的速度大小为v′＝ ＝ m/s＝2 m/s，选项D正确．
2.如图8所示，沿竖直杆以速度v匀速下滑的物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是( )
图8
A．物体B向右做匀速运动
B．物体B向右做加速运动
C．物体B向右做减速运动
D．物体B向右做匀加速运动
答案 B
解析 A、B物体沿细绳方向的速度分别为vAcos θ和vB，故vB＝vAcos θ＝vcos θ，物体A向下运动时，θ逐渐减小，则vB
逐渐增大，A、C错，B对；由vB＝vcos θ和cos θ＝(d为滑轮到竖直杆的水平距离)可知，cos θ不是均匀变化的，所以B不是做匀加速运动，故D错.
3.如图9所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(且v0∥CD)，小球运动到B点，已知A点的高度为h，求：
图9
(1)小球到达B点时的速度大小；
(2)小球到达B点的时间．
答案 (1) (2)
解析 设小球从A点到B点历时为t，则由平抛运动规律及牛顿第二定律得：
＝at2 ①
mgsin θ＝ma ②
vy＝at ③
vB＝ ④
由①②③④得
t＝ ，vB＝
